1
00:00:00,200 --> 00:00:04,270
O que tenho aqui em amarelo
é o gráfico de y igual a f de x.
2
00:00:04,270 --> 00:00:10,870
E aqui em lilás fiz o gráfico de y igual
a derivada de f, que é f linha de x.
3
00:00:10,870 --> 00:00:15,740
E aqui em azul, fiz o gráfico de y igual
a segunda derivada de nossa função.
4
00:00:15,740 --> 00:00:18,380
Então essa é a derivada disso,
5
00:00:18,380 --> 00:00:21,550
da primeira derivada que está aqui.
6
00:00:21,550 --> 00:00:25,340
E já vimos exemplos de como podemos
identificar pontos mínimos e máximos.
7
00:00:25,345 --> 00:00:29,140
Claramente, tendo o gráfico bem aqui
não é difícil para um cérebro humano
8
00:00:29,140 --> 00:00:31,950
identificar que isso é um
ponto máximo local.
9
00:00:31,950 --> 00:00:34,530
A função pode ter valores maiores
mais à frente.
10
00:00:34,530 --> 00:00:37,540
E identificar isso como um
ponto mínimo local.
11
00:00:37,540 --> 00:00:40,242
A função pode ter valores menores
mais à frente.
12
00:00:40,242 --> 00:00:42,700
Mas vimos, mesmo não tendo
o gráfico na nossa frente
13
00:00:42,700 --> 00:00:45,957
se formos capazes de ter a derivada
da função, talvez--
14
00:00:45,957 --> 00:00:48,498
ou mesmo se não conseguimos
ter a derivada da função--
15
00:00:48,498 --> 00:00:51,501
talvez possamos identificar esses
pontos como mínimo ou máximo.
16
00:00:51,501 --> 00:00:55,090
Fizemos assim e, OK, quais são os
pontos críticos dessa função?
17
00:00:55,090 --> 00:00:58,360
Bem, pontos críticos são onde
a derivada da função
18
00:00:58,360 --> 00:01:00,099
é ou indefinida ou zero.
19
00:01:00,099 --> 00:01:01,785
Essa é a derivada da função.
20
00:01:01,785 --> 00:01:04,170
É zero aqui e aqui.
21
00:01:04,170 --> 00:01:05,810
Então chamamos de pontos críticos.
22
00:01:05,810 --> 00:01:10,610
E não vejo pontos onde a derivada
é indefinida por enquanto.
23
00:01:10,610 --> 00:01:15,590
Então chamamos aqui e aqui
de pontos críticos.
24
00:01:15,590 --> 00:01:19,740
Esses são pontos candidatos
onde a função pode ter
25
00:01:19,740 --> 00:01:21,800
valor mínimo ou máximo.
26
00:01:21,800 --> 00:01:25,220
E da forma que descobrimos quando
seria valor mínimo ou máximo foi
27
00:01:25,220 --> 00:01:29,320
olhando o comportamento da derivada
em torno desse ponto.
28
00:01:29,320 --> 00:01:41,220
E por aqui vemos que a derivada é positiva
quando nos aproximamos desse ponto.
29
00:01:41,220 --> 00:01:42,910
E então se torna negativa.
30
00:01:42,910 --> 00:01:46,500
Começa sendo positiva e fica negativa
quando cruzamos esse ponto.
31
00:01:46,500 --> 00:01:48,760
O que significa que a função
estava crescendo.
32
00:01:48,760 --> 00:01:50,679
Se a derivada é positiva, significa que
33
00:01:50,679 --> 00:01:53,600
a função estava crescendo quando
nos aproximamos desse ponto,
34
00:01:53,600 --> 00:01:56,220
e decrescendo quando
deixamos esse ponto,
35
00:01:56,220 --> 00:01:59,384
que é uma boa maneira de pensar
nisso sendo um ponto máximo.
36
00:01:59,384 --> 00:02:02,665
Se crescemos quando nos aproximamos
e decrescemos quando no afastamos,
37
00:02:02,665 --> 00:02:06,490
então isso será um ponto máximo.
