Eu tenho esse problema aqui do exame AIME 2003
Que representa o American Invitational Mathematics Exame, e
esse era na verdade o primeiro problema no exame.
O produto N de três números inteiros positivos é de seis vezes a sua soma,
e um dos números inteiros é a soma dos outros dois.
Encontre a soma de todos os valores possíveis de N.
Portanto, temos de lidar com três inteiros positivos.
Portanto, temos três inteiros positivos bem aqui,
vamos só pensar sobre três inteiros positivos.
Vamos chamar eles de a, b e c.
Eles são todos positivos, todos inteiros.
O produto N, destes 3 positivo, estes 3 inteiros positivos.
Então a vezes b vezes c é igual a N, é 6 vezes a soma deles.
Isso é igual a 6 vezes a soma.
Deixe-me fazer em outra cor.
Então, esse é o produto deles.
O produto N de três positivos inteiros é 6 vezes, é 6 vezes a soma deles.
Esta é igual a seis vezes a soma desses números inteiros, A mais B mais C.
E um dos números inteiros é a soma do outros dois.
Um, um dos números inteiros é a soma dos outros dois.
Bem, vamos apenas pegar c para ser a soma de a e b.
Podemos fazer, isso não importa, são apenas nomes e
não dissemos que um deles é maior ou menor que o outro.
Então vamos apenas dizer que a mais b é igual a c.
Um dos números inteiros é a soma dos outros dois, c é a soma de a mais b.
Encontre a soma de todos os valores possíveis de N.
Vamos só tentar
manipular um pouco a informação do que temos aqui e talvez,
podemos ter alguma relação ou algumas restrições sobre nossos
números e então podemos passar por todas as possibilidades.
Vamos ver, sabemos que a mais b é igual a c.
Podemos substituir c em todos os lugares com a mais b, de modo que essa
expressão bem aqui se torne ab, que é a vezes b, vezes c, mas
ao invés de c, vou escrever um a mais b bem aqui, a mais b
e, em seguida, que é igual a 6 vezes, é igual a 6 vezes a mais b,
a mais b mais c.
Mais uma vez vou substituir o c por um a mais b.
E então para o que isso simplifica.
Do lado direiro, temos 6 vezes a mais b mais a mais b.
Isso é a mesma coisa que 6 vezes 2a mais 2b, 2a mais 2b,
apenas adicionado os As e os Bs e nós podemos fatorar a 2.
Isso é a mesma coisa como se você tirasse um 2, 6 vezes 2 é 12 vezes a
mais b, no lado esquerdo é ainda, é ainda a
vezes b, ou um b, vezes a mais b, então ab vezes
a mais b tem que ser igual a 12 vezes a mais b.
Isso é muito interessante, podemos dividir os dois lados por a mais b.
Sabemos que a mais b não vai ser igual a, não pode ser
igual a zero já que todos os números tem que ser positivos.
Se dividirmos ambos os lados, a razão porque eu digo isso é você,
se dividir, se fosse zero, dividindo por zero, daria uma resposta indefinida.
Se dividimos os dois lados por a mais b, temos a vezes b igual a 12.
Assim, todas as restrições que eles nos deram resumia a
isso bem aqui, o produto de a e b é
igual a 12 e só há tantos números, tantos
inteiros positivos onde, se tirar o seu produto, você tem doze anos.
Vamos tentar.
Deixe-me tentar algumas colunas aqui.
Digamos que a, b, c, e, em seguida, nos importamos, nos preocupam com o seu produto.
Nos importamos com o produto deles.
Vou escrever isso bem aqui.
Então a, b, c.
Então se a é 1, b vai ser 12, c é a soma
desse dois, então c vai ser 13, 12, 1 vezes
12 vezes 13, 12 vezes 12 é 144, mais outro 12 vai ser 156.
E só por diversão você pode conferir que
isso vai ser igual a 6 vezes a soma deles.
A soma dele é, 26, 26 vezes 6 é 156
definitivamente funciona, isso definifivamente funciona para as
restrições e que deveria, porque nós resumimos essas restrições
para a vezes b precisa ser igual a 12.
Vamos tentar outro um, 2 vezes 6, a soma deles é
8, e se eu tirar o produto de todos
você pega 2 vezes 6 é 12, vezes 8 é 96, 96.
Poderíamos tentar 3 e 4, 3 mais 4 é 7, 3
vezes 4 é, 3 vezes 4 é 12 vezes 7, na verdade eu deveria
saber, a vezes b é sempre 12, temos só que multiplicar 12 esse última coluna.
12 vezes 7 é 84, 12 vezes 7 é 84, e
não tem outros, você não pode, definitivamente não pode ir acima de 12, porque então
teria que lidar com os não-inteiros, teria que lidar com as frações.
Você não pode fazer as versões negativas disso, porque
todos eles tem que ser inteiros positivos, então é isso,
aqueles são todos inteiros positivos possíveis,
tomamos os seus produtos, você tem, você tem 12.
Você tem essencialmente que fatorar 12.
Eles querem que encontremos a soma de todos os valores possíveis de N.
Bom esse são todos os valores possíveis de n.
Bem, esses são todos os possíveis valores de n.
N é o produto desses inteiros, vamos só pegar.
Vamos só pegar a soma, 6 mais 6 é 12 mais 4 é 16,
1 mais 5 é 6 mais 9 é 15 mais 8 é 23,
2 mais 1 é 3, então nossa
resposta é 336.