0:00:00.613,0:00:04.220 В настоящия урок ще се упражняваме[br]да разпознаваме кога да използваме 0:00:04.220,0:00:07.509 интегриране със заместване и да избираме[br]подходящ израз за u. 0:00:07.509,0:00:11.460 Нека е даден неопределеният интеграл 0:00:11.460,0:00:15.500 от натурален логаритъм от х 0:00:15.700,0:00:19.980 на десета степен. 0:00:20.880,0:00:23.520 Всичко това е върху х, dx. 0:00:24.080,0:00:25.480 Приложимо ли е тук [br]интегриране със заместване 0:00:25.480,0:00:28.080 и ако да, то как ще го приложим? 0:00:28.640,0:00:31.040 Ключовото нещо за интегриране [br]със заместване е да открием 0:00:31.040,0:00:34.580 имаме ли дадена функция[br]и нейната производна. 0:00:34.583,0:00:36.302 Тук веднага може да се досетиш, 0:00:36.302,0:00:39.460 че производната на натурален[br]логаритъм от х е равна на 1/х. 0:00:39.460,0:00:40.501 За да стане малко по-ясно, 0:00:40.501,0:00:43.845 мога да запиша интеграла[br]по следния начин. 0:00:43.845,0:00:47.375 Интеграл от натурален логаритъм[br]от х на десета, 0:00:47.380,0:00:50.420 умножено по 1/х, dx. 0:00:50.780,0:00:52.000 Ето сега вече се вижда. 0:00:52.012,0:00:54.404 Имаме някаква функция,[br]т.е. натурален логаритъм от x, 0:00:54.404,0:00:56.355 която е повдигната на[br]десета степен. 0:00:56.355,0:00:58.212 Имаме обаче и производната ѝ[br]ето тук, 0:00:58.212,0:00:59.512 която е равна на 1/х. 0:00:59.512,0:01:01.718 Следователно може[br]да използваме заместваме. 0:01:01.718,0:01:03.301 Може да изберем u 0:01:04.249,0:01:06.455 да е равно на натурален[br]логаритъм от х. 0:01:06.455,0:01:07.872 Причината да избера[br]натурален логаритъм от х е, 0:01:07.872,0:01:10.588 че виждам ето този израз, [br]който е точно производната му. 0:01:10.588,0:01:13.700 Нещо близко до производната му,[br]а в този случай дори точно производната му. 0:01:13.700,0:01:19.440 След това мога да запиша du/dx 0:01:19.520,0:01:21.180 е равно на 1/х. 0:01:21.620,0:01:23.760 Което означава, че du 0:01:23.820,0:01:27.620 е равно на 1/x, dx. 0:01:27.660,0:01:29.071 Ето, че заместихме. 0:01:29.071,0:01:31.858 Този израз тук е du, 0:01:31.858,0:01:35.712 а този ето тук, е равен на u. 0:01:35.712,0:01:38.290 Тогава даденият интеграл[br]се опростява 0:01:38.290,0:01:40.480 до интеграл 0:01:40.500,0:01:45.760 от u на десета степен, 0:01:45.820,0:01:47.740 умножено по du. 0:01:47.940,0:01:49.940 Сега ще изчислим на какво[br]е равен интеграла, 0:01:49.946,0:01:51.525 т.е. ще намерим[br]примитивната му функция. 0:01:51.525,0:01:54.358 След това ще заместим обратно[br]u с натурален логаритъм от х, 0:01:54.358,0:01:59.211 за да изчислим първоначалния[br]интеграл. 0:01:59.211,0:02:00.720 Нека да решим друг пример. 0:02:00.720,0:02:02.926 Нека да кажем, че е даден 0:02:02.926,0:02:06.080 интеграл от следното нещо. 0:02:06.220,0:02:08.740 Нека да направим 0:02:08.740,0:02:10.280 нещо интересно тук. 0:02:10.280,0:02:15.120 Нека е даден интеграл от[br]тангенс от х, dx. 0:02:15.720,0:02:18.739 Приложимо ли е[br]интегриране със заместване тук? 0:02:18.739,0:02:20.480 На пръв поглед забелязваш,[br]че имаме само тангенс от х. 0:02:20.480,0:02:22.570 А къде е производната му? 0:02:22.570,0:02:24.312 Интересното нещо обаче, което[br]може да направим, 0:02:24.312,0:02:27.354 е да запишем функцията тангенс,[br]изразена чрез синус и косинус. 