WEBVTT 00:00:00.730 --> 00:00:04.700 Eu tenho esse problema aqui do exame AIME 2003 00:00:04.700 --> 00:00:08.340 Que representa o American Invitational Mathematics Exame, e 00:00:08.340 --> 00:00:10.858 esse era na verdade o primeiro problema no exame. 00:00:10.858 --> 00:00:17.330 O produto N de três números inteiros positivos é de seis vezes a sua soma, 00:00:17.330 --> 00:00:20.180 e um dos números inteiros é a soma dos outros dois. 00:00:20.180 --> 00:00:24.160 Encontre a soma de todos os valores possíveis de N. 00:00:24.160 --> 00:00:27.400 Portanto, temos de lidar com três inteiros positivos. 00:00:27.400 --> 00:00:30.420 Portanto, temos três inteiros positivos bem aqui, 00:00:30.420 --> 00:00:32.910 vamos só pensar sobre três inteiros positivos. 00:00:32.910 --> 00:00:35.450 Vamos chamar eles de a, b e c. 00:00:35.450 --> 00:00:37.670 Eles são todos positivos, todos inteiros. 00:00:37.670 --> 00:00:41.110 O produto N, destes 3 positivo, estes 3 inteiros positivos. 00:00:41.110 --> 00:00:48.120 Então a vezes b vezes c é igual a N, é 6 vezes a soma deles. 00:00:48.120 --> 00:00:50.660 Isso é igual a 6 vezes a soma. 00:00:50.660 --> 00:00:52.840 Deixe-me fazer em outra cor. 00:00:52.840 --> 00:00:54.430 Então, esse é o produto deles. 00:00:54.430 --> 00:01:02.080 O produto N de três positivos inteiros é 6 vezes, é 6 vezes a soma deles. 00:01:02.080 --> 00:01:09.650 Esta é igual a seis vezes a soma desses números inteiros, A mais B mais C. 00:01:09.650 --> 00:01:12.980 E um dos números inteiros é a soma do outros dois. 00:01:14.170 --> 00:01:19.240 Um, um dos números inteiros é a soma dos outros dois. 00:01:19.240 --> 00:01:22.660 Bem, vamos apenas pegar c para ser a soma de a e b. 00:01:22.660 --> 00:01:25.600 Podemos fazer, isso não importa, são apenas nomes e 00:01:25.600 --> 00:01:28.270 não dissemos que um deles é maior ou menor que o outro. 00:01:28.270 --> 00:01:32.220 Então vamos apenas dizer que a mais b é igual a c. 00:01:32.220 --> 00:01:37.090 Um dos números inteiros é a soma dos outros dois, c é a soma de a mais b. 00:01:37.090 --> 00:01:40.913 Encontre a soma de todos os valores possíveis de N. 00:01:40.913 --> 00:01:44.420 Vamos só tentar 00:01:44.420 --> 00:01:47.263 manipular um pouco a informação do que temos aqui e talvez, 00:01:47.263 --> 00:01:50.570 podemos ter alguma relação ou algumas restrições sobre nossos 00:01:50.570 --> 00:01:54.050 números e então podemos passar por todas as possibilidades. 00:01:54.050 --> 00:01:56.730 Vamos ver, sabemos que a mais b é igual a c. 00:01:56.730 --> 00:02:02.970 Podemos substituir c em todos os lugares com a mais b, de modo que essa 00:02:02.970 --> 00:02:09.220 expressão bem aqui se torne ab, que é a vezes b, vezes c, mas 00:02:09.220 --> 00:02:14.360 ao invés de c, vou escrever um a mais b bem aqui, a mais b 00:02:15.620 --> 00:02:22.140 e, em seguida, que é igual a 6 vezes, é igual a 6 vezes a mais b, 00:02:22.140 --> 00:02:24.958 a mais b mais c. 00:02:24.958 --> 00:02:30.790 Mais uma vez vou substituir o c por um a mais b. 00:02:30.790 --> 00:02:33.710 E então para o que isso simplifica. 00:02:33.710 --> 00:02:37.020 Do lado direiro, temos 6 vezes a mais b mais a mais b. 00:02:37.020 --> 00:02:43.690 Isso é a mesma coisa que 6 vezes 2a mais 2b, 2a mais 2b, 00:02:43.690 --> 00:02:46.820 apenas adicionado os As e os Bs e nós podemos fatorar a 2. 00:02:46.820 --> 00:02:52.350 Isso é a mesma coisa como se você tirasse um 2, 6 vezes 2 é 12 vezes a 00:02:52.350 --> 00:02:57.440 mais b, no lado esquerdo é ainda, é ainda a 00:02:57.440 --> 00:03:02.434 vezes b, ou um b, vezes a mais b, então ab vezes 00:03:02.434 --> 00:03:07.810 a mais b tem que ser igual a 12 vezes a mais b. 00:03:07.810 --> 00:03:12.680 Isso é muito interessante, podemos dividir os dois lados por a mais b. 00:03:12.680 --> 00:03:15.740 Sabemos que a mais b não vai ser igual a, não pode ser 00:03:15.740 --> 00:03:19.480 igual a zero já que todos os números tem que ser positivos. 