行列について勉強していきましょう。では、まず、行列とは何でしょうか？
行列、Matricesは、Matrixの複数形です。
この言葉は、数学用語よりもハリウッドの方で馴染んでいるかもしれないね。
では、行列matrixとは何でしょうか？ これは実際、とても単純な考えです。
これは単に数字の表です。それが行列の全てです。
では、行列を描いて行きましょう。
私はこの青い歯磨き粉色が好きでないので、違った色で描きますよ。
これが行列の例です。では、適当なランダムの数を選んでいきます。
5. 1. 2. 3. 0, -5。これが行列です。
すべては数の表で、たびたび、きみが行列を使いたいときには、
大文字で書きます。なので、きみは大文字のAを使えます。
数学書の中には、ボールド体で書かれていることもあります。ボールド体のAで書かれてたら、行列でしょう。
それと、少し記法ですが、この行列を呼ぶときには、
たんに慣習ですが、きみはこれを、2x3行列と呼べます。
ときには、これは行列を表すボールド体の下に、'2 × 3'と実際に書くこともあります。
何が2で、何が3なのでしょうか？
2は、この行列の行のことです。ここに1行、2行とあります。これが行です。これも行です。
ここには、3つの列があります。1, 2, 3。
それで、これは2x3行列と呼ばれているのです。
もし私がB、これもボールド体で描きますが、
もしBが、5x2行列だったら、それはこう意味します。Bは
1, 単に数字を書きますよ。2, 0, -5, 10。
つまり、5行があります。これはまた2つの列を持ってます。
別の列はここで、-10、3,
私は単にランダムに数を置いてますよ。7, 2, π
これが、5x2行列です。
これで、きみも行列の約束事を知ったよね。すべての行列は、
数の表です。これは、ボールド体の大文字で表すことが出来ます。
時には、ここに2x3のように書きます。
これで、きみは行列の各項を参照できるのです。
この例では、上の方ですが、A行列があります。
誰かがこの行列のこの要素を表したいのならば、
どうするのでしょう？ これは、2行目にあります。2行目にあります。
そして、これは2列目にあります。いいよね？
これは、1列目、これは2列目。1列、2列。
つまり、これは 2行目の 2列目にあります。
ときには、人々はA行列を書いてから、
[2, 2] = 0
あるいは、小文字のaを書いて、
2, 2 = 0
では、Aとは何でしょうか？ これは、単に同じなのです。
私は単にこの記法で示したのです。
なぜなら、これらの多くは単に記法なのです。
では、a 1 ,3は何でしょうか？
これは最初の行の3つ目の列を意味します。
最初の行の、1, 2, 3。ここの値がそうです。
なので、イコール 2です。
つまり、これらは単にa行列の記法なのです。
これは数の表であり、それをこの方法で表しているのです。
私たちは、ここの違った要素も、
同じように表すことが出来ます。
きみはこう尋ねるかもしれないね。
「サルさん、これはいいね。
ケッタイな言葉とケッタイな記法の数字の表。
でも、いったいこれが何の役にたつの？」
これは、面白い論点です。
行列は単にデータを表しています。
これはデータを書いていく記法にすぎないのです。
それが全てです。これは数字の表なのです。
ですが、これは現象の集合を現すことが出来るのです。
そして、もしきみが代数1や2のクラスをやっているなら、
きみはおそらく、線形方程式を表すのに、これを使っているでしょう。
そうでないなら、私たちは後に習うでしょう。
そして私は幾つかの動画で
さまざまな事を行列に当てはめることになるでしょう。
ですが、これは非常にパワフルで、もしきみがこれを
コンピューターグラフィックスでやってたら、行列はスクリーンのピクセルを表すのに使えます。
これらは、座標系のポイントを表すのに使えるのです。
そして、これは...知る人ぞ知る。
これは様々なことに表すことが出来るのです。
ですが、行列について知るべき重要なことがあります。
これは自然な現象ではないのです。
これは、今まで見てきた数学的コンセプトとは違います。
これは数学的コンセプトを表す方法なのです。
あるいは複数の値を表す方法です。
ですが、あなたは自らこれが何を表すのかを決める必要があります。
ですが、これらが何を表しているのかは、
今は少し戸棚に閉まっておきましょう。
そして、おぉっ、私の妻がここに。彼女が閉まったばかりの戸棚を探している。
それはともかく、話を戻しましょう。
では、行列とは何を表しているのかは、戸棚に閉まっておいて、
行列の用法について学びましょう。
なぜなら、私は考えるに、うむ、少なくとも最初のうちは、
最も難しい部分になりがちだからです。では、行列同士の足し算はどうするのでしょう？
どのように行列同士を掛け算するのでしょう？ どのように行列を反転させるのでしょう？
どのように行列式を見つけるのでしょうか？
私はこれらの言葉はおそらく馴染みが薄いと知ってます。
君が代数クラスで既に混乱していないとしたならね。
なので、まずこれらをきみに教えようと思います。
これらは全て人間が決めた約束事なのです。
それから後で、これらの背後にある直観と実際には何を現すのかを
いくつかの動画で教えましょう。では、始めようか。
じゃ、私はこれらの二つの行列を足し合わせたいです。
最初の一つは、ちょっと色を変えさせてくださいよ、
