O que tenho aqui em amarelo
é o gráfico de y igual a f de x.
E aqui em lilás fiz o gráfico de <i>y</i> igual
a derivada de f, que é f linha de x.
E aqui em azul, fiz o gráfico de <i>y</i> igual
a segunda derivada de nossa função.
Então essa é a derivada disso,
da primeira derivada que está aqui.
E já vimos exemplos de como podemos
identificar pontos mínimos e máximos.
Claramente, tendo o gráfico bem aqui
não é difícil para um cérebro humano
identificar que isso é um
ponto máximo local.
A função pode ter valores maiores
mais à frente.
E identificar isso como um
ponto mínimo local.
A função pode ter valores menores
mais à frente.
Mas vimos, mesmo não tendo
o gráfico na nossa frente
se formos capazes de ter a derivada
da função, talvez--
ou mesmo se não conseguimos
ter a derivada da função--
talvez possamos identificar esses
pontos como mínimo ou máximo.
Fizemos assim e, OK, quais são os
pontos críticos dessa função?
Bem, pontos críticos são onde
a derivada da função
é ou indefinida ou zero.
Essa é a derivada da função.
É zero aqui e aqui.
Então chamamos de pontos críticos.
E não vejo pontos onde a derivada
é indefinida por enquanto.
Então chamamos aqui e aqui
de pontos críticos.
Esses são pontos candidatos
onde a função pode ter
valor mínimo ou máximo.
E da forma que descobrimos quando
seria valor mínimo ou máximo foi
olhando o comportamento da derivada
em torno desse ponto.
E por aqui vemos que a derivada é positiva
quando nos aproximamos desse ponto.
E então se torna negativa.
Começa sendo positiva e fica negativa
quando cruzamos esse ponto.
O que significa que a função
estava crescendo.
Se a derivada é positiva, significa que
a função estava crescendo quando
nos aproximamos desse ponto,
e decrescendo quando
deixamos esse ponto,
que é uma boa maneira de pensar
nisso sendo um ponto máximo.
Se crescemos quando nos aproximamos
e decrescemos quando no afastamos,
então isso será um ponto máximo.
Similarmente, bem aqui podemos ver
que a derivada é negativa quando
nos aproximamos do ponto,
que significa que a função
está decrescendo.
E vemos que a derivada é positiva
quando saímos desse ponto.
Partimos de uma derivada negativa
para uma positiva, que significa
que a função começa decrescendo
e cresce bem em torno desse ponto,
o que é uma boa indicação,
ou que é a indicação,
que esse ponto crítico é onde
a função tem um valor mínimo.
O que quero fazer agora é extender as
coisas usando a ideia de concavidade.
Talvez eu esteja pronunciando essa
palavra errado, mas enfim,
pensando sobre concavidade,
podemos começar a olhar
para a segunda derivada mais
do que apenas olhar essa transição
para pensar onde isso é
ponto mínimo ou máximo.
Pensemos sobre o que
está acontecendo
nessa primeira região,
nessa parte da curva aqui
onde se parece com um arco
se abrindo para baixo,
onde parece um <i>A</i> sem o traço
ou um U de cabeça para baixo.
E então vamos pensar no que está
acontecendo nessa espécie de U da curva.
Nesse primeiro intervalo,
bem aqui, se começarmos aqui
a inclinação é bastante-- vou fazer na
cor... na verdade vou continuar na mesma
porque é a mesma cor que usei
para essa derivada.
A inclinação é bem positiva.
E se torna menos positiva.
Então se torna ainda menos positiva.
E vai para zero.
E continua decrescendo.
Agora se torna um pouco negativa,
e então ainda mais negativa,
e se torna ainda mais negativa.
E parece que para de decrescer
mais ou menos aqui.
Ela para de decrescer por aqui.
E vemos isso na derivada.
A inclinação está decrescendo
e decrescendo
até esse ponto, e então começa
a ficar crescente.
Em toda essa seção,
a inclinação está decrescendo.
Vemos isso bem aqui quando
pegamos a derivada.
A derivada bem aqui, nesse intervalo
inteiro, está decrescendo.
E também vemos quando temos
a segunda derivada.
Se a derivada é decrescente, significa
que a segunda derivada,
a derivada da derivada, é negativa.
