2003 AIME II Problem 1

Eu tenho esse problema
aqui do exame AIME 2003

Que representa o American Invitational
Mathematics Exame, e

esse era na verdade o
primeiro problema no exame.

O produto N de três números inteiros
positivos é de seis vezes a sua soma,

e um dos números inteiros
é a soma dos outros dois.

Encontre a soma de todos
os valores possíveis de N.

Portanto, temos de lidar
com três inteiros positivos.

Portanto, temos três
inteiros positivos bem aqui,

vamos só pensar sobre
três inteiros positivos.

Vamos chamar eles de a, b e c.

Eles são todos positivos, todos inteiros.

O produto N, destes 3 positivo,
estes 3 inteiros positivos.

Então a vezes b vezes c é igual
a N, é 6 vezes a soma deles.

Isso é igual a 6 vezes a soma.

Deixe-me fazer em outra cor.

Então, esse é o produto deles.

O produto N de três positivos inteiros
é 6 vezes, é 6 vezes a soma deles.

Esta é igual a seis vezes a soma desses
números inteiros, A mais B mais C.

E um dos números inteiros
é a soma do outros dois.

Um, um dos números inteiros
é a soma dos outros dois.

Bem, vamos apenas pegar
c para ser a soma de a e b.

Podemos fazer, isso não importa,
são apenas nomes e

não dissemos que um deles
é maior ou menor que o outro.

Então vamos apenas
dizer que a mais b é igual a c.

Um dos números inteiros é a soma
dos outros dois, c é a soma de a mais b.

Encontre a soma de todos
os valores possíveis de N.

Vamos só tentar

manipular um pouco a informação
do que temos aqui e talvez,

podemos ter alguma relação ou
algumas restrições sobre nossos

números e então podemos
passar por todas as possibilidades.

Vamos ver, sabemos
que a mais b é igual a c.

Podemos substituir c em todos os lugares
com a mais b, de modo que essa

expressão bem aqui se torne ab,
que é a vezes b, vezes c, mas

ao invés de c, vou escrever um
a mais b bem aqui, a mais b

e, em seguida, que é igual a 6 vezes,
é igual a 6 vezes a mais b,

a mais b mais c.

Mais uma vez vou substituir
o c por um a mais b.

E então para o que isso simplifica.

Do lado direiro, temos 6 vezes
a mais b mais a mais b.

Isso é a mesma coisa que 6 vezes 2a mais
2b, 2a mais 2b,

apenas adicionado os As e os Bs
e nós podemos fatorar a 2.

Isso é a mesma coisa como se você tirasse
um 2, 6 vezes 2 é 12 vezes a

mais b, no lado esquerdo
é ainda, é ainda a

vezes b, ou um b, vezes
a mais b, então ab vezes

a mais b tem que ser
igual a 12 vezes a mais b.

Isso é muito interessante, podemos
dividir os dois lados por a mais b.

Sabemos que a mais b
não vai ser igual a, não pode ser

igual a zero já que todos os
números tem que ser positivos.

Se dividirmos ambos os lados,
a razão porque eu digo isso é você,

se dividir, se fosse zero, dividindo por
zero, daria uma resposta indefinida.

Se dividimos os dois lados por a mais b,
temos a vezes b igual a 12.

Assim, todas as restrições
que eles nos deram resumia a

isso bem aqui, o produto de a e b é

igual a 12 e só há tantos números, tantos

inteiros positivos onde, se tirar
o seu produto, você tem doze anos.

Vamos tentar.

Vamos tentar.

Deixe-me tentar algumas colunas aqui.

Digamos que a, b, c, e, em seguida, nos importamos,
nos preocupam com o seu produto.

Nos importamos com o produto deles.

Vou escrever isso bem aqui.

Então a, b, c.

Então se a é 1, b vai ser 12, c é a soma

desse dois, então c
vai ser 13, 12, 1 vezes

12 vezes 13, 12 vezes 12 é 144,
mais outro 12 vai ser 156.

E só por diversão você pode conferir que

isso vai ser igual a 6 vezes a soma deles.

A soma dele é, 26, 26 vezes 6 é 156

definitivamente funciona, isso
definifivamente funciona para as

restrições e que deveria, porque nós
resumimos essas restrições

para a vezes b precisa ser igual a 12.

Vamos tentar outro um,
2 vezes 6, a soma deles é

8, e se eu tirar o produto de todos

você pega 2 vezes 6 é 12,
vezes 8 é 96, 96.

Poderíamos tentar 3 e 4, 3 mais 4 é 7, 3

vezes 4 é, 3 vezes 4 é 12 vezes 7,
na verdade eu deveria

saber, a vezes b é sempre 12,
temos só que multiplicar 12 esse última coluna.

12 vezes 7 é 84, 12 vezes 7 é 84, e

não tem outros, você não pode, definitivamente
não pode ir acima de 12, porque então

teria que lidar com os não-inteiros,
teria que lidar com as frações.

Você não pode fazer as versões
negativas disso, porque

todos eles tem que ser
inteiros positivos, então é isso,

aqueles são todos inteiros
positivos possíveis,

tomamos os seus produtos,
você tem, você tem 12.

Você tem essencialmente que fatorar 12.

Eles querem que encontremos a
soma de todos os valores possíveis de N.

Bom esse são todos os valores possíveis de n.

Bem, esses são todos os possíveis valores de n.

N é o produto desses inteiros, vamos só pegar.

Vamos só pegar a soma,
6 mais 6 é 12 mais 4 é 16,

1 mais 5 é 6 mais 9 é 15 mais 8 é 23,

2 mais 1 é 3, então nossa

resposta é 336.