c 小题，假设 y 等于 f(x) 是微分方程 在初始条件 f(2) = 3 时的一个特解。 那么 f 在 x 等于 2 处是局部极小值？ 还是局部极大值？或者都不是？ 验证你的结论。 好的，若要考虑 局部极小或极大值， 可以看看这一点的导数。 如果等于 0，那么这里就有可能是 有可能是局部极大或极小值， 如果不等于 0，那就都不是。 而如果确实等于 0， 我们还要判断是极大值还是极小值， 看看二阶导数算出来是正是负，就能判断。 我们回到题目， 我们要计算 f' 我们要计算的是 f'—— f'(2) 等于什么。 而我们知道 f'(x) f'(x)，也就是 dy/dx， 它等于 2x 减 y。 从上一题就能看到。 所以 f'(2)，我这样写 f'(2) 就等于 2 乘以 2， 2 乘以 2 减去 x 等于 2 时 y 的值。 我们知道 x 等于 2 时 y 的值吗？ 当然，这里已经给出了。 y 等于 f(x)， 当 x 等于 2， 当 x 等于 2 时， y 等于 3， 所以是 2 乘以 2 减 3。 那么它就等于 4 减 3，等于 1 由于在 2 点的导数不等于 0， 所以它就不是极小值，局部极小值， 也不是局部极大值， 所以可以说，由于 f'(2) f'(2) 不等于 0， 这个，我们说 f， 我这样写， f 在 x 等于 2 处，既没达到极小值， 局部极小值，这样说更好， 局部极小值， 也没有达到局部极大值，在 x 等于 2 处。 好的，下一题。 计算常数 m 和 b 的值， 使得 y 等于 mx 加 b 是微分方程的一个解 这道题有趣 这样吧， 我们先把所有已知条件都写下来 然后再考虑 y 等于 mx 加 b 是微分方程的一个解 我们已经知道， dy/dx 等于 2x 减 y， 是已知条件 我们也知道二阶导数， y 对 x 的二阶导数，等于 2 减 dy/dx， 这是我们在 b 小题中得出的结论 那么，我们可以将它表示成 我们看，可以写为 2 减 2x 加 y，通过代换 就是把它代换进来 那么这是 2 减 2x 加 y， 我这么写， 它也等于 2 减 2x 加 y， 这就是所有已知条件 现在我们再来考虑 有一个解是 y 等于 mx 加 b 这个问题。 我们从 y 等于 mx 加 b 开始， 如果 y 等于 mx 加 b 这是一个直线方程 那么 dy/dx 就等于 这部分对 x 的导数是 m， 这部分对 x 的导数， 它是常数，不变的， 所以是 0 这说的通， y 相对于 x 的变化率就是 这条直线的斜率 那么，我们要—— 这些是所有已知条件了， 我们可以多走一步 我们可以计算二阶导数 y 对 x 的二阶导数， 这就等于 0 对一个线性函数求二阶导数， 它就等于 0，在这里 这是我们的所有已知信息 这些来自于其他小题的结论， 然后我们求了 y 等于 mx 加 b 的 一阶和二阶导数 从所有这些信息中，我们能否 我们能否计算出 m 和 b 的值？ 好的，我们可以这样 如果我们说，m 等于 2x 减 y…… 好像不对 这道题还挺难的 好的，我们看 我们已知二阶导数等于 0 我们知道这是等于 0 的， 对于这个特解来说 而且我们知道 dy/dx 就等于 m 我们知道它是 m 这就出来了 这些信息足够解出 m 我们知道 0 等于 2 减 m 0 等于 2 减 m 两边同时加上 m 就得到 m 等于 2 这个结论非常有用 然后我们就能说， 我们看 能继续往下解吗 我们知道，在这里，dy/dx 就是 m，它就是 m 而且它等于 2 所以我们说，2 等于 2x 减 y 2 等于 2x 减 y 然后我们看，如果要表示出 y 两边同时加 y，同时减 2 得到 y 等于 2x 减 2 这就是我们要的答案啊 这就是要计算的 m，就是这个 这是 m 然后这就是我们的 b 这道题真挺难 如果你也碰到了这种，你知道 这种有难度的题，一开始没思路 就像这道题，我一开始的时候也没思路 我就说，好吧 我就先把所有已知条件都写下来 所以我们先写了这些 然后我说，ok，这是一个特解 那么我看看能不能解出什么， 我看看哪些条件没用到 这个我没用到， 这个用到了， 这个肯定用到了 这个用到了，这个还有这个，都用到了 这就像是个有趣的猜谜游戏 我把所有题目里给的信息都写下来 然后试着推理出，根据这些， 推理出 m 和 b 的值 答案很整洁 解是 2x 减 2 我们回到最开始的斜率场， 可能看不出来， 但如果验证一下 2x 减 2，y 轴交点在 -2 我换一个颜色 那么这条直线看起来应该是 看起来应该是这样 这条线应该是这样 你可以验证，这上面任何一点 在这上面任何一点的斜率 斜率等于，斜率等于 2 比如在点 (2, 2) 它是 2 乘以 2 减 2 等于 2 点 (1, 0)，2 乘以 1 减 0 等于 2 点 -2, 抱歉，应该是 (0, -2) 0 减 -2 也等于 2 这个解非常简洁 周围的斜率很复杂， 但这条简单的直线 却是原微分方程的一个解， 这很酷啊