O que tenho aqui em amarelo é o gráfico de y igual a f de x.
E aqui em lilás fiz o gráfico de y igual a derivada de f, que é f linha de x.
E aqui em azul, fiz o gráfico de y igual a segunda derivada de nossa função.
Então essa é a derivada disso,
da primeira derivada que está aqui.
E já vimos exemplos de como podemos identificar pontos mínimos e máximos.
Claramente, tendo o gráfico bem aqui não é difícil para um cérebro humano
identificar que isso é um ponto máximo local.
A função pode ter valores maiores mais à frente.
E identificar isso como um ponto mínimo local.
A função pode ter valores menores mais à frente.
Mas vimos, mesmo não tendo o gráfico na nossa frente
se formos capazes de ter a derivada da função, talvez--
ou mesmo se não conseguimos ter a derivada da função--
talvez possamos identificar esses pontos como mínimo ou máximo.
Fizemos assim e, OK, quais são os pontos críticos dessa função?
Bem, pontos críticos são onde a derivada da função
é ou indefinida ou zero.
Essa é a derivada da função.
É zero aqui e aqui.
Então chamamos de pontos críticos.
E não vejo pontos onde a derivada é indefinida por enquanto.
Então chamamos aqui e aqui de pontos críticos.
Esses são pontos candidatos onde a função pode ter
valor mínimo ou máximo.
E da forma que descobrimos quando seria valor mínimo ou máximo foi
olhando o comportamento da derivada em torno desse ponto.
E por aqui vemos que a derivada é positiva quando nos aproximamos desse ponto.
E então se torna negativa.
Começa sendo positiva e fica negativa quando cruzamos esse ponto.
O que significa que a função estava crescendo.
Se a derivada é positiva, significa que
a função estava crescendo quando nos aproximamos desse ponto,
e decrescendo quando deixamos esse ponto,
que é uma boa maneira de pensar nisso sendo um ponto máximo.
Se crescemos quando nos aproximamos e decrescemos quando no afastamos,
então isso será um ponto máximo.
Similarmente, bem aqui podemos ver
que a derivada é negativa quando nos aproximamos do ponto,
que significa que a função está decrescendo.
E vemos que a derivada é positiva quando saímos desse ponto.
Partimos de uma derivada negativa para uma positiva, que significa
que a função começa decrescendo e cresce bem em torno desse ponto,
o que é uma boa indicação, ou que é a indicação,
que esse ponto crítico é onde a função tem um valor mínimo.
O que quero fazer agora é extender as coisas usando a ideia de concavidade.
Talvez eu esteja pronunciando essa palavra errado, mas enfim,
pensando sobre concavidade, podemos começar a olhar
para a segunda derivada mais do que apenas olhar essa transição
para pensar onde isso é ponto mínimo ou máximo.
Pensemos sobre o que está acontecendo
nessa primeira região, nessa parte da curva aqui
onde se parece com um arco se abrindo para baixo,
onde parece um A sem o traço ou um U de cabeça para baixo.
E então vamos pensar no que está acontecendo nessa espécie de U da curva.
Nesse primeiro intervalo, bem aqui, se começarmos aqui
a inclinação é bastante-- vou fazer na cor... na verdade vou continuar na mesma
porque é a mesma cor que usei para essa derivada.
A inclinação é bem positiva.
E se torna menos positiva.
Então se torna ainda menos positiva.
E vai para zero.
E continua decrescendo.
Agora se torna um pouco negativa, e então ainda mais negativa,
e se torna ainda mais negativa.
E parece que para de decrescer mais ou menos aqui.
Ela para de decrescer por aqui. E vemos isso na derivada.
A inclinação está decrescendo e decrescendo
até esse ponto, e então começa a ficar crescente.
Em toda essa seção, a inclinação está decrescendo.
Vemos isso bem aqui quando pegamos a derivada.
A derivada bem aqui, nesse intervalo inteiro, está decrescendo.
E também vemos quando temos a segunda derivada.
Se a derivada é decrescente, significa que a segunda derivada,
a derivada da derivada, é negativa.