00:03:19.480 --> 00:03:22.680 Se dividirmos ambos os lados, a razão porque eu digo isso é você, 00:03:22.680 --> 00:03:27.550 se dividir, se fosse zero, dividindo por zero, daria uma resposta indefinida. 00:03:27.550 --> 00:03:34.130 Se dividimos os dois lados por a mais b, temos a vezes b igual a 12. 00:03:34.130 --> 00:03:37.430 Assim, todas as restrições que eles nos deram resumia a 00:03:37.430 --> 00:03:40.590 isso bem aqui, o produto de a e b é 00:03:40.590 --> 00:03:43.990 igual a 12 e só há tantos números, tantos 00:03:43.990 --> 00:03:47.360 inteiros positivos onde, se tirar o seu produto, você tem doze anos. 00:03:47.360 --> 00:03:48.520 Vamos tentar. 00:03:48.520 --> 00:03:49.520 Vamos tentar. 00:03:49.520 --> 00:03:51.330 Deixe-me tentar algumas colunas aqui. 00:03:51.330 --> 00:03:58.240 Digamos que a, b, c, e, em seguida, nos importamos, nos preocupam com o seu produto. 00:03:58.240 --> 00:03:59.980 Nos importamos com o produto deles. 00:03:59.980 --> 00:04:01.346 Vou escrever isso bem aqui. 00:04:01.346 --> 00:04:03.800 Então a, b, c. 00:04:03.800 --> 00:04:09.770 Então se a é 1, b vai ser 12, c é a soma 00:04:09.770 --> 00:04:14.460 desse dois, então c vai ser 13, 12, 1 vezes 00:04:14.460 --> 00:04:19.769 12 vezes 13, 12 vezes 12 é 144, mais outro 12 vai ser 156. 00:04:19.769 --> 00:04:24.420 E só por diversão você pode conferir que 00:04:24.420 --> 00:04:27.240 isso vai ser igual a 6 vezes a soma deles. 00:04:27.240 --> 00:04:29.640 A soma dele é, 26, 26 vezes 6 é 156 00:04:29.640 --> 00:04:34.500 definitivamente funciona, isso definifivamente funciona para as 00:04:34.500 --> 00:04:36.788 restrições e que deveria, porque nós resumimos essas restrições 00:04:36.788 --> 00:04:39.820 para a vezes b precisa ser igual a 12. 00:04:39.820 --> 00:04:45.007 Vamos tentar outro um, 2 vezes 6, a soma deles é 00:04:45.007 --> 00:04:50.400 8, e se eu tirar o produto de todos 00:04:50.400 --> 00:04:55.330 você pega 2 vezes 6 é 12, vezes 8 é 96, 96. 00:04:55.330 --> 00:05:00.540 Poderíamos tentar 3 e 4, 3 mais 4 é 7, 3 00:05:00.540 --> 00:05:05.800 vezes 4 é, 3 vezes 4 é 12 vezes 7, na verdade eu deveria 00:05:05.800 --> 00:05:11.360 saber, a vezes b é sempre 12, temos só que multiplicar 12 esse última coluna. 00:05:11.360 --> 00:05:14.580 12 vezes 7 é 84, 12 vezes 7 é 84, e 00:05:17.110 --> 00:05:21.150 não tem outros, você não pode, definitivamente não pode ir acima de 12, porque então 00:05:21.150 --> 00:05:23.170 teria que lidar com os não-inteiros, teria que lidar com as frações. 00:05:23.170 --> 00:05:24.450 Você não pode fazer as versões negativas disso, porque 00:05:24.450 --> 00:05:25.790 todos eles tem que ser inteiros positivos, então é isso, 00:05:25.790 --> 00:05:27.840 aqueles são todos inteiros positivos possíveis, 00:05:27.840 --> 00:05:30.730 tomamos os seus produtos, você tem, você tem 12. 00:05:30.730 --> 00:05:33.010 Você tem essencialmente que fatorar 12. 00:05:33.010 --> 00:05:35.110 Eles querem que encontremos a soma de todos os valores possíveis de N. 00:05:35.110 --> 00:05:40.750 Bom esse são todos os valores possíveis de n. 00:05:40.750 --> 00:05:43.910 Bem, esses são todos os possíveis valores de n. 00:05:43.910 --> 00:05:46.460 N é o produto desses inteiros, vamos só pegar. 00:05:46.460 --> 00:05:51.500 Vamos só pegar a soma, 6 mais 6 é 12 mais 4 é 16, 00:05:51.500 --> 00:05:56.510 1 mais 5 é 6 mais 9 é 15 mais 8 é 23, 00:05:56.510 --> 00:06:01.880 2 mais 1 é 3, então nossa 00:06:01.880 --> 00:06:07.189 resposta é 336.