比較的小さなのでやりましょう。スペースを節約するようにね。
では、ここに行列があり、3, -1、ええと、
2, 0。ええと、これはA行列と呼びましょう。
大文字のAです。
そして、B行列について、
これは単に数で作っていきますよ。
B行列は、イコール、-7, 2, 3, 5。
そして私の質問は、Aは
私はこれを数学書のようにボールド体で書きましょう。
プラス、B行列は？
つまり、私は二つの行列を足すのです。
再び言いますが、これは単に人間の約束事です。
誰かが行列を足すのを定義したのです。
彼らは他のやり方では定義しませんでした。
ですが、彼らは言いました。
「我々は行列を足す方法をこうしよう。
なぜなら、これは現象の集合に役に立つからだ」
なので、きみが二つの行列を足していくときは、
基本的に単に
関連する要素を足してくのです。
では、どうするのでしょう？
まず、1行目の1列目の要素を、
こっちの1行目1列目に足していきます。
いいよね。
ここは3 + -7 なので、3 - 7
これが、1行目1列目です。
それから、1行目の2列目の要素、
これは-1 + 2です。
これらを括弧で囲みましょう。
これで分離した要素とわかります。
きみはこの先どうするかはわかるでしょう。
次の要素は、2 + 3。
この要素、最後の要素は、 0 + 5
では、このイコールは何でしょう？
3 + -7 = -4
-1 + 2 = 1 2 + 3 = 5
0 + 5 = 5。これで求められました。
これが人間が決めた二つの行列の足し方です。
そして、定義により、
B + A でも同じように行えると想像できます。
いいよね？ 思い出してください。
これらは考えるべきことです。
私たちはもう足すことはありません。
きみは 1 + 2 は、2 + 1 と同じと知っているよね。
あるいは、どんな二つの自然数も、どちらの順で足しても問題ないと。
ですが行列は完全に明らかではありません。
ですが、この方法で定義したら、
A + Bでも、B + Aでも問題なくなります。いいね？
もし、B + A でやってたら、単にここは、-7 + 3で、
ここは2 + -1。ですが、答えは同じ値になっているでしょう。
これが行列の加法です。
それから、きみは想像できるだろうけど、行列の引き算は、基本的に同じことです。
実際に、きみに示そう。A - B はなんでしょうか？
きみはこうも見れるだろう。これは大文字のBで、これはA行列です。
なのでボールド体で書いたのです。ですが、これはこうも示せます。
A + -1 ・ B。
Bは何でしょうか？
Bは、-7, 2, 3, 5。
そしてこれにスカラー値を掛けます。
これは単に、値と行列の掛け算で、
この値を行列の全ての要素に掛けるだけです。
それで、 イコール、 A行列 + 私たちが単に
-1をすべての要素に掛けた行列がこちらです。なので、
7, - 2 , -3, -5。 これで、私たちは前にやったように行えます。
Aについてはすべて知っています。
なので、Aはここにあります。
そう、3 + 7 = 10
-1 + -2 = -3
2 + -3 = -1 0 + -5 = -5
それから、きみはこの実践をそのまま行う必要はないでしょう。
文字通りにね。
単にこの要素からこの要素を引いていくので
きみは同じ答えにたどり着けるでしょう。
ですが、私はきみにまた、スカラー値の掛け算についても
あるいは、単に値、数を行列に掛ける方法は、
単に行列のすべての要素を掛けることを
示しました。
では、行列の加法の定義から、私たちはなにを知ったのでしょう？
足し合わせる行列は同じサイズである必要があると知りました。
なので、例として、
この二つの行列を足せるのです。
きみは、このように
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9が、この行列。
えぇと、-10, -100, -1000
数をでっち上げよう。1, 0, 0, 1, 0, 1。
きみは、これらの二つの行列を足せるよね？
なぜなら、これらは同じ数の行で同じ数の列だからです。
例として、これらを足していたら、
最初にするのは、ここの1 + -10、
なので、これは-9。2 + -100 = -98
これで要点はわかったでしょう。
正確に9要素で3行の3列が得られます。
ですが、これらの二つの行列は足せないでしょう。
これは違った色で描きましょう。
単に違っているようにと。
きみは、これらは足せないでしょう。
-3, 2の行列。ええと、9, 7
なぜ、これらは足せないのでしょうか？
これらは足し合わせるのに対応する要素が無いからです。
これは、1行2列です。
そしてこっちは、2行1列です。なので同じ次元を持っていません。
なので、これらの行列を足したり引いたりは出来ないのです。
それから、余談ですが、この行列の次元の一つは1です。
この例では、これは1行で複数の列です。
これは、行ベクトルと呼ばれています。
ベクトルとは、本質的に1次元の行列です。
この次元の一つは1なので、これは行ベクトルです。
同じように、こちらは列ベクトルです。これらは少し知っておくべき用語です。
きみが線形代数や、微積分をやっていたら、
きみの教授は、これらの用語を使うでしょう。
なので、馴染んでいた方がいいでしょう。
ともかく、11分経ったので、続きは次の動画でやりましょう。また会いましょう。