WEBVTT

00:00:01.300 --> 00:00:06.800
行列について勉強していきましょう。では、まず、行列とは何でしょうか？

00:00:06.800 --> 00:00:10.400
行列、Matricesは、Matrixの複数形です。

00:00:10.400 --> 00:00:15.700
この言葉は、数学用語よりもハリウッドの方で馴染んでいるかもしれないね。

00:00:15.700 --> 00:00:20.900
では、行列matrixとは何でしょうか？　これは実際、とても単純な考えです。

00:00:20.900 --> 00:00:24.500
これは単に数字の表です。それが行列の全てです。

00:00:24.500 --> 00:00:27.800
では、行列を描いて行きましょう。

00:00:27.800 --> 00:00:30.300
私はこの青い歯磨き粉色が好きでないので、違った色で描きますよ。

00:00:30.300 --> 00:00:37.600
これが行列の例です。では、適当なランダムの数を選んでいきます。

00:00:37.600 --> 00:00:46.000
5. 1. 2. 3. 0, -5。これが行列です。

00:00:46.000 --> 00:00:51.500
すべては数の表で、たびたび、きみが行列を使いたいときには、

00:00:51.500 --> 00:00:54.600
大文字で書きます。なので、きみは大文字のAを使えます。

00:00:54.600 --> 00:01:00.100
数学書の中には、ボールド体で書かれていることもあります。ボールド体のAで書かれてたら、行列でしょう。

00:01:00.100 --> 00:01:04.500
それと、少し記法ですが、この行列を呼ぶときには、

00:01:04.500 --> 00:01:10.100
たんに慣習ですが、きみはこれを、2x3行列と呼べます。

00:01:10.100 --> 00:01:16.500
ときには、これは行列を表すボールド体の下に、'2 × 3'と実際に書くこともあります。

00:01:16.500 --> 00:01:18.400
何が2で、何が3なのでしょうか？

00:01:18.400 --> 00:01:23.200
2は、この行列の行のことです。ここに1行、2行とあります。これが行です。これも行です。

00:01:23.200 --> 00:01:26.300
ここには、3つの列があります。1, 2, 3。

00:01:26.300 --> 00:01:28.500
それで、これは2x3行列と呼ばれているのです。

00:01:28.500 --> 00:01:34.200
もし私がB、これもボールド体で描きますが、

00:01:34.200 --> 00:01:42.677
もしBが、5x2行列だったら、それはこう意味します。Bは

00:01:42.677 --> 00:01:46.892
1, 単に数字を書きますよ。2, 0, -5, 10。

00:01:49.300 --> 00:01:52.600
つまり、5行があります。これはまた2つの列を持ってます。

00:01:52.600 --> 00:01:56.000
別の列はここで、-10、3,

00:01:56.000 --> 00:02:04.100
私は単にランダムに数を置いてますよ。7, 2, π

00:02:04.100 --> 00:02:07.000
これが、5x2行列です。

00:02:07.000 --> 00:02:11.700
これで、きみも行列の約束事を知ったよね。すべての行列は、

00:02:11.700 --> 00:02:15.000
数の表です。これは、ボールド体の大文字で表すことが出来ます。

00:02:15.000 --> 00:02:19.100
時には、ここに2x3のように書きます。

00:02:19.100 --> 00:02:22.700
これで、きみは行列の各項を参照できるのです。

00:02:22.700 --> 00:02:26.300
この例では、上の方ですが、A行列があります。

00:02:26.300 --> 00:02:32.600
誰かがこの行列のこの要素を表したいのならば、

00:02:32.600 --> 00:02:37.400
どうするのでしょう？　これは、2行目にあります。2行目にあります。

00:02:37.400 --> 00:02:39.100
そして、これは2列目にあります。いいよね？

00:02:39.100 --> 00:02:42.500
これは、1列目、これは2列目。1列、2列。

00:02:42.500 --> 00:02:45.100
つまり、これは 2行目の 2列目にあります。

00:02:45.100 --> 00:02:51.900
ときには、人々はA行列を書いてから、

00:02:51.900 --> 00:02:58.500
[2, 2] = 0

00:02:58.500 --> 00:03:02.100
あるいは、小文字のaを書いて、

00:03:02.100 --> 00:03:07.100
2, 2 = 0

00:03:07.100 --> 00:03:11.700
では、Aとは何でしょうか？　これは、単に同じなのです。

00:03:11.700 --> 00:03:14.200
私は単にこの記法で示したのです。

00:03:14.200 --> 00:03:16.100
なぜなら、これらの多くは単に記法なのです。

00:03:16.100 --> 00:03:21.800
では、a 1 ,3は何でしょうか？

00:03:21.800 --> 00:03:24.600
