WEBVTT
00:00:00.200 --> 00:00:04.270
O que tenho aqui em amarelo
é o gráfico de y igual a f de x.
00:00:04.270 --> 00:00:10.870
E aqui em lilás fiz o gráfico de <i>y</i> igual
a derivada de f, que é f linha de x.
00:00:10.870 --> 00:00:15.740
E aqui em azul, fiz o gráfico de <i>y</i> igual
a segunda derivada de nossa função.
00:00:15.740 --> 00:00:18.380
Então essa é a derivada disso,
00:00:18.380 --> 00:00:21.550
da primeira derivada que está aqui.
00:00:21.550 --> 00:00:25.340
E já vimos exemplos de como podemos
identificar pontos mínimos e máximos.
00:00:25.345 --> 00:00:29.140
Claramente, tendo o gráfico bem aqui
não é difícil para um cérebro humano
00:00:29.140 --> 00:00:31.950
identificar que isso é um
ponto máximo local.
00:00:31.950 --> 00:00:34.530
A função pode ter valores maiores
mais à frente.
00:00:34.530 --> 00:00:37.540
E identificar isso como um
ponto mínimo local.
00:00:37.540 --> 00:00:40.242
A função pode ter valores menores
mais à frente.
00:00:40.242 --> 00:00:42.700
Mas vimos, mesmo não tendo
o gráfico na nossa frente
00:00:42.700 --> 00:00:45.957
se formos capazes de ter a derivada
da função, talvez--
00:00:45.957 --> 00:00:48.498
ou mesmo se não conseguimos
ter a derivada da função--
00:00:48.498 --> 00:00:51.501
talvez possamos identificar esses
pontos como mínimo ou máximo.
00:00:51.501 --> 00:00:55.090
Fizemos assim e, OK, quais são os
pontos críticos dessa função?
00:00:55.090 --> 00:00:58.360
Bem, pontos críticos são onde
a derivada da função
00:00:58.360 --> 00:01:00.099
é ou indefinida ou zero.
00:01:00.099 --> 00:01:01.785
Essa é a derivada da função.
00:01:01.785 --> 00:01:04.170
É zero aqui e aqui.
00:01:04.170 --> 00:01:05.810
Então chamamos de pontos críticos.
00:01:05.810 --> 00:01:10.610
E não vejo pontos onde a derivada
é indefinida por enquanto.
00:01:10.610 --> 00:01:15.590
Então chamamos aqui e aqui
de pontos críticos.
00:01:15.590 --> 00:01:19.740
Esses são pontos candidatos
onde a função pode ter
00:01:19.740 --> 00:01:21.800
valor mínimo ou máximo.
00:01:21.800 --> 00:01:25.220
E da forma que descobrimos quando
seria valor mínimo ou máximo foi
00:01:25.220 --> 00:01:29.320
olhando o comportamento da derivada
em torno desse ponto.
00:01:29.320 --> 00:01:41.220
E por aqui vemos que a derivada é positiva
quando nos aproximamos desse ponto.
00:01:41.220 --> 00:01:42.910
E então se torna negativa.
00:01:42.910 --> 00:01:46.500
Começa sendo positiva e fica negativa
quando cruzamos esse ponto.
00:01:46.500 --> 00:01:48.760
O que significa que a função
estava crescendo.
00:01:48.760 --> 00:01:50.679
Se a derivada é positiva, significa que
00:01:50.679 --> 00:01:53.600
a função estava crescendo quando
nos aproximamos desse ponto,
00:01:53.600 --> 00:01:56.220
e decrescendo quando
deixamos esse ponto,
00:01:56.220 --> 00:01:59.384
que é uma boa maneira de pensar
nisso sendo um ponto máximo.
00:01:59.384 --> 00:02:02.665
Se crescemos quando nos aproximamos
e decrescemos quando no afastamos,
00:02:02.665 --> 00:02:06.490
então isso será um ponto máximo.