0:02:27.354,0:02:29.745 Следователно записваме израза[br]като интеграл 0:02:29.745,0:02:31.560 от синус от х, 0:02:31.780,0:02:35.780 върху косинус от х, dx. 0:02:36.360,0:02:37.460 Може би сега ще попиташ: 0:02:37.460,0:02:39.358 "А как да приложим[br]интегриране със заместване тук?". 0:02:39.358,0:02:41.843 Има няколко начина,[br]по които да се разглежда. 0:02:41.843,0:02:45.279 Може да кажем, че производната[br]на синус от х е косинус от х. 0:02:45.279,0:02:46.835 Сега обаче делим на производната, 0:02:46.835,0:02:49.343 а следва да умножаваме по нея. 0:02:49.343,0:02:50.759 По-интересното обаче е, 0:02:50.759,0:02:54.521 че производната на косинус от х[br]е равна на минус синус от х. 0:02:54.521,0:02:56.166 Нямаме минус синус от х тук, 0:02:56.166,0:02:57.978 но може да преобразуваме малко[br]дадения израз. 0:02:57.978,0:03:00.741 Може да умножим два пъти[br]по минус 1. 0:03:00.741,0:03:03.411 Може да кажем, че имаме минус[br]от минус синус от х – 0:03:03.411,0:03:05.640 като избирам единия минус 0:03:05.640,0:03:07.020 да е изнесен пред интеграла, 0:03:07.020,0:03:09.300 защото това следва директно[br]от свойствата на интегрирането. 0:03:09.300,0:03:10.560 Това е еквивалентен израз[br]на дадения. 0:03:10.560,0:03:11.740 Мога да запиша минус извън[br]интеграла 0:03:11.740,0:03:12.908 и минус под интеграла, 0:03:12.908,0:03:16.040 така че числителят да е равен[br]на производната от косинус от х. 0:03:16.040,0:03:17.820 Сега има нещо интересно. 0:03:17.840,0:03:19.320 Нека всъщност да запиша[br]интеграла ето така. 0:03:19.320,0:03:20.800 Това ще бъде равно на 0:03:20.800,0:03:23.311 минус интеграл 0:03:23.320,0:03:28.040 от 1 върху косинус от х, 0:03:28.440,0:03:33.200 умножено по минус[br]синус от х, dx. 0:03:33.680,0:03:37.040 А сега досещаш ли се с какво[br]можем да положим (заместим) за u? 0:03:37.040,0:03:39.440 Имам косинус от х в знаменателя, 0:03:39.448,0:03:41.770 а имам и производната му. 0:03:41.770,0:03:45.462 Тогава какво ще се получи, ако избера[br]u да е равно на косинус от х? 0:03:45.462,0:03:47.620 u е равно на косинус от х. 0:03:48.700,0:03:51.240 Тогава du/dx 0:03:51.840,0:03:54.780 ще бъде равно на минус[br]синус от х. 0:03:54.797,0:03:56.399 Следователно 0:03:56.400,0:04:01.680 du е равно на минус[br]синус от х, dx. 0:04:01.740,0:04:05.580 Ето така се получава, че имаме[br]du ето тук, 0:04:05.680,0:04:09.780 а ето това разбира се, е избраният[br]израз за u. 0:04:09.840,0:04:12.180 И сега целият интеграл[br]се опростява. 0:04:12.189,0:04:16.480 Равно е на минус 0:04:16.480,0:04:23.760 неопределен интеграл от 1/u, 0:04:23.860,0:04:25.020 умножено по du. 0:04:25.220,0:04:27.885 Което е много по-лесен за[br]решаване интеграл. 0:04:27.885,0:04:29.186 След като го решим, 0:04:29.186,0:04:32.603 ще заместим обратно[br]u с косинус от х.