1
00:00:00,613 --> 00:00:04,220
В настоящия урок ще се упражняваме
да разпознаваме кога да използваме

2
00:00:04,220 --> 00:00:07,509
интегриране със заместване и да избираме
подходящ израз за u.

3
00:00:07,509 --> 00:00:11,460
Нека е даден неопределеният интеграл

4
00:00:11,460 --> 00:00:15,500
от натурален логаритъм от х

5
00:00:15,700 --> 00:00:19,980
на десета степен.

6
00:00:20,880 --> 00:00:23,520
Всичко това е върху х, dx.

7
00:00:24,080 --> 00:00:25,480
Приложимо ли е тук 
интегриране със заместване

8
00:00:25,480 --> 00:00:28,080
и ако да, то как ще го приложим?

9
00:00:28,640 --> 00:00:31,040
Ключовото нещо за интегриране 
със заместване е да открием

10
00:00:31,040 --> 00:00:34,580
имаме ли дадена функция
и нейната производна.

11
00:00:34,583 --> 00:00:36,302
Тук веднага може да се досетиш,

12
00:00:36,302 --> 00:00:39,460
че производната на натурален
логаритъм от х е равна на 1/х.

13
00:00:39,460 --> 00:00:40,501
За да стане малко по-ясно,

14
00:00:40,501 --> 00:00:43,845
мога да запиша интеграла
по следния начин.

15
00:00:43,845 --> 00:00:47,375
Интеграл от натурален логаритъм
от х на десета,

16
00:00:47,380 --> 00:00:50,420
умножено по 1/х, dx.

17
00:00:50,780 --> 00:00:52,000
Ето сега вече се вижда.

18
00:00:52,012 --> 00:00:54,404
Имаме някаква функция,
т.е. натурален логаритъм от x,

19
00:00:54,404 --> 00:00:56,355
която е повдигната на
десета степен.

20
00:00:56,355 --> 00:00:58,212
Имаме обаче и производната ѝ
ето тук,

21
00:00:58,212 --> 00:00:59,512
която е равна на 1/х.

22
00:00:59,512 --> 00:01:01,718
Следователно може
да използваме заместваме.

23
00:01:01,718 --> 00:01:03,301
Може да изберем u

24
00:01:04,249 --> 00:01:06,455
да е равно на натурален
логаритъм от х.

25
00:01:06,455 --> 00:01:07,872
Причината да избера
натурален логаритъм от х е,

26
00:01:07,872 --> 00:01:10,588
че виждам ето този израз, 
който е точно производната му.

27
00:01:10,588 --> 00:01:13,700
Нещо близко до производната му,
а в този случай дори точно производната му.

28
00:01:13,700 --> 00:01:19,440
След това мога да запиша du/dx

29
00:01:19,520 --> 00:01:21,180
е равно на 1/х.

30
00:01:21,620 --> 00:01:23,760
Което означава, че du

31
00:01:23,820 --> 00:01:27,620
е равно на 1/x, dx.

32
00:01:27,660 --> 00:01:29,071
Ето, че заместихме.

33
00:01:29,071 --> 00:01:31,858
Този израз тук е du,

34
00:01:31,858 --> 00:01:35,712
а този ето тук, е равен на u.

35
00:01:35,712 --> 00:01:38,290
Тогава даденият интеграл
се опростява

36
00:01:38,290 --> 00:01:40,480
до интеграл

37
00:01:40,500 --> 00:01:45,760
от u на десета степен,

38
00:01:45,820 --> 00:01:47,740
умножено по du.

39
00:01:47,940 --> 00:01:49,940
Сега ще изчислим на какво
е равен интеграла,

40
00:01:49,946 --> 00:01:51,525
т.е. ще намерим
примитивната му функция.

41
00:01:51,525 --> 00:01:54,358
След това ще заместим обратно
u с натурален логаритъм от х,

42
00:01:54,358 --> 00:01:59,211
за да изчислим първоначалния
интеграл.

43
00:01:59,211 --> 00:02:00,720
Нека да решим друг пример.

44
00:02:00,720 --> 00:02:02,926
Нека да кажем, че е даден

45
00:02:02,926 --> 00:02:06,080
интеграл от следното нещо.

46
00:02:06,220 --> 00:02:08,740
Нека да направим

47
00:02:08,740 --> 00:02:10,280
нещо интересно тук.

48
00:02:10,280 --> 00:02:15,120
Нека е даден интеграл от
тангенс от х, dx.

49
00:02:15,720 --> 00:02:18,739
Приложимо ли е
интегриране със заместване тук?

