WEBVTT

00:00:00.239 --> 00:00:05.554
c 小题，假设 y 等于 f(x) 是微分方程

00:00:05.554 --> 00:00:11.486
在初始条件 f(2) = 3 时的一个特解。

00:00:11.486 --> 00:00:14.884
那么 f 在 x 等于 2 处是局部极小值？

00:00:14.884 --> 00:00:18.767
还是局部极大值？或者都不是？

00:00:18.767 --> 00:00:20.889
验证你的结论。

00:00:20.889 --> 00:00:22.199
好的，若要考虑

00:00:22.199 --> 00:00:24.258
局部极小或极大值，

00:00:24.258 --> 00:00:26.706
可以看看这一点的导数。

00:00:26.706 --> 00:00:29.523
如果等于 0，那么这里就有可能是

00:00:29.523 --> 00:00:32.549
有可能是局部极大或极小值，

00:00:32.549 --> 00:00:34.751
如果不等于 0，那就都不是。

00:00:34.751 --> 00:00:36.114
而如果确实等于 0，

00:00:36.114 --> 00:00:38.015
我们还要判断是极大值还是极小值，

00:00:38.015 --> 00:00:40.845
看看二阶导数算出来是正是负，就能判断。

00:00:40.845 --> 00:00:42.490
我们回到题目，

00:00:42.490 --> 00:00:45.675
我们要计算 f'

00:00:45.675 --> 00:00:49.314
我们要计算的是 f'——

00:00:49.314 --> 00:00:53.142
f'(2) 等于什么。

00:00:53.142 --> 00:00:56.712
而我们知道 f'(x)

00:00:56.712 --> 00:01:01.576
f'(x)，也就是 dy/dx，

00:01:01.576 --> 00:01:05.001
它等于 2x 减 y。

00:01:05.001 --> 00:01:06.982
从上一题就能看到。

00:01:06.982 --> 00:01:10.358
所以 f'(2)，我这样写

00:01:10.358 --> 00:01:14.184
f'(2) 就等于

00:01:14.184 --> 00:01:16.064
2 乘以 2，

00:01:16.064 --> 00:01:19.121
2 乘以 2 减去

00:01:19.121 --> 00:01:21.761
x 等于 2 时 y 的值。

00:01:21.761 --> 00:01:24.668
我们知道 x 等于 2 时 y 的值吗？

00:01:24.668 --> 00:01:26.873
当然，这里已经给出了。

00:01:26.873 --> 00:01:29.056
y 等于 f(x)，

00:01:29.056 --> 00:01:31.029
当 x 等于 2，

00:01:31.029 --> 00:01:32.664
当 x 等于 2 时，

00:01:32.664 --> 00:01:35.197
y 等于 3，

00:01:35.197 --> 00:01:37.937
所以是 2 乘以 2 减 3。

00:01:37.937 --> 00:01:42.128
那么它就等于 4 减 3，等于 1

00:01:42.128 --> 00:01:47.190
由于在 2 点的导数不等于 0，

00:01:47.190 --> 00:01:50.081
所以它就不是极小值，局部极小值，

00:01:50.081 --> 00:01:53.112
也不是局部极大值，

00:01:53.112 --> 00:01:59.240
所以可以说，由于 f'(2)

