0:00:00.730,0:00:04.700
Eu tenho esse problema [br]aqui do exame AIME 2003

0:00:04.700,0:00:08.340
Que representa o American Invitational [br]Mathematics Exame, e

0:00:08.340,0:00:10.858
esse era na verdade o [br]primeiro problema no exame.

0:00:10.858,0:00:17.330
O produto N de três números inteiros [br]positivos é de seis vezes a sua soma,

0:00:17.330,0:00:20.180
e um dos números inteiros [br]é a soma dos outros dois.

0:00:20.180,0:00:24.160
Encontre a soma de todos [br]os valores possíveis de N.

0:00:24.160,0:00:27.400
Portanto, temos de lidar [br]com três inteiros positivos.

0:00:27.400,0:00:30.420
Portanto, temos três [br]inteiros positivos bem aqui,

0:00:30.420,0:00:32.910
vamos só pensar sobre [br]três inteiros positivos.

0:00:32.910,0:00:35.450
Vamos chamar eles de a, b e c.

0:00:35.450,0:00:37.670
Eles são todos positivos, todos inteiros.

0:00:37.670,0:00:41.110
O produto N, destes 3 positivo, [br]estes 3 inteiros positivos.

0:00:41.110,0:00:48.120
Então a vezes b vezes c é igual [br]a N, é 6 vezes a soma deles.

0:00:48.120,0:00:50.660
Isso é igual a 6 vezes a soma.

0:00:50.660,0:00:52.840
Deixe-me fazer em outra cor.

0:00:52.840,0:00:54.430
Então, esse é o produto deles.

0:00:54.430,0:01:02.080
O produto N de três positivos inteiros [br]é 6 vezes, é 6 vezes a soma deles.

0:01:02.080,0:01:09.650
Esta é igual a seis vezes a soma desses [br]números inteiros, A mais B mais C.

0:01:09.650,0:01:12.980
E um dos números inteiros [br]é a soma do outros dois.

0:01:14.170,0:01:19.240
Um, um dos números inteiros [br]é a soma dos outros dois.

0:01:19.240,0:01:22.660
Bem, vamos apenas pegar [br]c para ser a soma de a e b.

0:01:22.660,0:01:25.600
Podemos fazer, isso não importa, [br]são apenas nomes e

0:01:25.600,0:01:28.270
não dissemos que um deles [br]é maior ou menor que o outro.

0:01:28.270,0:01:32.220
Então vamos apenas [br]dizer que a mais b é igual a c.

0:01:32.220,0:01:37.090
Um dos números inteiros é a soma [br]dos outros dois, c é a soma de a mais b.

0:01:37.090,0:01:40.913
Encontre a soma de todos [br]os valores possíveis de N.

0:01:40.913,0:01:44.420
Vamos só tentar

0:01:44.420,0:01:47.263
manipular um pouco a informação [br]do que temos aqui e talvez,

0:01:47.263,0:01:50.570
podemos ter alguma relação ou [br]algumas restrições sobre nossos

0:01:50.570,0:01:54.050
números e então podemos [br]passar por todas as possibilidades.

0:01:54.050,0:01:56.730
Vamos ver, sabemos [br]que a mais b é igual a c.

0:01:56.730,0:02:02.970
Podemos substituir c em todos os lugares [br]com a mais b, de modo que essa

0:02:02.970,0:02:09.220
expressão bem aqui se torne ab,[br]que é a vezes b, vezes c, mas

0:02:09.220,0:02:14.360
ao invés de c, vou escrever um [br]a mais b bem aqui, a mais b

0:02:15.620,0:02:22.140
e, em seguida, que é igual a 6 vezes,[br]é igual a 6 vezes a mais b,

0:02:22.140,0:02:24.958
a mais b mais c.

0:02:24.958,0:02:30.790
Mais uma vez vou substituir [br]o c por um a mais b.

0:02:30.790,0:02:33.710
E então para o que isso simplifica.

0:02:33.710,0:02:37.020
Do lado direiro, temos 6 vezes[br]a mais b mais a mais b.

0:02:37.020,0:02:43.690
Isso é a mesma coisa que 6 vezes 2a mais[br]2b, 2a mais 2b,

0:02:43.690,0:02:46.820
apenas adicionado os As e os Bs [br]e nós podemos fatorar a 2.

0:02:46.820,0:02:52.350
Isso é a mesma coisa como se você tirasse [br]um 2, 6 vezes 2 é 12 vezes a

0:02:52.350,0:02:57.440
mais b, no lado esquerdo [br]é ainda, é ainda a

0:02:57.440,0:03:02.434
vezes b, ou um b, vezes [br]a mais b, então ab vezes

0:03:02.434,0:03:07.810
a mais b tem que ser [br]igual a 12 vezes a mais b.

0:03:07.810,0:03:12.680
Isso é muito interessante, podemos[br]dividir os dois lados por a mais b.