Vemos que esse é mesmo o caso.
Sobre esse intervalo inteiro, a segunda
derivada é, sem dúvida, negativa.
Agora, o que acontece quando mudamos
para essa parte em U da curva?
Bem, aqui a derivada é
razoavelmente negativa.
É razoavelmente negativa por aqui.
Mas ainda continua negativa,
e então se torna menos negativa
e menos negativa e menos negativa...
E então zero.
Se torna zero bem aqui.
E fica mais e mais positiva.
Vemos isso aqui.
Sobre todo esse intervalo,
a inclinação ou a derivada está crescendo.
A inclinação está crescendo.
E vemos isso aqui.
Aqui a inclinação é zero.
A inclinação da derivada é zero.
A derivada por si só não está
mudando nesse momento.
Vemos que a inclinação
está crescendo.
Novamente, podemos visualizar
a segunda derivada, a derivada
da derivada.
Se a derivada está crescendo, significa
que a derivada deve ser positiva.
E esse é, definitivamente, o caso
onde a derivada é positiva.
Temos uma palavra para o <i>U</i>
de cabeça para baixo e o normal.
Chamamos de côncavo para baixo.
Vou ser mais claro.
Côncavo para baixo.
E chamamos esse de côncavo para cima.
Vamos revisar como podemos identificar
intervalos côncavos para baixo e
intervalos côncavos para cima.
Se estamos querendo côncavo para baixo,
vemos bastante coisa.
Vemos que a inclinação está decrescendo,
que é outra maneira de dizer que
f linha de x está decrescendo.
O que é outra maneira de dizer que
a segunda derivada deve ser negativa.
Se a primeira derivada está decrescendo,
a segunda derivada deve ser negativa,
o que é outra forma de dizer
que a segunda derivada
sobre esse intervalo deve ser negativa.
Se temos uma segunda
derivada negativa,
estamos num intervalo
côncavo para baixo.
Similarmente-- tenho dificuldade
de pronunciar essa palavra--
vamos pensar sobre côncavo para cima,
onde temos uma abertura em <i>U</i> para cima.
Côncavo para cima.
Nesses intervalos, a inclinação
está crescendo.
Temos uma inclinação negativa, menos
negativa... zero,
positiva, mais positiva,
ainda mais positiva.
A inclinação está crescendo.
O que significa que a derivada
da função está aumentando.
E vemos isso bem aqui.
A derivada aumenta em valor,
o que significa que a segunda derivada
sobre um intervalo
onde é côncavo para cima
deve ser maior que zero.
Se a segunda derivada é maior que zero,
então a primeira derivada está
crescendo, e significa que
a inclinação está crescendo.
Estamos num intervalo côncavo para cima.
Dadas essas definições que obtivemos
de côncavos para baixo e para cima,
podemos chegar a uma outra maneira
de identificar quando um ponto crítico
é um ponto mínimo ou ponto máximo?
Bem, se temos um ponto máximo,
se temos um ponto crítico onde
a função é côncava para baixo,
estaremos em um ponto máximo.
Côncavo para baixo-- sendo mais claros,
significa que se abre para baixo assim.
Quando estamos falando
de um ponto crítico,
se assumirmos que é côncavo
para baixo aqui,
estamos assumindo diferenciabilidade
nesse intervalo.
O ponto crítico será aquele
que a inclinação é zero.
Será esse ponto aqui.
Se é côncavo para baixo e temos
um ponto onde f linha de,
digamos, <i>a</i> é igual a zero,
temos um ponto máximo em a.
E similarmente, se é côncavo para cima,
significa que a nossa função
se parece com algo assim.
Se achamos um ponto, obviamente
um ponto crítico seria aonde
a função não é definida, mas se estamos
assumindo que nossa primeira derivada
e segunda derivada é definida aqui,
o ponto crítico será aquele
onde a primeira derivada será zero.
<i>f</i> linha de <i>a</i> é igual a zero.
E se <i>f</i> linha de <i>a</i> é igual a zero
e côncavo para cima no
intervalo ao redor de a -
se a segunda derivada
é maior que zero,
é bem claro, podemos ver aqui,
que estamos lidando com
um ponto mínimo em a.
[Legendado por Miguel Infante]
[Revisado por Pilar Dib]