WEBVTT

00:00:00.730 --> 00:00:04.700
Eu tenho esse problema 
aqui do exame AIME 2003

00:00:04.700 --> 00:00:08.340
Que representa o American Invitational 
Mathematics Exame, e

00:00:08.340 --> 00:00:10.858
esse era na verdade o 
primeiro problema no exame.

00:00:10.858 --> 00:00:17.330
O produto N de três números inteiros 
positivos é de seis vezes a sua soma,

00:00:17.330 --> 00:00:20.180
e um dos números inteiros 
é a soma dos outros dois.

00:00:20.180 --> 00:00:24.160
Encontre a soma de todos 
os valores possíveis de N.

00:00:24.160 --> 00:00:27.400
Portanto, temos de lidar 
com três inteiros positivos.

00:00:27.400 --> 00:00:30.420
Portanto, temos três 
inteiros positivos bem aqui,

00:00:30.420 --> 00:00:32.910
vamos só pensar sobre 
três inteiros positivos.

00:00:32.910 --> 00:00:35.450
Vamos chamar eles de a, b e c.

00:00:35.450 --> 00:00:37.670
Eles são todos positivos, todos inteiros.

00:00:37.670 --> 00:00:41.110
O produto N, destes 3 positivo, 
estes 3 inteiros positivos.

00:00:41.110 --> 00:00:48.120
Então a vezes b vezes c é igual 
a N, é 6 vezes a soma deles.

00:00:48.120 --> 00:00:50.660
Isso é igual a 6 vezes a soma.

00:00:50.660 --> 00:00:52.840
Deixe-me fazer em outra cor.

00:00:52.840 --> 00:00:54.430
Então, esse é o produto deles.

00:00:54.430 --> 00:01:02.080
O produto N de três positivos inteiros 
é 6 vezes, é 6 vezes a soma deles.

00:01:02.080 --> 00:01:09.650
Esta é igual a seis vezes a soma desses 
números inteiros, A mais B mais C.

00:01:09.650 --> 00:01:12.980
E um dos números inteiros 
é a soma do outros dois.

00:01:14.170 --> 00:01:19.240
Um, um dos números inteiros 
é a soma dos outros dois.

00:01:19.240 --> 00:01:22.660
Bem, vamos apenas pegar 
c para ser a soma de a e b.

00:01:22.660 --> 00:01:25.600
Podemos fazer, isso não importa, 
são apenas nomes e

00:01:25.600 --> 00:01:28.270
não dissemos que um deles 
é maior ou menor que o outro.

00:01:28.270 --> 00:01:32.220
Então vamos apenas 
dizer que a mais b é igual a c.

00:01:32.220 --> 00:01:37.090
Um dos números inteiros é a soma 
dos outros dois, c é a soma de a mais b.

00:01:37.090 --> 00:01:40.913
Encontre a soma de todos 
os valores possíveis de N.

00:01:40.913 --> 00:01:44.420
Vamos só tentar

00:01:44.420 --> 00:01:47.263
manipular um pouco a informação 
do que temos aqui e talvez,

00:01:47.263 --> 00:01:50.570
podemos ter alguma relação ou 
algumas restrições sobre nossos

00:01:50.570 --> 00:01:54.050
números e então podemos 
passar por todas as possibilidades.

00:01:54.050 --> 00:01:56.730
Vamos ver, sabemos 
que a mais b é igual a c.

00:01:56.730 --> 00:02:02.970
Podemos substituir c em todos os lugares 
com a mais b, de modo que essa

00:02:02.970 --> 00:02:09.220
expressão bem aqui se torne ab,
que é a vezes b, vezes c, mas

00:02:09.220 --> 00:02:14.360
ao invés de c, vou escrever um 
a mais b bem aqui, a mais b

00:02:15.620 --> 00:02:22.140
e, em seguida, que é igual a 6 vezes,
é igual a 6 vezes a mais b,

00:02:22.140 --> 00:02:24.958
a mais b mais c.

00:02:24.958 --> 00:02:30.790
Mais uma vez vou substituir 
o c por um a mais b.

00:02:30.790 --> 00:02:33.710
E então para o que isso simplifica.

00:02:33.710 --> 00:02:37.020
Do lado direiro, temos 6 vezes
a mais b mais a mais b.

00:02:37.020 --> 00:02:43.690
Isso é a mesma coisa que 6 vezes 2a mais
2b, 2a mais 2b,

00:02:43.690 --> 00:02:46.820
apenas adicionado os As e os Bs 
e nós podemos fatorar a 2.

00:02:46.820 --> 00:02:52.350
Isso é a mesma coisa como se você tirasse 
um 2, 6 vezes 2 é 12 vezes a

00:02:52.350 --> 00:02:57.440
mais b, no lado esquerdo 
é ainda, é ainda a

00:02:57.440 --> 00:03:02.434
vezes b, ou um b, vezes 
a mais b, então ab vezes

00:03:02.434 --> 00:03:07.810
a mais b tem que ser 
igual a 12 vezes a mais b.

00:03:07.810 --> 00:03:12.680
Isso é muito interessante, podemos
dividir os dois lados por a mais b.

