c 小题，假设 y 等于 f(x) 是微分方程
在初始条件 f(2) = 3 时的一个特解。
那么 f 在 x 等于 2 处是局部极小值？
还是局部极大值？或者都不是？
验证你的结论。
好的，若要考虑
局部极小或极大值，
可以看看这一点的导数。
如果等于 0，那么这里就有可能是
有可能是局部极大或极小值，
如果不等于 0，那就都不是。
而如果确实等于 0，
我们还要判断是极大值还是极小值，
看看二阶导数算出来是正是负，就能判断。
我们回到题目，
我们要计算 f'
我们要计算的是 f'——
f'(2) 等于什么。
而我们知道 f'(x)
f'(x)，也就是 dy/dx，
它等于 2x 减 y。
从上一题就能看到。
所以 f'(2)，我这样写
f'(2) 就等于
2 乘以 2，
2 乘以 2 减去
x 等于 2 时 y 的值。
我们知道 x 等于 2 时 y 的值吗？
当然，这里已经给出了。
y 等于 f(x)，
当 x 等于 2，
当 x 等于 2 时，
y 等于 3，
所以是 2 乘以 2 减 3。
那么它就等于 4 减 3，等于 1
由于在 2 点的导数不等于 0，
所以它就不是极小值，局部极小值，
也不是局部极大值，
所以可以说，由于 f'(2)
f'(2) 不等于 0，
这个，我们说 f，
我这样写，
f 在 x 等于 2 处，既没达到极小值，
局部极小值，这样说更好，
局部极小值，
也没有达到局部极大值，在 x 等于 2 处。
好的，下一题。
计算常数 m 和 b 的值，
使得 y 等于 mx 加 b 是微分方程的一个解
这道题有趣
这样吧，
我们先把所有已知条件都写下来
然后再考虑 y 等于 mx 加 b
是微分方程的一个解
我们已经知道，
dy/dx 等于 2x 减 y，
是已知条件
我们也知道二阶导数，
y 对 x 的二阶导数，等于
2 减 dy/dx，
这是我们在 b 小题中得出的结论
那么，我们可以将它表示成
我们看，可以写为
2 减 2x 加 y，通过代换
就是把它代换进来
那么这是 2 减 2x 加 y，
我这么写，
它也等于 2 减 2x 加 y，
这就是所有已知条件
现在我们再来考虑
有一个解是 y 等于 mx 加 b 这个问题。
我们从 y 等于 mx 加 b 开始，
如果 y 等于 mx 加 b
这是一个直线方程
那么 dy/dx 就等于
这部分对 x 的导数是 m，
这部分对 x 的导数，
它是常数，不变的，
所以是 0
这说的通，
y 相对于 x 的变化率就是
这条直线的斜率
那么，我们要——
这些是所有已知条件了，
我们可以多走一步
我们可以计算二阶导数
y 对 x 的二阶导数，
这就等于 0
对一个线性函数求二阶导数，
它就等于 0，在这里
这是我们的所有已知信息
这些来自于其他小题的结论，
然后我们求了 y 等于 mx 加 b 的
一阶和二阶导数
从所有这些信息中，我们能否
我们能否计算出 m 和 b 的值？
好的，我们可以这样
如果我们说，m 等于 2x 减 y……
好像不对
这道题还挺难的
好的，我们看
我们已知二阶导数等于 0
我们知道这是等于 0 的，
对于这个特解来说
而且我们知道 dy/dx 就等于 m
我们知道它是 m
这就出来了
这些信息足够解出 m
我们知道 0 等于 2 减 m
0 等于 2 减 m
两边同时加上 m
就得到 m 等于 2
这个结论非常有用
然后我们就能说，
我们看
能继续往下解吗
我们知道，在这里，dy/dx
就是 m，它就是 m
而且它等于 2
所以我们说，2 等于 2x 减 y
2 等于 2x 减 y
然后我们看，如果要表示出 y
两边同时加 y，同时减 2
得到 y 等于 2x 减 2
这就是我们要的答案啊
这就是要计算的 m，就是这个
这是 m
然后这就是我们的 b
这道题真挺难
如果你也碰到了这种，你知道
这种有难度的题，一开始没思路
就像这道题，我一开始的时候也没思路
我就说，好吧
我就先把所有已知条件都写下来
所以我们先写了这些
然后我说，ok，这是一个特解
那么我看看能不能解出什么，
我看看哪些条件没用到
这个我没用到，
这个用到了，
这个肯定用到了
这个用到了，这个还有这个，都用到了
这就像是个有趣的猜谜游戏
我把所有题目里给的信息都写下来
然后试着推理出，根据这些，
推理出 m 和 b 的值
答案很整洁
解是 2x 减 2
我们回到最开始的斜率场，
可能看不出来，
但如果验证一下
2x 减 2，y 轴交点在 -2
我换一个颜色
那么这条直线看起来应该是
看起来应该是这样
这条线应该是这样
你可以验证，这上面任何一点
在这上面任何一点的斜率
斜率等于，斜率等于 2
比如在点 (2, 2)
它是 2 乘以 2 减 2 等于 2
点 (1, 0)，2 乘以 1 减 0 等于 2
点 -2, 抱歉，应该是 (0, -2)
0 减 -2 也等于 2
这个解非常简洁
周围的斜率很复杂，
但这条简单的直线
却是原微分方程的一个解，
这很酷啊