38
00:02:06,490 --> 00:02:09,330
Similarmente, bem aqui podemos ver
39
00:02:09,330 --> 00:02:14,630
que a derivada é negativa quando
nos aproximamos do ponto,
40
00:02:14,630 --> 00:02:17,420
que significa que a função
está decrescendo.
41
00:02:17,420 --> 00:02:20,930
E vemos que a derivada é positiva
quando saímos desse ponto.
42
00:02:20,940 --> 00:02:24,540
Partimos de uma derivada negativa
para uma positiva, que significa
43
00:02:24,540 --> 00:02:28,970
que a função começa decrescendo
e cresce bem em torno desse ponto,
44
00:02:28,970 --> 00:02:31,960
o que é uma boa indicação,
ou que é a indicação,
45
00:02:31,960 --> 00:02:38,720
que esse ponto crítico é onde
a função tem um valor mínimo.
46
00:02:38,720 --> 00:02:46,620
O que quero fazer agora é extender as
coisas usando a ideia de concavidade.
47
00:02:46,620 --> 00:02:50,060
Talvez eu esteja pronunciando essa
palavra errado, mas enfim,
48
00:02:50,060 --> 00:02:53,220
pensando sobre concavidade,
podemos começar a olhar
49
00:02:53,220 --> 00:02:56,850
para a segunda derivada mais
do que apenas olhar essa transição
50
00:02:56,850 --> 00:03:01,280
para pensar onde isso é
ponto mínimo ou máximo.
51
00:03:01,280 --> 00:03:03,300
Pensemos sobre o que
está acontecendo
52
00:03:03,300 --> 00:03:06,030
nessa primeira região,
nessa parte da curva aqui
53
00:03:06,030 --> 00:03:10,010
onde se parece com um arco
se abrindo para baixo,
54
00:03:10,010 --> 00:03:13,720
onde parece um A sem o traço
ou um U de cabeça para baixo.
55
00:03:13,720 --> 00:03:19,960
E então vamos pensar no que está
acontecendo nessa espécie de U da curva.
56
00:03:19,960 --> 00:03:23,490
Nesse primeiro intervalo,
bem aqui, se começarmos aqui
57
00:03:23,490 --> 00:03:27,780
a inclinação é bastante-- vou fazer na
cor... na verdade vou continuar na mesma
58
00:03:27,780 --> 00:03:30,404
porque é a mesma cor que usei
para essa derivada.
59
00:03:30,404 --> 00:03:33,210
A inclinação é bem positiva.
60
00:03:33,210 --> 00:03:36,640
E se torna menos positiva.
61
00:03:36,640 --> 00:03:39,790
Então se torna ainda menos positiva.
62
00:03:39,790 --> 00:03:42,600
E vai para zero.
63
00:03:42,600 --> 00:03:44,000
E continua decrescendo.
64
00:03:44,000 --> 00:03:47,320
Agora se torna um pouco negativa,
e então ainda mais negativa,
65
00:03:47,320 --> 00:03:51,200
e se torna ainda mais negativa.
66
00:03:51,200 --> 00:03:56,359
E parece que para de decrescer
mais ou menos aqui.
67
00:03:56,359 --> 00:03:59,380
Ela para de decrescer por aqui.
E vemos isso na derivada.
68
00:03:59,380 --> 00:04:01,380
A inclinação está decrescendo
e decrescendo
69
00:04:01,380 --> 00:04:04,970
até esse ponto, e então começa
a ficar crescente.
70
00:04:04,970 --> 00:04:18,420
Em toda essa seção,
a inclinação está decrescendo.
71
00:04:18,420 --> 00:04:21,950
Vemos isso bem aqui quando
pegamos a derivada.
72
00:04:21,950 --> 00:04:27,290
A derivada bem aqui, nesse intervalo
inteiro, está decrescendo.
73
00:04:27,290 --> 00:04:29,620
E também vemos quando temos
a segunda derivada.
74
00:04:29,620 --> 00:04:32,990
Se a derivada é decrescente, significa
que a segunda derivada,
75
00:04:32,990 --> 00:04:35,080
a derivada da derivada, é negativa.
76
00:04:35,080 --> 00:04:38,320
Vemos que esse é mesmo o caso.
