WEBVTT

00:00:00.613 --> 00:00:04.220
В настоящия урок ще се упражняваме
да разпознаваме кога да използваме

00:00:04.220 --> 00:00:07.509
интегриране със заместване и да избираме
подходящ израз за u.

00:00:07.509 --> 00:00:11.460
Нека е даден неопределеният интеграл

00:00:11.460 --> 00:00:15.500
от натурален логаритъм от х

00:00:15.700 --> 00:00:19.980
на десета степен.

00:00:20.880 --> 00:00:23.520
Всичко това е върху х, dx.

00:00:24.080 --> 00:00:25.480
Приложимо ли е тук 
интегриране със заместване

00:00:25.480 --> 00:00:28.080
и ако да, то как ще го приложим?

00:00:28.640 --> 00:00:31.040
Ключовото нещо за интегриране 
със заместване е да открием

00:00:31.040 --> 00:00:34.580
имаме ли дадена функция
и нейната производна.

00:00:34.583 --> 00:00:36.302
Тук веднага може да се досетиш,

00:00:36.302 --> 00:00:39.460
че производната на натурален
логаритъм от х е равна на 1/х.

00:00:39.460 --> 00:00:40.501
За да стане малко по-ясно,

00:00:40.501 --> 00:00:43.845
мога да запиша интеграла
по следния начин.

00:00:43.845 --> 00:00:47.375
Интеграл от натурален логаритъм
от х на десета,

00:00:47.380 --> 00:00:50.420
умножено по 1/х, dx.

00:00:50.780 --> 00:00:52.000
Ето сега вече се вижда.

00:00:52.012 --> 00:00:54.404
Имаме някаква функция,
т.е. натурален логаритъм от x,

00:00:54.404 --> 00:00:56.355
която е повдигната на
десета степен.

00:00:56.355 --> 00:00:58.212
Имаме обаче и производната ѝ
ето тук,

00:00:58.212 --> 00:00:59.512
която е равна на 1/х.

00:00:59.512 --> 00:01:01.718
Следователно може
да използваме заместваме.

00:01:01.718 --> 00:01:03.301
Може да изберем u

00:01:04.249 --> 00:01:06.455
да е равно на натурален
логаритъм от х.

00:01:06.455 --> 00:01:07.872
Причината да избера
натурален логаритъм от х е,

00:01:07.872 --> 00:01:10.588
че виждам ето този израз, 
който е точно производната му.

00:01:10.588 --> 00:01:13.700
Нещо близко до производната му,
а в този случай дори точно производната му.

00:01:13.700 --> 00:01:19.440
След това мога да запиша du/dx

00:01:19.520 --> 00:01:21.180
е равно на 1/х.

00:01:21.620 --> 00:01:23.760
Което означава, че du

00:01:23.820 --> 00:01:27.620
е равно на 1/x, dx.

00:01:27.660 --> 00:01:29.071
Ето, че заместихме.

00:01:29.071 --> 00:01:31.858
Този израз тук е du,

00:01:31.858 --> 00:01:35.712
а този ето тук, е равен на u.

00:01:35.712 --> 00:01:38.290
Тогава даденият интеграл
се опростява

00:01:38.290 --> 00:01:40.480
до интеграл

00:01:40.500 --> 00:01:45.760
от u на десета степен,

00:01:45.820 --> 00:01:47.740
умножено по du.

00:01:47.940 --> 00:01:49.940
Сега ще изчислим на какво
е равен интеграла,

00:01:49.946 --> 00:01:51.525
т.е. ще намерим
примитивната му функция.

00:01:51.525 --> 00:01:54.358
След това ще заместим обратно
u с натурален логаритъм от х,

00:01:54.358 --> 00:01:59.211
за да изчислим първоначалния
интеграл.

00:01:59.211 --> 00:02:00.720
Нека да решим друг пример.

00:02:00.720 --> 00:02:02.926
Нека да кажем, че е даден

00:02:02.926 --> 00:02:06.080
интеграл от следното нещо.

00:02:06.220 --> 00:02:08.740
Нека да направим

00:02:08.740 --> 00:02:10.280
нещо интересно тук.

00:02:10.280 --> 00:02:15.120
Нека е даден интеграл от
тангенс от х, dx.

00:02:15.720 --> 00:02:18.739
Приложимо ли е
интегриране със заместване тук?