50
00:02:18,739 --> 00:02:20,480
На пръв поглед забелязваш,
че имаме само тангенс от х.

51
00:02:20,480 --> 00:02:22,570
А къде е производната му?

52
00:02:22,570 --> 00:02:24,312
Интересното нещо обаче, което
може да направим,

53
00:02:24,312 --> 00:02:27,354
е да запишем функцията тангенс,
изразена чрез синус и косинус.

54
00:02:27,354 --> 00:02:29,745
Следователно записваме израза
като интеграл

55
00:02:29,745 --> 00:02:31,560
от синус от х,

56
00:02:31,780 --> 00:02:35,780
върху косинус от х, dx.

57
00:02:36,360 --> 00:02:37,460
Може би сега ще попиташ:

58
00:02:37,460 --> 00:02:39,358
"А как да приложим
интегриране със заместване тук?".

59
00:02:39,358 --> 00:02:41,843
Има няколко начина,
по които да се разглежда.

60
00:02:41,843 --> 00:02:45,279
Може да кажем, че производната
на синус от х е косинус от х.

61
00:02:45,279 --> 00:02:46,835
Сега обаче делим на производната,

62
00:02:46,835 --> 00:02:49,343
а следва да умножаваме по нея.

63
00:02:49,343 --> 00:02:50,759
По-интересното обаче е,

64
00:02:50,759 --> 00:02:54,521
че производната на косинус от х
е равна на минус синус от х.

65
00:02:54,521 --> 00:02:56,166
Нямаме минус синус от х тук,

66
00:02:56,166 --> 00:02:57,978
но може да преобразуваме малко
дадения израз.

67
00:02:57,978 --> 00:03:00,741
Може да умножим два пъти
по минус 1.

68
00:03:00,741 --> 00:03:03,411
Може да кажем, че имаме минус
от минус синус от х –

69
00:03:03,411 --> 00:03:05,640
като избирам единия минус

70
00:03:05,640 --> 00:03:07,020
да е изнесен пред интеграла,

71
00:03:07,020 --> 00:03:09,300
защото това следва директно
от свойствата на интегрирането.

72
00:03:09,300 --> 00:03:10,560
Това е еквивалентен израз
на дадения.

73
00:03:10,560 --> 00:03:11,740
Мога да запиша минус извън
интеграла

74
00:03:11,740 --> 00:03:12,908
и минус под интеграла,

75
00:03:12,908 --> 00:03:16,040
така че числителят да е равен
на производната от косинус от х.

76
00:03:16,040 --> 00:03:17,820
Сега има нещо интересно.

77
00:03:17,840 --> 00:03:19,320
Нека всъщност да запиша
интеграла ето така.

78
00:03:19,320 --> 00:03:20,800
Това ще бъде равно на

79
00:03:20,800 --> 00:03:23,311
минус интеграл

80
00:03:23,320 --> 00:03:28,040
от 1 върху косинус от х,

81
00:03:28,440 --> 00:03:33,200
умножено по минус
синус от х, dx.

82
00:03:33,680 --> 00:03:37,040
А сега досещаш ли се с какво
можем да положим (заместим) за u?

83
00:03:37,040 --> 00:03:39,440
Имам косинус от х в знаменателя,

84
00:03:39,448 --> 00:03:41,770
а имам и производната му.

85
00:03:41,770 --> 00:03:45,462
Тогава какво ще се получи, ако избера
u да е равно на косинус от х?

86
00:03:45,462 --> 00:03:47,620
u е равно на косинус от х.

87
00:03:48,700 --> 00:03:51,240
Тогава du/dx

88
00:03:51,840 --> 00:03:54,780
ще бъде равно на минус
синус от х.

89
00:03:54,797 --> 00:03:56,399
Следователно

90
00:03:56,400 --> 00:04:01,680
du е равно на минус
синус от х, dx.

91
00:04:01,740 --> 00:04:05,580
Ето така се получава, че имаме
du ето тук,

92
00:04:05,680 --> 00:04:09,780
а ето това разбира се, е избраният
израз за u.

93
00:04:09,840 --> 00:04:12,180
И сега целият интеграл
се опростява.

94
00:04:12,189 --> 00:04:16,480
Равно е на минус

95
00:04:16,480 --> 00:04:23,760
неопределен интеграл от 1/u,

96
00:04:23,860 --> 00:04:25,020
умножено по du.

97
00:04:25,220 --> 00:04:27,885
Което е много по-лесен за
решаване интеграл.

98
00:04:27,885 --> 00:04:29,186
След като го решим,

99
00:04:29,186 --> 00:04:32,603
ще заместим обратно
u с косинус от х.