77
00:04:38,320 --> 00:04:45,751
Sobre esse intervalo inteiro, a segunda
derivada é, sem dúvida, negativa.
78
00:04:45,751 --> 00:04:51,160
Agora, o que acontece quando mudamos
para essa parte em U da curva?
79
00:04:51,160 --> 00:04:54,150
Bem, aqui a derivada é
razoavelmente negativa.
80
00:04:54,150 --> 00:04:56,250
É razoavelmente negativa por aqui.
81
00:04:56,250 --> 00:04:59,780
Mas ainda continua negativa,
e então se torna menos negativa
82
00:04:59,780 --> 00:05:04,660
e menos negativa e menos negativa...
83
00:05:04,670 --> 00:05:05,980
E então zero.
84
00:05:05,980 --> 00:05:08,000
Se torna zero bem aqui.
85
00:05:08,000 --> 00:05:11,170
E fica mais e mais positiva.
86
00:05:11,170 --> 00:05:12,890
Vemos isso aqui.
87
00:05:12,890 --> 00:05:18,440
Sobre todo esse intervalo,
a inclinação ou a derivada está crescendo.
88
00:05:18,440 --> 00:05:24,525
A inclinação está crescendo.
89
00:05:24,525 --> 00:05:25,870
E vemos isso aqui.
90
00:05:25,870 --> 00:05:27,560
Aqui a inclinação é zero.
91
00:05:27,560 --> 00:05:29,950
A inclinação da derivada é zero.
92
00:05:29,950 --> 00:05:33,220
A derivada por si só não está
mudando nesse momento.
93
00:05:33,220 --> 00:05:37,089
Vemos que a inclinação
está crescendo.
94
00:05:37,089 --> 00:05:38,630
Novamente, podemos visualizar
95
00:05:38,630 --> 00:05:40,900
a segunda derivada, a derivada
da derivada.
96
00:05:40,900 --> 00:05:44,680
Se a derivada está crescendo, significa
que a derivada deve ser positiva.
97
00:05:44,680 --> 00:05:49,240
E esse é, definitivamente, o caso
onde a derivada é positiva.
98
00:05:49,240 --> 00:05:55,270
Temos uma palavra para o U
de cabeça para baixo e o normal.
99
00:05:55,270 --> 00:06:01,950
Chamamos de côncavo para baixo.
100
00:06:01,950 --> 00:06:03,560
Vou ser mais claro.
101
00:06:03,560 --> 00:06:07,920
Côncavo para baixo.
102
00:06:07,920 --> 00:06:13,400
E chamamos esse de côncavo para cima.
103
00:06:13,400 --> 00:06:15,330
Vamos revisar como podemos identificar
104
00:06:15,330 --> 00:06:18,670
intervalos côncavos para baixo e
intervalos côncavos para cima.
105
00:06:18,670 --> 00:06:27,690
Se estamos querendo côncavo para baixo,
vemos bastante coisa.
106
00:06:27,690 --> 00:06:37,430
Vemos que a inclinação está decrescendo,
107
00:06:37,430 --> 00:06:51,730
que é outra maneira de dizer que
f linha de x está decrescendo.
108
00:06:51,730 --> 00:06:55,590
O que é outra maneira de dizer que
a segunda derivada deve ser negativa.
109
00:06:55,590 --> 00:06:58,090
Se a primeira derivada está decrescendo,
110
00:06:58,090 --> 00:07:00,460
a segunda derivada deve ser negativa,
111
00:07:00,460 --> 00:07:03,350
o que é outra forma de dizer
que a segunda derivada
112
00:07:03,350 --> 00:07:07,900
sobre esse intervalo deve ser negativa.
113
00:07:07,900 --> 00:07:11,010
Se temos uma segunda
derivada negativa,
114
00:07:11,010 --> 00:07:14,220
estamos num intervalo
côncavo para baixo.
115
00:07:14,220 --> 00:07:18,070
Similarmente-- tenho dificuldade
de pronunciar essa palavra--
116
00:07:18,070 --> 00:07:21,640
vamos pensar sobre côncavo para cima,
117
00:07:21,640 --> 00:07:25,630
onde temos uma abertura em U para cima.