00:02:06.490 --> 00:02:09.330
Similarmente, bem aqui podemos ver
00:02:09.330 --> 00:02:14.630
que a derivada é negativa quando
nos aproximamos do ponto,
00:02:14.630 --> 00:02:17.420
que significa que a função
está decrescendo.
00:02:17.420 --> 00:02:20.930
E vemos que a derivada é positiva
quando saímos desse ponto.
00:02:20.940 --> 00:02:24.540
Partimos de uma derivada negativa
para uma positiva, que significa
00:02:24.540 --> 00:02:28.970
que a função começa decrescendo
e cresce bem em torno desse ponto,
00:02:28.970 --> 00:02:31.960
o que é uma boa indicação,
ou que é a indicação,
00:02:31.960 --> 00:02:38.720
que esse ponto crítico é onde
a função tem um valor mínimo.
00:02:38.720 --> 00:02:46.620
O que quero fazer agora é extender as
coisas usando a ideia de concavidade.
00:02:46.620 --> 00:02:50.060
Talvez eu esteja pronunciando essa
palavra errado, mas enfim,
00:02:50.060 --> 00:02:53.220
pensando sobre concavidade,
podemos começar a olhar
00:02:53.220 --> 00:02:56.850
para a segunda derivada mais
do que apenas olhar essa transição
00:02:56.850 --> 00:03:01.280
para pensar onde isso é
ponto mínimo ou máximo.
00:03:01.280 --> 00:03:03.300
Pensemos sobre o que
está acontecendo
00:03:03.300 --> 00:03:06.030
nessa primeira região,
nessa parte da curva aqui
00:03:06.030 --> 00:03:10.010
onde se parece com um arco
se abrindo para baixo,
00:03:10.010 --> 00:03:13.720
onde parece um <i>A</i> sem o traço
ou um U de cabeça para baixo.
00:03:13.720 --> 00:03:19.960
E então vamos pensar no que está
acontecendo nessa espécie de U da curva.
00:03:19.960 --> 00:03:23.490
Nesse primeiro intervalo,
bem aqui, se começarmos aqui
00:03:23.490 --> 00:03:27.780
a inclinação é bastante-- vou fazer na
cor... na verdade vou continuar na mesma
00:03:27.780 --> 00:03:30.404
porque é a mesma cor que usei
para essa derivada.
00:03:30.404 --> 00:03:33.210
A inclinação é bem positiva.
00:03:33.210 --> 00:03:36.640
E se torna menos positiva.
00:03:36.640 --> 00:03:39.790
Então se torna ainda menos positiva.
00:03:39.790 --> 00:03:42.600
E vai para zero.
00:03:42.600 --> 00:03:44.000
E continua decrescendo.
00:03:44.000 --> 00:03:47.320
Agora se torna um pouco negativa,
e então ainda mais negativa,
00:03:47.320 --> 00:03:51.200
e se torna ainda mais negativa.
00:03:51.200 --> 00:03:56.359
E parece que para de decrescer
mais ou menos aqui.
00:03:56.359 --> 00:03:59.380
Ela para de decrescer por aqui.
E vemos isso na derivada.
00:03:59.380 --> 00:04:01.380
A inclinação está decrescendo
e decrescendo
00:04:01.380 --> 00:04:04.970
até esse ponto, e então começa
a ficar crescente.
00:04:04.970 --> 00:04:18.420
Em toda essa seção,
a inclinação está decrescendo.
00:04:18.420 --> 00:04:21.950
Vemos isso bem aqui quando
pegamos a derivada.
00:04:21.950 --> 00:04:27.290
A derivada bem aqui, nesse intervalo
inteiro, está decrescendo.
00:04:27.290 --> 00:04:29.620
E também vemos quando temos
a segunda derivada.
00:04:29.620 --> 00:04:32.990
Se a derivada é decrescente, significa
que a segunda derivada,
00:04:32.990 --> 00:04:35.080
a derivada da derivada, é negativa.
00:04:35.080 --> 00:04:38.320
Vemos que esse é mesmo o caso.