00:01:59.240 --> 00:02:02.514
f'(2) 不等于 0，

00:02:02.514 --> 00:02:07.411
这个，我们说 f，
我这样写，

00:02:07.411 --> 00:02:14.114
f 在 x 等于 2 处，既没达到极小值，

00:02:14.114 --> 00:02:16.274
局部极小值，这样说更好，

00:02:16.274 --> 00:02:19.535
局部极小值，

00:02:19.535 --> 00:02:26.324
也没有达到局部极大值，在 x 等于 2 处。

00:02:26.324 --> 00:02:29.064
好的，下一题。

00:02:29.064 --> 00:02:32.942
计算常数 m 和 b 的值，

00:02:32.942 --> 00:02:39.583
使得 y 等于 mx 加 b 是微分方程的一个解

00:02:39.583 --> 00:02:41.905
这道题有趣

00:02:41.905 --> 00:02:45.178
这样吧，
我们先把所有已知条件都写下来

00:02:45.178 --> 00:02:47.657
然后再考虑 y 等于 mx 加 b

00:02:47.657 --> 00:02:50.193
是微分方程的一个解

00:02:50.193 --> 00:02:54.507
我们已经知道，

00:02:54.507 --> 00:02:58.939
dy/dx 等于 2x 减 y，

00:02:58.939 --> 00:03:00.273
是已知条件

00:03:00.273 --> 00:03:02.461
我们也知道二阶导数，

00:03:02.461 --> 00:03:07.519
y 对 x 的二阶导数，等于

00:03:07.519 --> 00:03:11.199
2 减 dy/dx，

00:03:11.199 --> 00:03:14.333
这是我们在 b 小题中得出的结论

00:03:14.333 --> 00:03:17.269
那么，我们可以将它表示成

00:03:17.269 --> 00:03:18.911
我们看，可以写为

00:03:18.911 --> 00:03:22.599
2 减 2x 加 y，通过代换

00:03:22.599 --> 00:03:25.375
就是把它代换进来

00:03:25.375 --> 00:03:27.826
那么这是 2 减 2x 加 y，

00:03:27.826 --> 00:03:29.282
我这么写，

00:03:29.282 --> 00:03:33.603
它也等于 2 减 2x 加 y，

00:03:33.603 --> 00:03:35.785
这就是所有已知条件

00:03:35.785 --> 00:03:39.081
现在我们再来考虑

00:03:39.081 --> 00:03:42.189
有一个解是 y 等于 mx 加 b 这个问题。

00:03:42.189 --> 00:03:44.513
我们从 y 等于 mx 加 b 开始，

00:03:44.513 --> 00:03:48.924
如果 y 等于 mx 加 b

00:03:48.924 --> 00:03:50.547
这是一个直线方程

00:03:50.547 --> 00:03:54.996
那么 dy/dx 就等于

00:03:54.996 --> 00:03:57.362
这部分对 x 的导数是 m，

00:03:57.362 --> 00:04:00.007
这部分对 x 的导数，

00:04:00.007 --> 00:04:01.576
它是常数，不变的，

00:04:01.576 --> 00:04:02.842
所以是 0

00:04:02.842 --> 00:04:03.654
这说的通，

00:04:03.654 --> 00:04:06.104
y 相对于 x 的变化率就是

00:04:06.104 --> 00:04:09.460
这条直线的斜率

00:04:09.460 --> 00:04:12.393
那么，我们要——
这些是所有已知条件了，

00:04:12.393 --> 00:04:14.233
我们可以多走一步

00:04:14.233 --> 00:04:16.074
我们可以计算二阶导数

00:04:16.074 --> 00:04:19.177
y 对 x 的二阶导数，

00:04:19.177 --> 00:04:21.009
这就等于 0

00:04:21.009 --> 00:04:23.549
对一个线性函数求二阶导数，

00:04:23.549 --> 00:04:25.582
它就等于 0，在这里

00:04:25.582 --> 00:04:28.592
这是我们的所有已知信息

00:04:28.592 --> 00:04:31.350
这些来自于其他小题的结论，

00:04:31.350 --> 00:04:33.890
然后我们求了 y 等于 mx 加 b 的

00:04:33.890 --> 00:04:37.317
一阶和二阶导数

00:04:37.317 --> 00:04:41.230
从所有这些信息中，我们能否

00:04:41.230 --> 00:04:45.391
我们能否计算出 m 和 b 的值？

00:04:45.391 --> 00:04:48.194
好的，我们可以这样

00:04:48.194 --> 00:04:55.546
如果我们说，m 等于 2x 减 y……
好像不对

00:04:55.546 --> 00:04:57.950
这道题还挺难的

00:04:57.950 --> 00:04:59.206
好的，我们看

00:04:59.206 --> 00:05:03.453
我们已知二阶导数等于 0

00:05:03.453 --> 00:05:05.542
我们知道这是等于 0 的，

00:05:05.542 --> 00:05:08.317
对于这个特解来说

00:05:08.317 --> 00:05:12.149