Vemos que esse é mesmo o caso.
Sobre esse intervalo inteiro, a segunda derivada é, sem dúvida, negativa.
Agora, o que acontece quando mudamos para essa parte em U da curva?
Bem, aqui a derivada é razoavelmente negativa.
É razoavelmente negativa por aqui.
Mas ainda continua negativa, e então se torna menos negativa
e menos negativa e menos negativa...
E então zero.
Se torna zero bem aqui.
E fica mais e mais positiva.
Vemos isso aqui.
Sobre todo esse intervalo, a inclinação ou a derivada está crescendo.
A inclinação está crescendo.
E vemos isso aqui.
Aqui a inclinação é zero.
A inclinação da derivada é zero.
A derivada por si só não está mudando nesse momento.
Vemos que a inclinação está crescendo.
Novamente, podemos visualizar
a segunda derivada, a derivada da derivada.
Se a derivada está crescendo, significa que a derivada deve ser positiva.
E esse é, definitivamente, o caso onde a derivada é positiva.
Temos uma palavra para o U de cabeça para baixo e o normal.
Chamamos de côncavo para baixo.
Vou ser mais claro.
Côncavo para baixo.
E chamamos esse de côncavo para cima.
Vamos revisar como podemos identificar
intervalos côncavos para baixo e intervalos côncavos para cima.
Se estamos querendo côncavo para baixo, vemos bastante coisa.
Vemos que a inclinação está decrescendo,
que é outra maneira de dizer que f linha de x está decrescendo.
O que é outra maneira de dizer que a segunda derivada deve ser negativa.
Se a primeira derivada está decrescendo,
a segunda derivada deve ser negativa,
o que é outra forma de dizer que a segunda derivada
sobre esse intervalo deve ser negativa.
Se temos uma segunda derivada negativa,
estamos num intervalo côncavo para baixo.
Similarmente-- tenho dificuldade de pronunciar essa palavra--
vamos pensar sobre côncavo para cima,
onde temos uma abertura em U para cima. Côncavo para cima.
Nesses intervalos, a inclinação está crescendo.
Temos uma inclinação negativa, menos negativa... zero,
positiva, mais positiva, ainda mais positiva.
A inclinação está crescendo.
O que significa que a derivada da função está aumentando.
E vemos isso bem aqui.
A derivada aumenta em valor,
o que significa que a segunda derivada sobre um intervalo
onde é côncavo para cima deve ser maior que zero.
Se a segunda derivada é maior que zero, então a primeira derivada está
crescendo, e significa que a inclinação está crescendo.
Estamos num intervalo côncavo para cima.
Dadas essas definições que obtivemos de côncavos para baixo e para cima,
podemos chegar a uma outra maneira de identificar quando um ponto crítico
é um ponto mínimo ou ponto máximo?
Bem, se temos um ponto máximo,
se temos um ponto crítico onde a função é côncava para baixo,
estaremos em um ponto máximo.
Côncavo para baixo-- sendo mais claros, significa que se abre para baixo assim.
Quando estamos falando de um ponto crítico,
se assumirmos que é côncavo para baixo aqui,
estamos assumindo diferenciabilidade nesse intervalo.
O ponto crítico será aquele que a inclinação é zero.
Será esse ponto aqui.
Se é côncavo para baixo e temos um ponto onde f linha de,
digamos, a é igual a zero, temos um ponto máximo em a.
E similarmente, se é côncavo para cima,
significa que a nossa função se parece com algo assim.
Se achamos um ponto, obviamente um ponto crítico seria aonde
a função não é definida, mas se estamos assumindo que nossa primeira derivada
e segunda derivada é definida aqui, o ponto crítico será aquele
onde a primeira derivada será zero.
f linha de a é igual a zero.
E se f linha de a é igual a zero
e côncavo para cima no intervalo ao redor de a -
se a segunda derivada é maior que zero,
é bem claro, podemos ver aqui,
que estamos lidando com um ponto mínimo em a.
[Legendado por Miguel Infante] [Revisado por Pilar Dib]