00:04:38.320 --> 00:04:45.751
Sobre esse intervalo inteiro, a segunda
derivada é, sem dúvida, negativa.
00:04:45.751 --> 00:04:51.160
Agora, o que acontece quando mudamos
para essa parte em U da curva?
00:04:51.160 --> 00:04:54.150
Bem, aqui a derivada é
razoavelmente negativa.
00:04:54.150 --> 00:04:56.250
É razoavelmente negativa por aqui.
00:04:56.250 --> 00:04:59.780
Mas ainda continua negativa,
e então se torna menos negativa
00:04:59.780 --> 00:05:04.660
e menos negativa e menos negativa...
00:05:04.670 --> 00:05:05.980
E então zero.
00:05:05.980 --> 00:05:08.000
Se torna zero bem aqui.
00:05:08.000 --> 00:05:11.170
E fica mais e mais positiva.
00:05:11.170 --> 00:05:12.890
Vemos isso aqui.
00:05:12.890 --> 00:05:18.440
Sobre todo esse intervalo,
a inclinação ou a derivada está crescendo.
00:05:18.440 --> 00:05:24.525
A inclinação está crescendo.
00:05:24.525 --> 00:05:25.870
E vemos isso aqui.
00:05:25.870 --> 00:05:27.560
Aqui a inclinação é zero.
00:05:27.560 --> 00:05:29.950
A inclinação da derivada é zero.
00:05:29.950 --> 00:05:33.220
A derivada por si só não está
mudando nesse momento.
00:05:33.220 --> 00:05:37.089
Vemos que a inclinação
está crescendo.
00:05:37.089 --> 00:05:38.630
Novamente, podemos visualizar
00:05:38.630 --> 00:05:40.900
a segunda derivada, a derivada
da derivada.
00:05:40.900 --> 00:05:44.680
Se a derivada está crescendo, significa
que a derivada deve ser positiva.
00:05:44.680 --> 00:05:49.240
E esse é, definitivamente, o caso
onde a derivada é positiva.
00:05:49.240 --> 00:05:55.270
Temos uma palavra para o <i>U</i>
de cabeça para baixo e o normal.
00:05:55.270 --> 00:06:01.950
Chamamos de côncavo para baixo.
00:06:01.950 --> 00:06:03.560
Vou ser mais claro.
00:06:03.560 --> 00:06:07.920
Côncavo para baixo.
00:06:07.920 --> 00:06:13.400
E chamamos esse de côncavo para cima.
00:06:13.400 --> 00:06:15.330
Vamos revisar como podemos identificar
00:06:15.330 --> 00:06:18.670
intervalos côncavos para baixo e
intervalos côncavos para cima.
00:06:18.670 --> 00:06:27.690
Se estamos querendo côncavo para baixo,
vemos bastante coisa.
00:06:27.690 --> 00:06:37.430
Vemos que a inclinação está decrescendo,
00:06:37.430 --> 00:06:51.730
que é outra maneira de dizer que
f linha de x está decrescendo.
00:06:51.730 --> 00:06:55.590
O que é outra maneira de dizer que
a segunda derivada deve ser negativa.
00:06:55.590 --> 00:06:58.090
Se a primeira derivada está decrescendo,
00:06:58.090 --> 00:07:00.460
a segunda derivada deve ser negativa,
00:07:00.460 --> 00:07:03.350
o que é outra forma de dizer
que a segunda derivada
00:07:03.350 --> 00:07:07.900
sobre esse intervalo deve ser negativa.
00:07:07.900 --> 00:07:11.010
Se temos uma segunda
derivada negativa,
00:07:11.010 --> 00:07:14.220
estamos num intervalo
côncavo para baixo.
00:07:14.220 --> 00:07:18.070
Similarmente-- tenho dificuldade
de pronunciar essa palavra--
00:07:18.070 --> 00:07:21.640
vamos pensar sobre côncavo para cima,
00:07:21.640 --> 00:07:25.630
onde temos uma abertura em <i>U</i> para cima.
Côncavo para cima.