而且我们知道 dy/dx 就等于 m

00:05:12.149 --> 00:05:13.717
我们知道它是 m

00:05:13.717 --> 00:05:14.710
这就出来了

00:05:14.710 --> 00:05:16.182
这些信息足够解出 m

00:05:16.182 --> 00:05:19.011
我们知道 0 等于 2 减 m

00:05:19.011 --> 00:05:22.299
0 等于 2 减 m

00:05:22.299 --> 00:05:25.120
两边同时加上 m

00:05:25.120 --> 00:05:30.832
就得到 m 等于 2

00:05:30.832 --> 00:05:34.942
这个结论非常有用

00:05:34.942 --> 00:05:38.158
然后我们就能说，
我们看

00:05:38.158 --> 00:05:40.933
能继续往下解吗

00:05:40.933 --> 00:05:43.497
我们知道，在这里，dy/dx

00:05:43.497 --> 00:05:46.285
就是 m，它就是 m

00:05:46.285 --> 00:05:48.688
而且它等于 2

00:05:48.688 --> 00:05:52.531
所以我们说，2 等于 2x 减 y

00:05:52.531 --> 00:05:56.455
2 等于 2x 减 y

00:05:56.455 --> 00:05:58.560
然后我们看，如果要表示出 y

00:05:58.560 --> 00:06:01.342
两边同时加 y，同时减 2

00:06:01.342 --> 00:06:05.152
得到 y 等于 2x 减 2

00:06:05.152 --> 00:06:07.328
这就是我们要的答案啊

00:06:07.328 --> 00:06:09.973
这就是要计算的 m，就是这个

00:06:09.973 --> 00:06:10.952
这是 m

00:06:10.952 --> 00:06:14.572
然后这就是我们的 b

00:06:14.572 --> 00:06:16.819
这道题真挺难

00:06:16.819 --> 00:06:19.717
如果你也碰到了这种，你知道

00:06:19.717 --> 00:06:21.761
这种有难度的题，一开始没思路

00:06:21.761 --> 00:06:24.775
就像这道题，我一开始的时候也没思路

00:06:24.775 --> 00:06:26.007
我就说，好吧

00:06:26.007 --> 00:06:28.260
我就先把所有已知条件都写下来

00:06:28.260 --> 00:06:29.770
所以我们先写了这些

00:06:29.770 --> 00:06:32.339
然后我说，ok，这是一个特解

00:06:32.339 --> 00:06:35.701
那么我看看能不能解出什么，

00:06:35.701 --> 00:06:37.257
我看看哪些条件没用到

00:06:37.257 --> 00:06:39.867
这个我没用到，

00:06:39.867 --> 00:06:42.119
这个用到了，

00:06:42.119 --> 00:06:44.569
这个肯定用到了

00:06:44.569 --> 00:06:47.669
这个用到了，这个还有这个，都用到了

00:06:47.669 --> 00:06:49.666
这就像是个有趣的猜谜游戏

00:06:49.666 --> 00:06:52.162
我把所有题目里给的信息都写下来

00:06:52.162 --> 00:06:54.484
然后试着推理出，根据这些，

00:06:54.484 --> 00:06:59.255
推理出 m 和 b 的值

00:06:59.255 --> 00:07:01.143
答案很整洁

00:07:01.143 --> 00:07:02.725
解是 2x 减 2

00:07:02.725 --> 00:07:05.632
我们回到最开始的斜率场，

00:07:05.632 --> 00:07:07.027
可能看不出来，

00:07:07.027 --> 00:07:09.263
但如果验证一下

00:07:09.263 --> 00:07:12.340
2x 减 2，y 轴交点在 -2

00:07:12.340 --> 00:07:14.356
我换一个颜色

00:07:14.356 --> 00:07:17.717
那么这条直线看起来应该是

00:07:17.717 --> 00:07:20.405
看起来应该是这样

00:07:20.405 --> 00:07:22.727
这条线应该是这样

00:07:22.727 --> 00:07:25.548
你可以验证，这上面任何一点

00:07:25.548 --> 00:07:28.202
在这上面任何一点的斜率

00:07:28.202 --> 00:07:33.267
斜率等于，斜率等于 2

00:07:33.267 --> 00:07:36.666
比如在点 (2, 2)

00:07:36.666 --> 00:07:39.174
它是 2 乘以 2 减 2 等于 2

00:07:39.174 --> 00:07:42.680
点 (1, 0)，2 乘以 1 减 0 等于 2

00:07:42.680 --> 00:07:46.268
点 -2, 抱歉，应该是 (0, -2)

00:07:46.268 --> 00:07:49.240
0 减 -2 也等于 2

00:07:49.240 --> 00:07:50.872
这个解非常简洁

00:07:50.872 --> 00:07:52.870
周围的斜率很复杂，

00:07:52.870 --> 00:07:55.356
但这条简单的直线

00:07:55.356 --> 00:07:57.462
却是原微分方程的一个解，

00:07:57.462 --> 00:07:58.952
这很酷啊