これは最初の行の3つ目の列を意味します。

00:03:24.600 --> 00:03:27.600
最初の行の、1, 2, 3。ここの値がそうです。

00:03:27.600 --> 00:03:29.200
なので、イコール 2です。

00:03:29.200 --> 00:03:32.100
つまり、これらは単にa行列の記法なのです。

00:03:32.100 --> 00:03:34.100
これは数の表であり、それをこの方法で表しているのです。

00:03:34.100 --> 00:03:37.000
私たちは、ここの違った要素も、
同じように表すことが出来ます。

00:03:37.000 --> 00:03:38.300
きみはこう尋ねるかもしれないね。

00:03:38.300 --> 00:03:41.600
「サルさん、これはいいね。
ケッタイな言葉とケッタイな記法の数字の表。

00:03:41.600 --> 00:03:44.200
でも、いったいこれが何の役にたつの？」

00:03:44.212 --> 00:03:46.100
これは、面白い論点です。

00:03:46.100 --> 00:03:51.600
行列は単にデータを表しています。
これはデータを書いていく記法にすぎないのです。

00:03:51.600 --> 00:03:53.600
それが全てです。これは数字の表なのです。

00:03:53.600 --> 00:03:57.800
ですが、これは現象の集合を現すことが出来るのです。

00:03:57.800 --> 00:04:01.500
そして、もしきみが代数1や2のクラスをやっているなら、

00:04:01.500 --> 00:04:03.600
きみはおそらく、線形方程式を表すのに、これを使っているでしょう。

00:04:03.600 --> 00:04:07.854
そうでないなら、私たちは後に習うでしょう。
そして私は幾つかの動画で

00:04:07.869 --> 00:04:10.600
さまざまな事を行列に当てはめることになるでしょう。

00:04:10.600 --> 00:04:14.500
ですが、これは非常にパワフルで、もしきみがこれを

00:04:14.500 --> 00:04:19.100
コンピューターグラフィックスでやってたら、行列はスクリーンのピクセルを表すのに使えます。

00:04:19.100 --> 00:04:21.400
これらは、座標系のポイントを表すのに使えるのです。

00:04:21.400 --> 00:04:23.000
そして、これは...知る人ぞ知る。

00:04:23.000 --> 00:04:24.900
これは様々なことに表すことが出来るのです。

00:04:24.900 --> 00:04:27.600
ですが、行列について知るべき重要なことがあります。

00:04:27.600 --> 00:04:30.500
これは自然な現象ではないのです。

00:04:30.500 --> 00:04:34.700
これは、今まで見てきた数学的コンセプトとは違います。

00:04:34.700 --> 00:04:37.700
これは数学的コンセプトを表す方法なのです。

00:04:37.700 --> 00:04:40.400
あるいは複数の値を表す方法です。

00:04:40.400 --> 00:04:43.000
ですが、あなたは自らこれが何を表すのかを決める必要があります。

00:04:43.000 --> 00:04:44.700
ですが、これらが何を表しているのかは、

00:04:44.700 --> 00:04:48.300
今は少し戸棚に閉まっておきましょう。

00:04:48.300 --> 00:04:52.200
そして、おぉっ、私の妻がここに。彼女が閉まったばかりの戸棚を探している。

00:04:52.200 --> 00:04:54.500
それはともかく、話を戻しましょう。

00:04:54.500 --> 00:04:57.100
では、行列とは何を表しているのかは、戸棚に閉まっておいて、

00:04:57.100 --> 00:04:59.400
行列の用法について学びましょう。

00:04:59.400 --> 00:05:02.200
なぜなら、私は考えるに、うむ、少なくとも最初のうちは、

00:05:02.200 --> 00:05:04.015
最も難しい部分になりがちだからです。では、行列同士の足し算はどうするのでしょう？

00:05:04.015 --> 00:05:06.408
どのように行列同士を掛け算するのでしょう？　どのように行列を反転させるのでしょう？

00:05:06.408 --> 00:05:09.069
どのように行列式を見つけるのでしょうか？

00:05:09.069 --> 00:05:11.400
私はこれらの言葉はおそらく馴染みが薄いと知ってます。

00:05:11.400 --> 00:05:13.700
君が代数クラスで既に混乱していないとしたならね。

00:05:13.700 --> 00:05:15.900
なので、まずこれらをきみに教えようと思います。

00:05:15.900 --> 00:05:18.400
これらは全て人間が決めた約束事なのです。

00:05:18.400 --> 00:05:22.700
それから後で、これらの背後にある直観と実際には何を現すのかを

00:05:22.700 --> 00:05:26.700
いくつかの動画で教えましょう。では、始めようか。

00:05:26.700 --> 00:05:29.700
