В настоящия урок ще се упражняваме
да разпознаваме кога да използваме
интегриране със заместване и да избираме
подходящ израз за u.
Нека е даден неопределеният интеграл
от натурален логаритъм от х
на десета степен.
Всичко това е върху х, dx.
Приложимо ли е тук
интегриране със заместване
и ако да, то как ще го приложим?
Ключовото нещо за интегриране
със заместване е да открием
имаме ли дадена функция
и нейната производна.
Тук веднага може да се досетиш,
че производната на натурален
логаритъм от х е равна на 1/х.
За да стане малко по-ясно,
мога да запиша интеграла
по следния начин.
Интеграл от натурален логаритъм
от х на десета,
умножено по 1/х, dx.
Ето сега вече се вижда.
Имаме някаква функция,
т.е. натурален логаритъм от x,
която е повдигната на
десета степен.
Имаме обаче и производната ѝ
ето тук,
която е равна на 1/х.
Следователно може
да използваме заместваме.
Може да изберем u
да е равно на натурален
логаритъм от х.
Причината да избера
натурален логаритъм от х е,
че виждам ето този израз,
който е точно производната му.
Нещо близко до производната му,
а в този случай дори точно производната му.
След това мога да запиша du/dx
е равно на 1/х.
Което означава, че du
е равно на 1/x, dx.
Ето, че заместихме.
Този израз тук е du,
а този ето тук, е равен на u.
Тогава даденият интеграл
се опростява
до интеграл
от u на десета степен,
умножено по du.
Сега ще изчислим на какво
е равен интеграла,
т.е. ще намерим
примитивната му функция.
След това ще заместим обратно
u с натурален логаритъм от х,
за да изчислим първоначалния
интеграл.
Нека да решим друг пример.
Нека да кажем, че е даден
интеграл от следното нещо.
Нека да направим
нещо интересно тук.
Нека е даден интеграл от
тангенс от х, dx.
Приложимо ли е
интегриране със заместване тук?
На пръв поглед забелязваш,
че имаме само тангенс от х.
А къде е производната му?
Интересното нещо обаче, което
може да направим,
е да запишем функцията тангенс,
изразена чрез синус и косинус.
Следователно записваме израза
като интеграл
от синус от х,
върху косинус от х, dx.
Може би сега ще попиташ:
"А как да приложим
интегриране със заместване тук?".
Има няколко начина,
по които да се разглежда.
Може да кажем, че производната
на синус от х е косинус от х.
Сега обаче делим на производната,
а следва да умножаваме по нея.
По-интересното обаче е,
че производната на косинус от х
е равна на минус синус от х.
Нямаме минус синус от х тук,
но може да преобразуваме малко
дадения израз.
Може да умножим два пъти
по минус 1.
Може да кажем, че имаме минус
от минус синус от х –
като избирам единия минус
да е изнесен пред интеграла,
защото това следва директно
от свойствата на интегрирането.
Това е еквивалентен израз
на дадения.
Мога да запиша минус извън
интеграла
и минус под интеграла,
така че числителят да е равен
на производната от косинус от х.
Сега има нещо интересно.
Нека всъщност да запиша
интеграла ето така.
Това ще бъде равно на
минус интеграл
от 1 върху косинус от х,
умножено по минус
синус от х, dx.
А сега досещаш ли се с какво
можем да положим (заместим) за u?
Имам косинус от х в знаменателя,
а имам и производната му.
Тогава какво ще се получи, ако избера
u да е равно на косинус от х?
u е равно на косинус от х.
Тогава du/dx
ще бъде равно на минус
синус от х.
Следователно
du е равно на минус
синус от х, dx.
Ето така се получава, че имаме
du ето тук,
а ето това разбира се, е избраният
израз за u.
И сега целият интеграл
се опростява.
Равно е на минус
неопределен интеграл от 1/u,
умножено по du.
Което е много по-лесен за
решаване интеграл.
След като го решим,
ще заместим обратно
u с косинус от х.