1
00:00:00,730 --> 00:00:04,700
Eu tenho esse problema 
aqui do exame AIME 2003

2
00:00:04,700 --> 00:00:08,340
Que representa o American Invitational 
Mathematics Exame, e

3
00:00:08,340 --> 00:00:10,858
esse era na verdade o 
primeiro problema no exame.

4
00:00:10,858 --> 00:00:17,330
O produto N de três números inteiros 
positivos é de seis vezes a sua soma,

5
00:00:17,330 --> 00:00:20,180
e um dos números inteiros 
é a soma dos outros dois.

6
00:00:20,180 --> 00:00:24,160
Encontre a soma de todos 
os valores possíveis de N.

7
00:00:24,160 --> 00:00:27,400
Portanto, temos de lidar 
com três inteiros positivos.

8
00:00:27,400 --> 00:00:30,420
Portanto, temos três 
inteiros positivos bem aqui,

9
00:00:30,420 --> 00:00:32,910
vamos só pensar sobre 
três inteiros positivos.

10
00:00:32,910 --> 00:00:35,450
Vamos chamar eles de a, b e c.

11
00:00:35,450 --> 00:00:37,670
Eles são todos positivos, todos inteiros.

12
00:00:37,670 --> 00:00:41,110
O produto N, destes 3 positivo, 
estes 3 inteiros positivos.

13
00:00:41,110 --> 00:00:48,120
Então a vezes b vezes c é igual 
a N, é 6 vezes a soma deles.

14
00:00:48,120 --> 00:00:50,660
Isso é igual a 6 vezes a soma.

15
00:00:50,660 --> 00:00:52,840
Deixe-me fazer em outra cor.

16
00:00:52,840 --> 00:00:54,430
Então, esse é o produto deles.

17
00:00:54,430 --> 00:01:02,080
O produto N de três positivos inteiros 
é 6 vezes, é 6 vezes a soma deles.

18
00:01:02,080 --> 00:01:09,650
Esta é igual a seis vezes a soma desses 
números inteiros, A mais B mais C.

19
00:01:09,650 --> 00:01:12,980
E um dos números inteiros 
é a soma do outros dois.

20
00:01:14,170 --> 00:01:19,240
Um, um dos números inteiros 
é a soma dos outros dois.

21
00:01:19,240 --> 00:01:22,660
Bem, vamos apenas pegar 
c para ser a soma de a e b.

22
00:01:22,660 --> 00:01:25,600
Podemos fazer, isso não importa, 
são apenas nomes e

23
00:01:25,600 --> 00:01:28,270
não dissemos que um deles 
é maior ou menor que o outro.

24
00:01:28,270 --> 00:01:32,220
Então vamos apenas 
dizer que a mais b é igual a c.

25
00:01:32,220 --> 00:01:37,090
Um dos números inteiros é a soma 
dos outros dois, c é a soma de a mais b.

26
00:01:37,090 --> 00:01:40,913
Encontre a soma de todos 
os valores possíveis de N.

27
00:01:40,913 --> 00:01:44,420
Vamos só tentar

28
00:01:44,420 --> 00:01:47,263
manipular um pouco a informação 
do que temos aqui e talvez,

29
00:01:47,263 --> 00:01:50,570
podemos ter alguma relação ou 
algumas restrições sobre nossos

30
00:01:50,570 --> 00:01:54,050
números e então podemos 
passar por todas as possibilidades.

31
00:01:54,050 --> 00:01:56,730
Vamos ver, sabemos 
que a mais b é igual a c.

32
00:01:56,730 --> 00:02:02,970
Podemos substituir c em todos os lugares 
com a mais b, de modo que essa

33
00:02:02,970 --> 00:02:09,220
expressão bem aqui se torne ab,
que é a vezes b, vezes c, mas

34
00:02:09,220 --> 00:02:14,360
ao invés de c, vou escrever um 
a mais b bem aqui, a mais b

35
00:02:15,620 --> 00:02:22,140
e, em seguida, que é igual a 6 vezes,
é igual a 6 vezes a mais b,

36
00:02:22,140 --> 00:02:24,958
a mais b mais c.

37
00:02:24,958 --> 00:02:30,790
Mais uma vez vou substituir 
o c por um a mais b.

38
00:02:30,790 --> 00:02:33,710
E então para o que isso simplifica.

39
00:02:33,710 --> 00:02:37,020
Do lado direiro, temos 6 vezes
a mais b mais a mais b.

40
00:02:37,020 --> 00:02:43,690
Isso é a mesma coisa que 6 vezes 2a mais
2b, 2a mais 2b,

41
00:02:43,690 --> 00:02:46,820
apenas adicionado os As e os Bs 
e nós podemos fatorar a 2.

42
00:02:46,820 --> 00:02:52,350
Isso é a mesma coisa como se você tirasse 
um 2, 6 vezes 2 é 12 vezes a

43
00:02:52,350 --> 00:02:57,440
mais b, no lado esquerdo 
é ainda, é ainda a

44
00:02:57,440 --> 00:03:02,434
vezes b, ou um b, vezes 
a mais b, então ab vezes

45
00:03:02,434 --> 00:03:07,810
a mais b tem que ser 
igual a 12 vezes a mais b.

46
00:03:07,810 --> 00:03:12,680
Isso é muito interessante, podemos
dividir os dois lados por a mais b.

