-
行列について勉強していきましょう。では、まず、行列とは何でしょうか？
-
行列、Matricesは、Matrixの複数形です。
-
この言葉は、数学用語よりもハリウッドの方で馴染んでいるかもしれないね。
-
では、行列matrixとは何でしょうか？ これは実際、とても単純な考えです。
-
これは単に数字の表です。それが行列の全てです。
-
では、行列を描いて行きましょう。
-
私はこの青い歯磨き粉色が好きでないので、違った色で描きますよ。
-
これが行列の例です。では、適当なランダムの数を選んでいきます。
-
5. 1. 2. 3. 0, -5。これが行列です。
-
すべては数の表で、たびたび、きみが行列を使いたいときには、
-
大文字で書きます。なので、きみは大文字のAを使えます。
-
数学書の中には、ボールド体で書かれていることもあります。ボールド体のAで書かれてたら、行列でしょう。
-
それと、少し記法ですが、この行列を呼ぶときには、
-
たんに慣習ですが、きみはこれを、2x3行列と呼べます。
-
ときには、これは行列を表すボールド体の下に、'2 × 3'と実際に書くこともあります。
-
何が2で、何が3なのでしょうか？
-
2は、この行列の行のことです。ここに1行、2行とあります。これが行です。これも行です。
-
ここには、3つの列があります。1, 2, 3。
-
それで、これは2x3行列と呼ばれているのです。
-
もし私がB、これもボールド体で描きますが、
-
もしBが、5x2行列だったら、それはこう意味します。Bは
-
1, 単に数字を書きますよ。2, 0, -5, 10。
-
つまり、5行があります。これはまた2つの列を持ってます。
-
別の列はここで、-10、3,
-
私は単にランダムに数を置いてますよ。7, 2, π
-
これが、5x2行列です。
-
これで、きみも行列の約束事を知ったよね。すべての行列は、
-
数の表です。これは、ボールド体の大文字で表すことが出来ます。
-
時には、ここに2x3のように書きます。
-
これで、きみは行列の各項を参照できるのです。
-
この例では、上の方ですが、A行列があります。
-
誰かがこの行列のこの要素を表したいのならば、
-
どうするのでしょう？ これは、2行目にあります。2行目にあります。
-
そして、これは2列目にあります。いいよね？
-
これは、1列目、これは2列目。1列、2列。
-
つまり、これは 2行目の 2列目にあります。
-
ときには、人々はA行列を書いてから、
-
[2, 2] = 0
-
あるいは、小文字のaを書いて、
-
2, 2 = 0
-
では、Aとは何でしょうか？ これは、単に同じなのです。
-
私は単にこの記法で示したのです。
-
なぜなら、これらの多くは単に記法なのです。
-
では、a 1 ,3は何でしょうか？
-
これは最初の行の3つ目の列を意味します。
-
最初の行の、1, 2, 3。ここの値がそうです。
-
なので、イコール 2です。
-
つまり、これらは単にa行列の記法なのです。
-
これは数の表であり、それをこの方法で表しているのです。
-
私たちは、ここの違った要素も、
同じように表すことが出来ます。
-
きみはこう尋ねるかもしれないね。
-
「サルさん、これはいいね。
ケッタイな言葉とケッタイな記法の数字の表。
-
でも、いったいこれが何の役にたつの？」
-
これは、面白い論点です。
-
行列は単にデータを表しています。
これはデータを書いていく記法にすぎないのです。
-
それが全てです。これは数字の表なのです。
-
ですが、これは現象の集合を現すことが出来るのです。
-
そして、もしきみが代数1や2のクラスをやっているなら、
-
きみはおそらく、線形方程式を表すのに、これを使っているでしょう。
-
そうでないなら、私たちは後に習うでしょう。
そして私は幾つかの動画で
-
さまざまな事を行列に当てはめることになるでしょう。
-
ですが、これは非常にパワフルで、もしきみがこれを
-
コンピューターグラフィックスでやってたら、行列はスクリーンのピクセルを表すのに使えます。
-
これらは、座標系のポイントを表すのに使えるのです。
-
そして、これは...知る人ぞ知る。
-
これは様々なことに表すことが出来るのです。
-
ですが、行列について知るべき重要なことがあります。
-
これは自然な現象ではないのです。
-
これは、今まで見てきた数学的コンセプトとは違います。
-
これは数学的コンセプトを表す方法なのです。
-
あるいは複数の値を表す方法です。
-
ですが、あなたは自らこれが何を表すのかを決める必要があります。
-
ですが、これらが何を表しているのかは、
-
今は少し戸棚に閉まっておきましょう。
-
そして、おぉっ、私の妻がここに。彼女が閉まったばかりの戸棚を探している。
-
それはともかく、話を戻しましょう。
-
では、行列とは何を表しているのかは、戸棚に閉まっておいて、
-
行列の用法について学びましょう。
-
なぜなら、私は考えるに、うむ、少なくとも最初のうちは、
-
最も難しい部分になりがちだからです。では、行列同士の足し算はどうするのでしょう？
-
どのように行列同士を掛け算するのでしょう？ どのように行列を反転させるのでしょう？
-
どのように行列式を見つけるのでしょうか？
-
私はこれらの言葉はおそらく馴染みが薄いと知ってます。
-
君が代数クラスで既に混乱していないとしたならね。
-
なので、まずこれらをきみに教えようと思います。
-
これらは全て人間が決めた約束事なのです。
-
それから後で、これらの背後にある直観と実際には何を現すのかを
-
いくつかの動画で教えましょう。では、始めようか。
-
じゃ、私はこれらの二つの行列を足し合わせたいです。
-
最初の一つは、ちょっと色を変えさせてくださいよ、
