2015 大学先修课程微积分 AB/BC 4 c-d

微分方程的解

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c 小题，假设 y 等于 f(x) 是微分方程

在初始条件 f(2) = 3 时的一个特解。

那么 f 在 x 等于 2 处是局部极小值？

还是局部极大值？或者都不是？

验证你的结论。

好的，若要考虑

局部极小或极大值，

可以看看这一点的导数。

如果等于 0，那么这里就有可能是

有可能是局部极大或极小值，

如果不等于 0，那就都不是。

而如果确实等于 0，

我们还要判断是极大值还是极小值，

看看二阶导数算出来是正是负，就能判断。

我们回到题目，

我们要计算 f'

我们要计算的是 f'——

f'(2) 等于什么。

而我们知道 f'(x)

f'(x)，也就是 dy/dx，

它等于 2x 减 y。

从上一题就能看到。

所以 f'(2)，我这样写

f'(2) 就等于

2 乘以 2，

2 乘以 2 减去

x 等于 2 时 y 的值。

我们知道 x 等于 2 时 y 的值吗？

当然，这里已经给出了。

y 等于 f(x)，

当 x 等于 2，

当 x 等于 2 时，

y 等于 3，

所以是 2 乘以 2 减 3。

那么它就等于 4 减 3，等于 1

由于在 2 点的导数不等于 0，

所以它就不是极小值，局部极小值，

也不是局部极大值，

所以可以说，由于 f'(2)

f'(2) 不等于 0，

这个，我们说 f，
我这样写，

f 在 x 等于 2 处，既没达到极小值，

局部极小值，这样说更好，

局部极小值，

也没有达到局部极大值，在 x 等于 2 处。

好的，下一题。

计算常数 m 和 b 的值，

使得 y 等于 mx 加 b 是微分方程的一个解

这道题有趣

这样吧，
我们先把所有已知条件都写下来

然后再考虑 y 等于 mx 加 b

是微分方程的一个解

我们已经知道，

dy/dx 等于 2x 减 y，

是已知条件

我们也知道二阶导数，

y 对 x 的二阶导数，等于

2 减 dy/dx，

这是我们在 b 小题中得出的结论

那么，我们可以将它表示成

我们看，可以写为

2 减 2x 加 y，通过代换

就是把它代换进来

那么这是 2 减 2x 加 y，

我这么写，

它也等于 2 减 2x 加 y，

这就是所有已知条件

现在我们再来考虑

有一个解是 y 等于 mx 加 b 这个问题。

我们从 y 等于 mx 加 b 开始，

如果 y 等于 mx 加 b

这是一个直线方程

那么 dy/dx 就等于

这部分对 x 的导数是 m，

这部分对 x 的导数，

它是常数，不变的，

所以是 0

这说的通，

y 相对于 x 的变化率就是

这条直线的斜率

那么，我们要——
这些是所有已知条件了，

我们可以多走一步

我们可以计算二阶导数

y 对 x 的二阶导数，

这就等于 0

对一个线性函数求二阶导数，

它就等于 0，在这里

这是我们的所有已知信息

这些来自于其他小题的结论，

然后我们求了 y 等于 mx 加 b 的

一阶和二阶导数

从所有这些信息中，我们能否

我们能否计算出 m 和 b 的值？

好的，我们可以这样

如果我们说，m 等于 2x 减 y……
好像不对

这道题还挺难的

好的，我们看

我们已知二阶导数等于 0

我们知道这是等于 0 的，

对于这个特解来说

而且我们知道 dy/dx 就等于 m

我们知道它是 m

这就出来了

这些信息足够解出 m

我们知道 0 等于 2 减 m

0 等于 2 减 m

两边同时加上 m

就得到 m 等于 2

这个结论非常有用

然后我们就能说，
我们看

能继续往下解吗

我们知道，在这里，dy/dx

就是 m，它就是 m

而且它等于 2

所以我们说，2 等于 2x 减 y

2 等于 2x 减 y

然后我们看，如果要表示出 y

两边同时加 y，同时减 2

得到 y 等于 2x 减 2

这就是我们要的答案啊

这就是要计算的 m，就是这个

这是 m

然后这就是我们的 b

这道题真挺难

如果你也碰到了这种，你知道

这种有难度的题，一开始没思路

就像这道题，我一开始的时候也没思路

我就说，好吧

我就先把所有已知条件都写下来

所以我们先写了这些

然后我说，ok，这是一个特解

那么我看看能不能解出什么，

我看看哪些条件没用到

这个我没用到，

这个用到了，

这个肯定用到了

这个用到了，这个还有这个，都用到了

这就像是个有趣的猜谜游戏

我把所有题目里给的信息都写下来

然后试着推理出，根据这些，

推理出 m 和 b 的值

答案很整洁

解是 2x 减 2

我们回到最开始的斜率场，

可能看不出来，

但如果验证一下

2x 减 2，y 轴交点在 -2

我换一个颜色

那么这条直线看起来应该是

看起来应该是这样

这条线应该是这样

你可以验证，这上面任何一点

在这上面任何一点的斜率

斜率等于，斜率等于 2

比如在点 (2, 2)

它是 2 乘以 2 减 2 等于 2

点 (1, 0)，2 乘以 1 减 0 等于 2

点 -2, 抱歉，应该是 (0, -2)

0 减 -2 也等于 2

这个解非常简洁

周围的斜率很复杂，

但这条简单的直线

却是原微分方程的一个解，

这很酷啊