Côncavo para cima.
118
00:07:25,630 --> 00:07:28,510
Nesses intervalos, a inclinação
está crescendo.
119
00:07:28,510 --> 00:07:31,030
Temos uma inclinação negativa, menos
negativa... zero,
120
00:07:31,030 --> 00:07:34,040
positiva, mais positiva,
ainda mais positiva.
121
00:07:34,040 --> 00:07:41,760
A inclinação está crescendo.
122
00:07:41,760 --> 00:07:50,690
O que significa que a derivada
da função está aumentando.
123
00:07:50,690 --> 00:07:52,680
E vemos isso bem aqui.
124
00:07:52,680 --> 00:07:56,240
A derivada aumenta em valor,
125
00:07:56,240 --> 00:08:00,150
o que significa que a segunda derivada
sobre um intervalo
126
00:08:00,150 --> 00:08:03,490
onde é côncavo para cima
deve ser maior que zero.
127
00:08:03,490 --> 00:08:06,810
Se a segunda derivada é maior que zero,
então a primeira derivada está
128
00:08:06,810 --> 00:08:09,440
crescendo, e significa que
a inclinação está crescendo.
129
00:08:09,440 --> 00:08:14,630
Estamos num intervalo côncavo para cima.
130
00:08:14,630 --> 00:08:20,290
Dadas essas definições que obtivemos
de côncavos para baixo e para cima,
131
00:08:20,290 --> 00:08:23,850
podemos chegar a uma outra maneira
de identificar quando um ponto crítico
132
00:08:23,850 --> 00:08:26,490
é um ponto mínimo ou ponto máximo?
133
00:08:26,490 --> 00:08:28,420
Bem, se temos um ponto máximo,
134
00:08:28,420 --> 00:08:33,860
se temos um ponto crítico onde
a função é côncava para baixo,
135
00:08:33,860 --> 00:08:36,130
estaremos em um ponto máximo.
136
00:08:36,130 --> 00:08:42,003
Côncavo para baixo-- sendo mais claros,
significa que se abre para baixo assim.
137
00:08:42,003 --> 00:08:44,179
Quando estamos falando
de um ponto crítico,
138
00:08:44,179 --> 00:08:46,304
se assumirmos que é côncavo
para baixo aqui,
139
00:08:46,304 --> 00:08:48,944
estamos assumindo diferenciabilidade
nesse intervalo.
140
00:08:48,944 --> 00:08:52,380
O ponto crítico será aquele
que a inclinação é zero.
141
00:08:52,380 --> 00:08:54,810
Será esse ponto aqui.
142
00:08:54,810 --> 00:09:00,130
Se é côncavo para baixo e temos
um ponto onde f linha de,
143
00:09:00,130 --> 00:09:11,500
digamos, a é igual a zero,
temos um ponto máximo em a.
144
00:09:11,500 --> 00:09:14,210
E similarmente, se é côncavo para cima,
145
00:09:14,210 --> 00:09:17,340
significa que a nossa função
se parece com algo assim.
146
00:09:17,340 --> 00:09:20,990
Se achamos um ponto, obviamente
um ponto crítico seria aonde
147
00:09:20,990 --> 00:09:24,800
a função não é definida, mas se estamos
assumindo que nossa primeira derivada
148
00:09:24,800 --> 00:09:28,410
e segunda derivada é definida aqui,
o ponto crítico será aquele
149
00:09:28,410 --> 00:09:31,380
onde a primeira derivada será zero.
150
00:09:31,380 --> 00:09:35,090
f linha de a é igual a zero.
151
00:09:35,090 --> 00:09:38,130
E se f linha de a é igual a zero
152
00:09:38,130 --> 00:09:42,020
e côncavo para cima no
intervalo ao redor de a -
153
00:09:42,020 --> 00:09:44,250
se a segunda derivada
é maior que zero,
154
00:09:44,250 --> 00:09:46,010
é bem claro, podemos ver aqui,
155
00:09:46,010 --> 00:09:52,305
que estamos lidando com
um ponto mínimo em a.
156
00:09:52,305 --> 00:09:53,775
[Legendado por Miguel Infante]
[Revisado por Pilar Dib]