じゃ、私はこれらの二つの行列を足し合わせたいです。

00:05:29.700 --> 00:05:33.600
最初の一つは、ちょっと色を変えさせてくださいよ、

00:05:33.600 --> 00:05:37.700
比較的小さなのでやりましょう。スペースを節約するようにね。

00:05:37.700 --> 00:05:42.500
では、ここに行列があり、3, -1、ええと、

00:05:42.500 --> 00:05:49.100
2, 0。ええと、これはA行列と呼びましょう。
大文字のAです。

00:05:49.100 --> 00:05:54.400
そして、B行列について、
これは単に数で作っていきますよ。

00:05:54.400 --> 00:06:06.300
B行列は、イコール、-7, 2, 3, 5。

00:06:06.300 --> 00:06:14.000
そして私の質問は、Aは

00:06:14.000 --> 00:06:16.300
私はこれを数学書のようにボールド体で書きましょう。

00:06:16.300 --> 00:06:21.700
プラス、B行列は？　
つまり、私は二つの行列を足すのです。

00:06:21.700 --> 00:06:25.700
再び言いますが、これは単に人間の約束事です。
誰かが行列を足すのを定義したのです。

00:06:25.700 --> 00:06:27.500
彼らは他のやり方では定義しませんでした。
ですが、彼らは言いました。

00:06:27.500 --> 00:06:29.846
「我々は行列を足す方法をこうしよう。

00:06:29.846 --> 00:06:32.500
なぜなら、これは現象の集合に役に立つからだ」

00:06:32.500 --> 00:06:35.000
なので、きみが二つの行列を足していくときは、
基本的に単に

00:06:35.000 --> 00:06:40.000
関連する要素を足してくのです。
では、どうするのでしょう？

00:06:40.000 --> 00:06:43.000
まず、1行目の1列目の要素を、

00:06:43.000 --> 00:06:46.100
こっちの1行目1列目に足していきます。
いいよね。

00:06:46.100 --> 00:06:50.500
ここは3 + -7 なので、3 - 7

00:06:50.500 --> 00:06:55.000
これが、1行目1列目です。
それから、1行目の2列目の要素、

00:06:55.000 --> 00:06:58.608
これは-1 + 2です。

00:06:58.608 --> 00:07:01.700
これらを括弧で囲みましょう。
これで分離した要素とわかります。

00:07:01.700 --> 00:07:05.400
きみはこの先どうするかはわかるでしょう。

00:07:05.400 --> 00:07:20.700
次の要素は、2 + 3。 
この要素、最後の要素は、 0 + 5

00:07:20.700 --> 00:07:26.700
では、このイコールは何でしょう？　
3 + -7 = -4

00:07:26.700 --> 00:07:32.000
-1 + 2 = 1 　 2 + 3 = 5

00:07:32.000 --> 00:07:39.800
0 + 5 = 5。これで求められました。
これが人間が決めた二つの行列の足し方です。

00:07:39.800 --> 00:07:43.200
そして、定義により、
B + A でも同じように行えると想像できます。

00:07:43.200 --> 00:07:49.100
いいよね？　思い出してください。
これらは考えるべきことです。

00:07:49.100 --> 00:07:53.000
私たちはもう足すことはありません。
きみは 1 + 2 は、2 + 1 と同じと知っているよね。

00:07:53.000 --> 00:07:56.700
あるいは、どんな二つの自然数も、どちらの順で足しても問題ないと。

00:07:56.700 --> 00:07:59.900
ですが行列は完全に明らかではありません。
ですが、この方法で定義したら、

00:07:59.900 --> 00:08:03.700
A + Bでも、B + Aでも問題なくなります。いいね？

00:08:03.700 --> 00:08:06.600
もし、B + A でやってたら、単にここは、-7 + 3で、

00:08:06.600 --> 00:08:10.100
ここは2 + -1。ですが、答えは同じ値になっているでしょう。

00:08:10.100 --> 00:08:11.900
これが行列の加法です。

00:08:11.900 --> 00:08:15.300
それから、きみは想像できるだろうけど、行列の引き算は、基本的に同じことです。

00:08:15.300 --> 00:08:21.592
実際に、きみに示そう。A - B はなんでしょうか？

00:08:27.038 --> 00:08:32.300
きみはこうも見れるだろう。これは大文字のBで、これはA行列です。

00:08:32.300 --> 00:08:34.800
なのでボールド体で書いたのです。ですが、これはこうも示せます。

00:08:34.800 --> 00:08:42.800
A + -1 ・ B。　
Bは何でしょうか？

00:08:42.800 --> 00:08:47.800
Bは、-7, 2, 3, 5。
そしてこれにスカラー値を掛けます。

00:08:47.800 --> 00:08:50.400
これは単に、値と行列の掛け算で、