-
比較的小さなのでやりましょう。スペースを節約するようにね。
-
では、ここに行列があり、3, -1、ええと、
-
2, 0。ええと、これはA行列と呼びましょう。
大文字のAです。
-
そして、B行列について、
これは単に数で作っていきますよ。
-
B行列は、イコール、-7, 2, 3, 5。
-
そして私の質問は、Aは
-
私はこれを数学書のようにボールド体で書きましょう。
-
プラス、B行列は？
つまり、私は二つの行列を足すのです。
-
再び言いますが、これは単に人間の約束事です。
誰かが行列を足すのを定義したのです。
-
彼らは他のやり方では定義しませんでした。
ですが、彼らは言いました。
-
「我々は行列を足す方法をこうしよう。
-
なぜなら、これは現象の集合に役に立つからだ」
-
なので、きみが二つの行列を足していくときは、
基本的に単に
-
関連する要素を足してくのです。
では、どうするのでしょう？
-
まず、1行目の1列目の要素を、
-
こっちの1行目1列目に足していきます。
いいよね。
-
ここは3 + -7 なので、3 - 7
-
これが、1行目1列目です。
それから、1行目の2列目の要素、
-
これは-1 + 2です。
-
これらを括弧で囲みましょう。
これで分離した要素とわかります。
-
きみはこの先どうするかはわかるでしょう。
-
次の要素は、2 + 3。
この要素、最後の要素は、 0 + 5
-
では、このイコールは何でしょう？
3 + -7 = -4
-
-1 + 2 = 1 2 + 3 = 5
-
0 + 5 = 5。これで求められました。
これが人間が決めた二つの行列の足し方です。
-
そして、定義により、
B + A でも同じように行えると想像できます。
-
いいよね？ 思い出してください。
これらは考えるべきことです。
-
私たちはもう足すことはありません。
きみは 1 + 2 は、2 + 1 と同じと知っているよね。
-
あるいは、どんな二つの自然数も、どちらの順で足しても問題ないと。
-
ですが行列は完全に明らかではありません。
ですが、この方法で定義したら、
-
A + Bでも、B + Aでも問題なくなります。いいね？
-
もし、B + A でやってたら、単にここは、-7 + 3で、
-
ここは2 + -1。ですが、答えは同じ値になっているでしょう。
-
これが行列の加法です。
-
それから、きみは想像できるだろうけど、行列の引き算は、基本的に同じことです。
-
実際に、きみに示そう。A - B はなんでしょうか？
-
きみはこうも見れるだろう。これは大文字のBで、これはA行列です。
-
なのでボールド体で書いたのです。ですが、これはこうも示せます。
-
A + -1 ・ B。
Bは何でしょうか？
-
Bは、-7, 2, 3, 5。
そしてこれにスカラー値を掛けます。
-
これは単に、値と行列の掛け算で、
-
この値を行列の全ての要素に掛けるだけです。
-
それで、 イコール、 A行列 + 私たちが単に
-
-1をすべての要素に掛けた行列がこちらです。なので、
-
7, - 2 , -3, -5。 これで、私たちは前にやったように行えます。
-
Aについてはすべて知っています。
-
なので、Aはここにあります。
そう、3 + 7 = 10
-
-1 + -2 = -3
-
2 + -3 = -1 0 + -5 = -5
-
それから、きみはこの実践をそのまま行う必要はないでしょう。
-
文字通りにね。
単にこの要素からこの要素を引いていくので
-
きみは同じ答えにたどり着けるでしょう。
-
ですが、私はきみにまた、スカラー値の掛け算についても
-
あるいは、単に値、数を行列に掛ける方法は、
-
単に行列のすべての要素を掛けることを
示しました。
-
では、行列の加法の定義から、私たちはなにを知ったのでしょう？
-
足し合わせる行列は同じサイズである必要があると知りました。
-
なので、例として、
-
この二つの行列を足せるのです。
きみは、このように
-
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9が、この行列。
-
えぇと、-10, -100, -1000
-
数をでっち上げよう。1, 0, 0, 1, 0, 1。
-
きみは、これらの二つの行列を足せるよね？
-
なぜなら、これらは同じ数の行で同じ数の列だからです。
-
例として、これらを足していたら、
最初にするのは、ここの1 + -10、
-
なので、これは-9。2 + -100 = -98
-
これで要点はわかったでしょう。
正確に9要素で3行の3列が得られます。
-
ですが、これらの二つの行列は足せないでしょう。
-
これは違った色で描きましょう。
単に違っているようにと。
-
きみは、これらは足せないでしょう。
-
-3, 2の行列。ええと、9, 7
-
なぜ、これらは足せないのでしょうか？
-
これらは足し合わせるのに対応する要素が無いからです。
-
これは、1行2列です。
-
そしてこっちは、2行1列です。なので同じ次元を持っていません。
-
なので、これらの行列を足したり引いたりは出来ないのです。
-
それから、余談ですが、この行列の次元の一つは1です。
-
この例では、これは1行で複数の列です。
-
これは、行ベクトルと呼ばれています。
-
ベクトルとは、本質的に1次元の行列です。
-
この次元の一つは1なので、これは行ベクトルです。
-
同じように、こちらは列ベクトルです。これらは少し知っておくべき用語です。
-
きみが線形代数や、微積分をやっていたら、
-
きみの教授は、これらの用語を使うでしょう。
なので、馴染んでいた方がいいでしょう。
-
ともかく、11分経ったので、続きは次の動画でやりましょう。また会いましょう。