47
00:03:12,680 --> 00:03:15,740
Sabemos que a mais b 
não vai ser igual a, não pode ser

48
00:03:15,740 --> 00:03:19,480
igual a zero já que todos os 
números tem que ser positivos.

49
00:03:19,480 --> 00:03:22,680
Se dividirmos ambos os lados, 
a razão porque eu digo isso é você,

50
00:03:22,680 --> 00:03:27,550
se dividir, se fosse zero, dividindo por 
zero, daria uma resposta indefinida.

51
00:03:27,550 --> 00:03:34,130
Se dividimos os dois lados por a mais b, 
temos a vezes b igual a 12.

52
00:03:34,130 --> 00:03:37,430
Assim, todas as restrições 
que eles nos deram resumia a

53
00:03:37,430 --> 00:03:40,590
isso bem aqui, o produto de a e b é

54
00:03:40,590 --> 00:03:43,990
igual a 12 e só há tantos números, tantos

55
00:03:43,990 --> 00:03:47,360
inteiros positivos onde, se tirar 
o seu produto, você tem doze anos.

56
00:03:47,360 --> 00:03:48,520
Vamos tentar.

57
00:03:48,520 --> 00:03:49,520
Vamos tentar.

58
00:03:49,520 --> 00:03:51,330
Deixe-me tentar algumas colunas aqui.

59
00:03:51,330 --> 00:03:58,240
Digamos que a, b, c, e, em seguida, nos importamos, 
nos preocupam com o seu produto.

60
00:03:58,240 --> 00:03:59,980
Nos importamos com o produto deles.

61
00:03:59,980 --> 00:04:01,346
Vou escrever isso bem aqui.

62
00:04:01,346 --> 00:04:03,800
Então a, b, c.

63
00:04:03,800 --> 00:04:09,770
Então se a é 1, b vai ser 12, c é a soma

64
00:04:09,770 --> 00:04:14,460
desse dois, então c 
vai ser 13, 12, 1 vezes

65
00:04:14,460 --> 00:04:19,769
12 vezes 13, 12 vezes 12 é 144, 
mais outro 12 vai ser 156.

66
00:04:19,769 --> 00:04:24,420
E só por diversão você pode conferir que

67
00:04:24,420 --> 00:04:27,240
isso vai ser igual a 6 vezes a soma deles.

68
00:04:27,240 --> 00:04:29,640
A soma dele é, 26, 26 vezes 6 é 156

69
00:04:29,640 --> 00:04:34,500
definitivamente funciona, isso
definifivamente funciona para as

70
00:04:34,500 --> 00:04:36,788
restrições e que deveria, porque nós 
resumimos essas restrições

71
00:04:36,788 --> 00:04:39,820
para a vezes b precisa ser igual a 12.

72
00:04:39,820 --> 00:04:45,007
Vamos tentar outro um, 
2 vezes 6, a soma deles é

73
00:04:45,007 --> 00:04:50,400
8, e se eu tirar o produto de todos

74
00:04:50,400 --> 00:04:55,330
você pega 2 vezes 6 é 12, 
vezes 8 é 96, 96.

75
00:04:55,330 --> 00:05:00,540
Poderíamos tentar 3 e 4, 3 mais 4 é 7, 3

76
00:05:00,540 --> 00:05:05,800
vezes 4 é, 3 vezes 4 é 12 vezes 7, 
na verdade eu deveria

77
00:05:05,800 --> 00:05:11,360
saber, a vezes b é sempre 12, 
temos só que multiplicar 12 esse última coluna.

78
00:05:11,360 --> 00:05:14,580
12 vezes 7 é 84, 12 vezes 7 é 84, e

79
00:05:17,110 --> 00:05:21,150
não tem outros, você não pode, definitivamente 
não pode ir acima de 12, porque então

80
00:05:21,150 --> 00:05:23,170
teria que lidar com os não-inteiros,
teria que lidar com as frações.

81
00:05:23,170 --> 00:05:24,450
Você não pode fazer as versões 
negativas disso, porque

82
00:05:24,450 --> 00:05:25,790
todos eles tem que ser 
inteiros positivos, então é isso,

83
00:05:25,790 --> 00:05:27,840
aqueles são todos inteiros 
positivos possíveis,

84
00:05:27,840 --> 00:05:30,730
tomamos os seus produtos, 
você tem, você tem 12.

85
00:05:30,730 --> 00:05:33,010
Você tem essencialmente que fatorar 12.

86
00:05:33,010 --> 00:05:35,110
Eles querem que encontremos a 
soma de todos os valores possíveis de N.

87
00:05:35,110 --> 00:05:40,750
Bom esse são todos os valores possíveis de n.

88
00:05:40,750 --> 00:05:43,910
Bem, esses são todos os possíveis valores de n.

89
00:05:43,910 --> 00:05:46,460
N é o produto desses inteiros, vamos só pegar.

90
00:05:46,460 --> 00:05:51,500
Vamos só pegar a soma, 
6 mais 6 é 12 mais 4 é 16,

91
00:05:51,500 --> 00:05:56,510
1 mais 5 é 6 mais 9 é 15 mais 8 é 23,

92
00:05:56,510 --> 00:06:01,880
2 mais 1 é 3, então nossa

93
00:06:01,880 --> 00:06:07,189
resposta é 336.