00:08:50.400 --> 00:08:52.700
この値を行列の全ての要素に掛けるだけです。

00:08:52.700 --> 00:08:58.400
それで、 イコール、 A行列 + 私たちが単に

00:08:58.400 --> 00:09:02.400
-1をすべての要素に掛けた行列がこちらです。なので、

00:09:02.400 --> 00:09:08.400
7, - 2 , -3, -5。　これで、私たちは前にやったように行えます。

00:09:08.400 --> 00:09:11.700
Aについてはすべて知っています。

00:09:11.700 --> 00:09:15.800
なので、Aはここにあります。
そう、3 + 7 = 10

00:09:15.800 --> 00:09:21.200
-1 + -2 = -3

00:09:21.200 --> 00:09:28.900
2 + -3 = -1　 　0 + -5 = -5

00:09:28.900 --> 00:09:31.600
それから、きみはこの実践をそのまま行う必要はないでしょう。

00:09:31.600 --> 00:09:33.800
文字通りにね。
単にこの要素からこの要素を引いていくので

00:09:33.800 --> 00:09:35.200
きみは同じ答えにたどり着けるでしょう。

00:09:35.200 --> 00:09:38.500
ですが、私はきみにまた、スカラー値の掛け算についても

00:09:38.500 --> 00:09:41.300
あるいは、単に値、数を行列に掛ける方法は、

00:09:41.300 --> 00:09:46.600
単に行列のすべての要素を掛けることを
示しました。

00:09:46.600 --> 00:09:50.900
では、行列の加法の定義から、私たちはなにを知ったのでしょう？

00:09:50.900 --> 00:09:54.200
足し合わせる行列は同じサイズである必要があると知りました。

00:09:54.200 --> 00:09:58.700
なので、例として、

00:09:58.700 --> 00:10:01.100
この二つの行列を足せるのです。
きみは、このように

00:10:01.100 --> 00:10:08.500
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9が、この行列。

00:10:08.500 --> 00:10:14.500
えぇと、-10, -100, -1000

00:10:14.500 --> 00:10:20.100
数をでっち上げよう。1, 0, 0, 1, 0, 1。

00:10:20.100 --> 00:10:21.800
きみは、これらの二つの行列を足せるよね？

00:10:21.800 --> 00:10:24.900
なぜなら、これらは同じ数の行で同じ数の列だからです。

00:10:24.900 --> 00:10:30.400
例として、これらを足していたら、
最初にするのは、ここの1 + -10、

00:10:30.400 --> 00:10:34.400
なので、これは-9。2 + -100 = -98

00:10:34.400 --> 00:10:39.500
これで要点はわかったでしょう。
正確に9要素で3行の3列が得られます。

00:10:39.500 --> 00:10:44.800
ですが、これらの二つの行列は足せないでしょう。

00:10:44.800 --> 00:10:48.600
これは違った色で描きましょう。
単に違っているようにと。

00:10:48.600 --> 00:10:52.500
きみは、これらは足せないでしょう。

00:10:52.500 --> 00:11:03.400
-3, 2の行列。ええと、9, 7

00:11:03.400 --> 00:11:05.100
なぜ、これらは足せないのでしょうか？

00:11:05.100 --> 00:11:07.700
これらは足し合わせるのに対応する要素が無いからです。

00:11:07.700 --> 00:11:11.600
これは、1行2列です。

00:11:11.600 --> 00:11:15.800
そしてこっちは、2行1列です。なので同じ次元を持っていません。

00:11:15.800 --> 00:11:18.700
なので、これらの行列を足したり引いたりは出来ないのです。

00:11:18.700 --> 00:11:22.300
それから、余談ですが、この行列の次元の一つは1です。

00:11:22.300 --> 00:11:26.800
この例では、これは1行で複数の列です。

00:11:26.800 --> 00:11:30.200
これは、行ベクトルと呼ばれています。

00:11:30.200 --> 00:11:32.500
ベクトルとは、本質的に1次元の行列です。

00:11:32.500 --> 00:11:35.700
この次元の一つは1なので、これは行ベクトルです。

00:11:35.700 --> 00:11:38.800
同じように、こちらは列ベクトルです。これらは少し知っておくべき用語です。

00:11:38.800 --> 00:11:41.400
きみが線形代数や、微積分をやっていたら、

00:11:41.400 --> 00:11:44.200
きみの教授は、これらの用語を使うでしょう。
なので、馴染んでいた方がいいでしょう。

00:11:44.200 --> 00:11:49.015
ともかく、11分経ったので、続きは次の動画でやりましょう。また会いましょう。