00:03:12.680 --> 00:03:15.740
Sabemos que a mais b 
não vai ser igual a, não pode ser

00:03:15.740 --> 00:03:19.480
igual a zero já que todos os 
números tem que ser positivos.

00:03:19.480 --> 00:03:22.680
Se dividirmos ambos os lados, 
a razão porque eu digo isso é você,

00:03:22.680 --> 00:03:27.550
se dividir, se fosse zero, dividindo por 
zero, daria uma resposta indefinida.

00:03:27.550 --> 00:03:34.130
Se dividimos os dois lados por a mais b, 
temos a vezes b igual a 12.

00:03:34.130 --> 00:03:37.430
Assim, todas as restrições 
que eles nos deram resumia a

00:03:37.430 --> 00:03:40.590
isso bem aqui, o produto de a e b é

00:03:40.590 --> 00:03:43.990
igual a 12 e só há tantos números, tantos

00:03:43.990 --> 00:03:47.360
inteiros positivos onde, se tirar 
o seu produto, você tem doze anos.

00:03:47.360 --> 00:03:48.520
Vamos tentar.

00:03:48.520 --> 00:03:49.520
Vamos tentar.

00:03:49.520 --> 00:03:51.330
Deixe-me tentar algumas colunas aqui.

00:03:51.330 --> 00:03:58.240
Digamos que a, b, c, e, em seguida, nos importamos, 
nos preocupam com o seu produto.

00:03:58.240 --> 00:03:59.980
Nos importamos com o produto deles.

00:03:59.980 --> 00:04:01.346
Vou escrever isso bem aqui.

00:04:01.346 --> 00:04:03.800
Então a, b, c.

00:04:03.800 --> 00:04:09.770
Então se a é 1, b vai ser 12, c é a soma

00:04:09.770 --> 00:04:14.460
desse dois, então c 
vai ser 13, 12, 1 vezes

00:04:14.460 --> 00:04:19.769
12 vezes 13, 12 vezes 12 é 144, 
mais outro 12 vai ser 156.

00:04:19.769 --> 00:04:24.420
E só por diversão você pode conferir que

00:04:24.420 --> 00:04:27.240
isso vai ser igual a 6 vezes a soma deles.

00:04:27.240 --> 00:04:29.640
A soma dele é, 26, 26 vezes 6 é 156

00:04:29.640 --> 00:04:34.500
definitivamente funciona, isso
definifivamente funciona para as

00:04:34.500 --> 00:04:36.788
restrições e que deveria, porque nós 
resumimos essas restrições

00:04:36.788 --> 00:04:39.820
para a vezes b precisa ser igual a 12.

00:04:39.820 --> 00:04:45.007
Vamos tentar outro um, 
2 vezes 6, a soma deles é

00:04:45.007 --> 00:04:50.400
8, e se eu tirar o produto de todos

00:04:50.400 --> 00:04:55.330
você pega 2 vezes 6 é 12, 
vezes 8 é 96, 96.

00:04:55.330 --> 00:05:00.540
Poderíamos tentar 3 e 4, 3 mais 4 é 7, 3

00:05:00.540 --> 00:05:05.800
vezes 4 é, 3 vezes 4 é 12 vezes 7, 
na verdade eu deveria

00:05:05.800 --> 00:05:11.360
saber, a vezes b é sempre 12, 
temos só que multiplicar 12 esse última coluna.

00:05:11.360 --> 00:05:14.580
12 vezes 7 é 84, 12 vezes 7 é 84, e

00:05:17.110 --> 00:05:21.150
não tem outros, você não pode, definitivamente 
não pode ir acima de 12, porque então

00:05:21.150 --> 00:05:23.170
teria que lidar com os não-inteiros,
teria que lidar com as frações.

00:05:23.170 --> 00:05:24.450
Você não pode fazer as versões 
negativas disso, porque

00:05:24.450 --> 00:05:25.790
todos eles tem que ser 
inteiros positivos, então é isso,

00:05:25.790 --> 00:05:27.840
aqueles são todos inteiros 
positivos possíveis,

00:05:27.840 --> 00:05:30.730
tomamos os seus produtos, 
você tem, você tem 12.

00:05:30.730 --> 00:05:33.010
Você tem essencialmente que fatorar 12.

00:05:33.010 --> 00:05:35.110
Eles querem que encontremos a 
soma de todos os valores possíveis de N.

00:05:35.110 --> 00:05:40.750
Bom esse são todos os valores possíveis de n.

00:05:40.750 --> 00:05:43.910
Bem, esses são todos os possíveis valores de n.

00:05:43.910 --> 00:05:46.460
N é o produto desses inteiros, vamos só pegar.

00:05:46.460 --> 00:05:51.500
Vamos só pegar a soma, 
6 mais 6 é 12 mais 4 é 16,

00:05:51.500 --> 00:05:56.510
1 mais 5 é 6 mais 9 é 15 mais 8 é 23,

00:05:56.510 --> 00:06:01.880
2 mais 1 é 3, então nossa

00:06:01.880 --> 00:06:07.189
resposta é 336.