00:02:18.739 --> 00:02:20.480
На пръв поглед забелязваш,
че имаме само тангенс от х.

00:02:20.480 --> 00:02:22.570
А къде е производната му?

00:02:22.570 --> 00:02:24.312
Интересното нещо обаче, което
може да направим,

00:02:24.312 --> 00:02:27.354
е да запишем функцията тангенс,
изразена чрез синус и косинус.

00:02:27.354 --> 00:02:29.745
Следователно записваме израза
като интеграл

00:02:29.745 --> 00:02:31.560
от синус от х,

00:02:31.780 --> 00:02:35.780
върху косинус от х, dx.

00:02:36.360 --> 00:02:37.460
Може би сега ще попиташ:

00:02:37.460 --> 00:02:39.358
"А как да приложим
интегриране със заместване тук?".

00:02:39.358 --> 00:02:41.843
Има няколко начина,
по които да се разглежда.

00:02:41.843 --> 00:02:45.279
Може да кажем, че производната
на синус от х е косинус от х.

00:02:45.279 --> 00:02:46.835
Сега обаче делим на производната,

00:02:46.835 --> 00:02:49.343
а следва да умножаваме по нея.

00:02:49.343 --> 00:02:50.759
По-интересното обаче е,

00:02:50.759 --> 00:02:54.521
че производната на косинус от х
е равна на минус синус от х.

00:02:54.521 --> 00:02:56.166
Нямаме минус синус от х тук,

00:02:56.166 --> 00:02:57.978
но може да преобразуваме малко
дадения израз.

00:02:57.978 --> 00:03:00.741
Може да умножим два пъти
по минус 1.

00:03:00.741 --> 00:03:03.411
Може да кажем, че имаме минус
от минус синус от х –

00:03:03.411 --> 00:03:05.640
като избирам единия минус

00:03:05.640 --> 00:03:07.020
да е изнесен пред интеграла,

00:03:07.020 --> 00:03:09.300
защото това следва директно
от свойствата на интегрирането.

00:03:09.300 --> 00:03:10.560
Това е еквивалентен израз
на дадения.

00:03:10.560 --> 00:03:11.740
Мога да запиша минус извън
интеграла

00:03:11.740 --> 00:03:12.908
и минус под интеграла,

00:03:12.908 --> 00:03:16.040
така че числителят да е равен
на производната от косинус от х.

00:03:16.040 --> 00:03:17.820
Сега има нещо интересно.

00:03:17.840 --> 00:03:19.320
Нека всъщност да запиша
интеграла ето така.

00:03:19.320 --> 00:03:20.800
Това ще бъде равно на

00:03:20.800 --> 00:03:23.311
минус интеграл

00:03:23.320 --> 00:03:28.040
от 1 върху косинус от х,

00:03:28.440 --> 00:03:33.200
умножено по минус
синус от х, dx.

00:03:33.680 --> 00:03:37.040
А сега досещаш ли се с какво
можем да положим (заместим) за u?

00:03:37.040 --> 00:03:39.440
Имам косинус от х в знаменателя,

00:03:39.448 --> 00:03:41.770
а имам и производната му.

00:03:41.770 --> 00:03:45.462
Тогава какво ще се получи, ако избера
u да е равно на косинус от х?

00:03:45.462 --> 00:03:47.620
u е равно на косинус от х.

00:03:48.700 --> 00:03:51.240
Тогава du/dx

00:03:51.840 --> 00:03:54.780
ще бъде равно на минус
синус от х.

00:03:54.797 --> 00:03:56.399
Следователно

00:03:56.400 --> 00:04:01.680
du е равно на минус
синус от х, dx.

00:04:01.740 --> 00:04:05.580
Ето така се получава, че имаме
du ето тук,

00:04:05.680 --> 00:04:09.780
а ето това разбира се, е избраният
израз за u.

00:04:09.840 --> 00:04:12.180
И сега целият интеграл
се опростява.

00:04:12.189 --> 00:04:16.480
Равно е на минус

00:04:16.480 --> 00:04:23.760
неопределен интеграл от 1/u,

00:04:23.860 --> 00:04:25.020
умножено по du.

00:04:25.220 --> 00:04:27.885
Което е много по-лесен за
решаване интеграл.

00:04:27.885 --> 00:04:29.186
След като го решим,

00:04:29.186 --> 00:04:32.603
ще заместим обратно
u с косинус от х.