00:07:25.630 --> 00:07:28.510
Nesses intervalos, a inclinação
está crescendo.
00:07:28.510 --> 00:07:31.030
Temos uma inclinação negativa, menos
negativa... zero,
00:07:31.030 --> 00:07:34.040
positiva, mais positiva,
ainda mais positiva.
00:07:34.040 --> 00:07:41.760
A inclinação está crescendo.
00:07:41.760 --> 00:07:50.690
O que significa que a derivada
da função está aumentando.
00:07:50.690 --> 00:07:52.680
E vemos isso bem aqui.
00:07:52.680 --> 00:07:56.240
A derivada aumenta em valor,
00:07:56.240 --> 00:08:00.150
o que significa que a segunda derivada
sobre um intervalo
00:08:00.150 --> 00:08:03.490
onde é côncavo para cima
deve ser maior que zero.
00:08:03.490 --> 00:08:06.810
Se a segunda derivada é maior que zero,
então a primeira derivada está
00:08:06.810 --> 00:08:09.440
crescendo, e significa que
a inclinação está crescendo.
00:08:09.440 --> 00:08:14.630
Estamos num intervalo côncavo para cima.
00:08:14.630 --> 00:08:20.290
Dadas essas definições que obtivemos
de côncavos para baixo e para cima,
00:08:20.290 --> 00:08:23.850
podemos chegar a uma outra maneira
de identificar quando um ponto crítico
00:08:23.850 --> 00:08:26.490
é um ponto mínimo ou ponto máximo?
00:08:26.490 --> 00:08:28.420
Bem, se temos um ponto máximo,
00:08:28.420 --> 00:08:33.860
se temos um ponto crítico onde
a função é côncava para baixo,
00:08:33.860 --> 00:08:36.130
estaremos em um ponto máximo.
00:08:36.130 --> 00:08:42.003
Côncavo para baixo-- sendo mais claros,
significa que se abre para baixo assim.
00:08:42.003 --> 00:08:44.179
Quando estamos falando
de um ponto crítico,
00:08:44.179 --> 00:08:46.304
se assumirmos que é côncavo
para baixo aqui,
00:08:46.304 --> 00:08:48.944
estamos assumindo diferenciabilidade
nesse intervalo.
00:08:48.944 --> 00:08:52.380
O ponto crítico será aquele
que a inclinação é zero.
00:08:52.380 --> 00:08:54.810
Será esse ponto aqui.
00:08:54.810 --> 00:09:00.130
Se é côncavo para baixo e temos
um ponto onde f linha de,
00:09:00.130 --> 00:09:11.500
digamos, <i>a</i> é igual a zero,
temos um ponto máximo em a.
00:09:11.500 --> 00:09:14.210
E similarmente, se é côncavo para cima,
00:09:14.210 --> 00:09:17.340
significa que a nossa função
se parece com algo assim.
00:09:17.340 --> 00:09:20.990
Se achamos um ponto, obviamente
um ponto crítico seria aonde
00:09:20.990 --> 00:09:24.800
a função não é definida, mas se estamos
assumindo que nossa primeira derivada
00:09:24.800 --> 00:09:28.410
e segunda derivada é definida aqui,
o ponto crítico será aquele
00:09:28.410 --> 00:09:31.380
onde a primeira derivada será zero.
00:09:31.380 --> 00:09:35.090
<i>f</i> linha de <i>a</i> é igual a zero.
00:09:35.090 --> 00:09:38.130
E se <i>f</i> linha de <i>a</i> é igual a zero
00:09:38.130 --> 00:09:42.020
e côncavo para cima no
intervalo ao redor de a -
00:09:42.020 --> 00:09:44.250
se a segunda derivada
é maior que zero,
00:09:44.250 --> 00:09:46.010
é bem claro, podemos ver aqui,
00:09:46.010 --> 00:09:52.305
que estamos lidando com
um ponto mínimo em a.
00:09:52.305 --> 00:09:53.775
[Legendado por Miguel Infante]
[Revisado por Pilar Dib]