0:03:12.680,0:03:15.740
Sabemos que a mais b [br]não vai ser igual a, não pode ser

0:03:15.740,0:03:19.480
igual a zero já que todos os [br]números tem que ser positivos.

0:03:19.480,0:03:22.680
Se dividirmos ambos os lados, [br]a razão porque eu digo isso é você,

0:03:22.680,0:03:27.550
se dividir, se fosse zero, dividindo por [br]zero, daria uma resposta indefinida.

0:03:27.550,0:03:34.130
Se dividimos os dois lados por a mais b, [br]temos a vezes b igual a 12.

0:03:34.130,0:03:37.430
Assim, todas as restrições [br]que eles nos deram resumia a

0:03:37.430,0:03:40.590
isso bem aqui, o produto de a e b é

0:03:40.590,0:03:43.990
igual a 12 e só há tantos números, tantos

0:03:43.990,0:03:47.360
inteiros positivos onde, se tirar [br]o seu produto, você tem doze anos.

0:03:47.360,0:03:48.520
Vamos tentar.

0:03:48.520,0:03:49.520
Vamos tentar.

0:03:49.520,0:03:51.330
Deixe-me tentar algumas colunas aqui.

0:03:51.330,0:03:58.240
Digamos que a, b, c, e, em seguida, nos importamos, [br]nos preocupam com o seu produto.

0:03:58.240,0:03:59.980
Nos importamos com o produto deles.

0:03:59.980,0:04:01.346
Vou escrever isso bem aqui.

0:04:01.346,0:04:03.800
Então a, b, c.

0:04:03.800,0:04:09.770
Então se a é 1, b vai ser 12, c é a soma

0:04:09.770,0:04:14.460
desse dois, então c [br]vai ser 13, 12, 1 vezes

0:04:14.460,0:04:19.769
12 vezes 13, 12 vezes 12 é 144, [br]mais outro 12 vai ser 156.

0:04:19.769,0:04:24.420
E só por diversão você pode conferir que

0:04:24.420,0:04:27.240
isso vai ser igual a 6 vezes a soma deles.

0:04:27.240,0:04:29.640
A soma dele é, 26, 26 vezes 6 é 156

0:04:29.640,0:04:34.500
definitivamente funciona, isso[br]definifivamente funciona para as

0:04:34.500,0:04:36.788
restrições e que deveria, porque nós [br]resumimos essas restrições

0:04:36.788,0:04:39.820
para a vezes b precisa ser igual a 12.

0:04:39.820,0:04:45.007
Vamos tentar outro um, [br]2 vezes 6, a soma deles é

0:04:45.007,0:04:50.400
8, e se eu tirar o produto de todos

0:04:50.400,0:04:55.330
você pega 2 vezes 6 é 12, [br]vezes 8 é 96, 96.

0:04:55.330,0:05:00.540
Poderíamos tentar 3 e 4, 3 mais 4 é 7, 3

0:05:00.540,0:05:05.800
vezes 4 é, 3 vezes 4 é 12 vezes 7, [br]na verdade eu deveria

0:05:05.800,0:05:11.360
saber, a vezes b é sempre 12, [br]temos só que multiplicar 12 esse última coluna.

0:05:11.360,0:05:14.580
12 vezes 7 é 84, 12 vezes 7 é 84, e

0:05:17.110,0:05:21.150
não tem outros, você não pode, definitivamente [br]não pode ir acima de 12, porque então

0:05:21.150,0:05:23.170
teria que lidar com os não-inteiros,[br]teria que lidar com as frações.

0:05:23.170,0:05:24.450
Você não pode fazer as versões [br]negativas disso, porque

0:05:24.450,0:05:25.790
todos eles tem que ser [br]inteiros positivos, então é isso,

0:05:25.790,0:05:27.840
aqueles são todos inteiros [br]positivos possíveis,

0:05:27.840,0:05:30.730
tomamos os seus produtos, [br]você tem, você tem 12.

0:05:30.730,0:05:33.010
Você tem essencialmente que fatorar 12.

0:05:33.010,0:05:35.110
Eles querem que encontremos a [br]soma de todos os valores possíveis de N.

0:05:35.110,0:05:40.750
Bom esse são todos os valores possíveis de n.

0:05:40.750,0:05:43.910
Bem, esses são todos os possíveis valores de n.

0:05:43.910,0:05:46.460
N é o produto desses inteiros, vamos só pegar.

0:05:46.460,0:05:51.500
Vamos só pegar a soma, [br]6 mais 6 é 12 mais 4 é 16,

0:05:51.500,0:05:56.510
1 mais 5 é 6 mais 9 é 15 mais 8 é 23,

0:05:56.510,0:06:01.880
2 mais 1 é 3, então nossa

0:06:01.880,0:06:07.189
resposta é 336.