Examples identifying u for u substitution

В настоящия урок ще се упражняваме
да разпознаваме кога да използваме

интегриране със заместване и да избираме
подходящ израз за u.

Нека е даден неопределеният интеграл

от натурален логаритъм от х

на десета степен.

Всичко това е върху х, dx.

Приложимо ли е тук
интегриране със заместване

и ако да, то как ще го приложим?

Ключовото нещо за интегриране
със заместване е да открием

имаме ли дадена функция
и нейната производна.

Тук веднага може да се досетиш,

че производната на натурален
логаритъм от х е равна на 1/х.

За да стане малко по-ясно,

мога да запиша интеграла
по следния начин.

Интеграл от натурален логаритъм
от х на десета,

умножено по 1/х, dx.

Ето сега вече се вижда.

Имаме някаква функция,
т.е. натурален логаритъм от x,

която е повдигната на
десета степен.

Имаме обаче и производната ѝ
ето тук,

която е равна на 1/х.

Следователно може
да използваме заместваме.

Може да изберем u

да е равно на натурален
логаритъм от х.

Причината да избера
натурален логаритъм от х е,

че виждам ето този израз,
който е точно производната му.

Нещо близко до производната му,
а в този случай дори точно производната му.

След това мога да запиша du/dx

е равно на 1/х.

Което означава, че du

е равно на 1/x, dx.

Ето, че заместихме.

Този израз тук е du,

а този ето тук, е равен на u.

Тогава даденият интеграл
се опростява

до интеграл

от u на десета степен,

умножено по du.

Сега ще изчислим на какво
е равен интеграла,

т.е. ще намерим
примитивната му функция.

След това ще заместим обратно
u с натурален логаритъм от х,

за да изчислим първоначалния
интеграл.

Нека да решим друг пример.

Нека да кажем, че е даден

интеграл от следното нещо.

Нека да направим

нещо интересно тук.

Нека е даден интеграл от
тангенс от х, dx.

Приложимо ли е
интегриране със заместване тук?

На пръв поглед забелязваш,
че имаме само тангенс от х.

А къде е производната му?

Интересното нещо обаче, което
може да направим,

е да запишем функцията тангенс,
изразена чрез синус и косинус.

Следователно записваме израза
като интеграл

от синус от х,

върху косинус от х, dx.

Може би сега ще попиташ:

"А как да приложим
интегриране със заместване тук?".

Има няколко начина,
по които да се разглежда.

Може да кажем, че производната
на синус от х е косинус от х.

Сега обаче делим на производната,

а следва да умножаваме по нея.

По-интересното обаче е,

че производната на косинус от х
е равна на минус синус от х.

Нямаме минус синус от х тук,

но може да преобразуваме малко
дадения израз.

Може да умножим два пъти
по минус 1.

Може да кажем, че имаме минус
от минус синус от х –

като избирам единия минус

да е изнесен пред интеграла,

защото това следва директно
от свойствата на интегрирането.

Това е еквивалентен израз
на дадения.

Мога да запиша минус извън
интеграла

и минус под интеграла,

така че числителят да е равен
на производната от косинус от х.

Сега има нещо интересно.

Нека всъщност да запиша
интеграла ето така.

Това ще бъде равно на

минус интеграл

от 1 върху косинус от х,

умножено по минус
синус от х, dx.

А сега досещаш ли се с какво
можем да положим (заместим) за u?

Имам косинус от х в знаменателя,

а имам и производната му.

Тогава какво ще се получи, ако избера
u да е равно на косинус от х?

u е равно на косинус от х.

Тогава du/dx

ще бъде равно на минус
синус от х.

Следователно

du е равно на минус
синус от х, dx.

Ето така се получава, че имаме
du ето тук,

а ето това разбира се, е избраният
израз за u.

И сега целият интеграл
се опростява.

Равно е на минус

неопределен интеграл от 1/u,

умножено по du.

Което е много по-лесен за
решаване интеграл.

След като го решим,

ще заместим обратно
u с косинус от х.