Azonos alapú és azonos kitevőjű hatványok szorzása, hatvány hatványozása | Műveletek hatványokkal | Matematika | Khan Academy

Ismerkedj meg a következő azonosságokkal: xᵃ ⋅ xᵇ = xᵃ ⁺ ᵇ, (x ⋅ y)ᵃ = xᵃ ⋅ yᵃ, (xᵃ)ᵇ = xᵃᵇ.

Matematika a Khan Academyn: https://hu.khanacademy.org/math

A Khan Academy nonprofit szervezet, melynek küldetése, hogy világszínvonalú oktatást biztosítson bárkinek, bárhol, ingyen. Számos területen kínálunk oktató videókat, szöveges tananyagokat, feladatokat és kvízeket, többek közt a matematika, biológia, kémia, fizika, történelem, közgazdaságtan, pénzügy, nyelvtan területén, valamint az óvodai tanulásban is. Tanári eszköztárunk és adatrendszerünk segítségével a tanárok támogatni tudják a diákok készségeinek, hozzáállásának, gondolkodásmódjának fejlődését, hogy sikeresek legyenek a tanulásban és az iskolán túl is. A Khan Academy tananyagait több tucat nyelvre lefordították, a világon havonta 15 millió ember tanul itt. Nonprofit szervezetként minden segítséget örömmel fogadunk.

A Khan Academy magyar szervezete az Akadémia Határok Nélkül Alapítvány: http://akademiahataroknelkul.hu/

Adományozz, vagy jelentkezz önkéntesnek itt: http://akademiahataroknelkul.hu/tamogatas/

Ebben a videóban jó sok példát
szeretnék megmutatni

a hatványozás azonosságaival
kapcsolatban.

De mielőtt hozzálátnék,

vegyük át egy kicsit,
mi is az a hatvány.

Nézzük például, mennyi 2 a harmadikon?

Könnyen rávághatnád, hogy az 6, ugye?

De azt felelném, hogy tévedsz,
nem 6.

Ez azt jelenti, hogy 2 szorozva
önmagával háromszor.

Ez tehát 2-szer 2-szer 2 lesz,

ami 2-szer 2 az 4,

4-szer 2 az 8.

Ha azt kérdezném tőled,
mennyi 3 a másodikon,

vagy 3 a négyzeten, akkor az
3 szorozva önmagával kétszer,

azaz 3-szor 3,

ami egyenlő kilenccel.

Csináljunk meg még egy ilyet.

Azt hiszem, kezded érteni,
miről van szó,

ha eddig még nem találkoztál ilyennel.

Vegyük most az 5 hetedik hatványát!

Ez egyenlő 5 szorozva önmagával hétszer.

5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5.

Ez hét, ugye?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Na most ez egy nagyon nagyon
nagyon nagy szám lesz,

amit most nem fogok kiszámolni.

Ha te ki akarod számolni kézzel,
csak nyugodtan.

Vagy használd a számológépet,

mindenesetre ez egy nagyon
nagy szám lesz.

Tehát egy dolog, amit rögtön
megfigyelhettél,

hogy a hatványok nagyon gyorsan
növekednek.

5¹⁷ egy még
sokkal nagyobb szám lenne.

Mindenesetre ezzel megnéztük,
mi is az a hatvány.

Mélyedjünk most el egy kicsit
az algebrában, a hatványozásban.

Mi lenne a 3x –
ezt most egy másik színnel csinálom –,

tehát mi lenne a
3x-szer 3x-szer 3x?

A szorzással kapcsolatban
emlékezzünk arra,

hogy nem számít,

milyen sorrendben hajtod végre
a szorzást.

Ez tehát ugyanannyi, mint
3-szor 3-szor 3-szor

x-szer x-szer x.

És ahogy azt az előbb
áttekintettük,

ez a rész itt 3-szor 3-szor 3,

azaz 3³.

Ez pedig itt x szorozva önmagával
háromszor,

azaz x a harmadik hatványon,
x³.

Tehát ez az egész átírható úgy,

hogy 3³ ⋅ x³.

Vagy ha tudod mennyi 3³

– az 9-szer 3, ami 27 –,

akkor ez 27 ⋅ x³.

Mondhattad volna, hogy hiszen
ez 3x-szer 3x-szer 3x volt,

ez akkor nem 3x a harmadikon?

3x-et szorzod önmagával háromszor.

És azt válaszolnám, hogy de igen.

Ezt itt tehát értelmezhetjük úgy,

hogy (3x)³.

És ezzel mindjárt szembesültünk is

a hatványozás egyik azonosságával.

Figyelj csak!

Ha van valamiszer valamim,

és ez az egész
a harmadik hatványra van emelve,

akkor ez megegyezik

az egyes valamik harmadik hatványának
a szorzatával.

Vagyis (3x)³ ugyanaz,
mint 3³ ⋅ x³,

ami 27 ⋅ x³.

Csináljunk még néhány példát!

Mit gondolsz, mennyi

a 6 a harmadikon szorozva
6 a hatodikonnal?

Na ez egy tényleg nagy szám lesz,

de én most a 6 hatványaként
szeretném ezt felírni.

Hadd írjam a 6 a hatodikont egy
másik színnel.

Mennyi lesz a 6 a harmadikon
szorozva

6 a hatodikon?

Nos, 6 a harmadikon,

erről tudjuk, hogy ez
6 szorozva önmagával háromszor.

6 ⋅ 6 ⋅ 6.

És ez lesz megszorozva
– a szorzásjel itt zöld,

tehát zölddel jelölöm,

vagy talán mindkettőt narancssárgával –,

ez lesz megszorozva 6 a hatodikonnal.

Na és mennyi a 6 a hatodik hatványon?

6 szorozva önmagával hatszor.

6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6,

és még egyszer 6.

Mi lesz ez a szám?

Nos, ez az egész,

hányszor is szorozzuk meg
a 6-ot önmagával?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

8, 9-szer, ugye?

Háromszor itt, és aztán
még hatszor itt.

Vagyis összeszorozzuk a 6-ot önmagával
kilencszer.

3 meg 6.

Ez tehát egyenlő 6 a 3 + 6-odik hatványon,

avagy 6⁹.

És máris találkoztunk
a hatványozás

egy másik azonosságával.

Amikor a hatványokat vizsgáljuk,
esetünkben a 6 a harmadikont,

a 6-os szám az alap.

Az alapot a 3. hatványra emeljük.

Amikor az alapok megegyeznek,
és két hatványt szorzunk össze

– amelyeknek tehát ugyanaz az alapjuk –,
akkor a kitevőket összeadhatjuk.

Csinálok még további példákat.

Vörös színt fogok használni.

Legyen mondjuk 2 a négyzeten
szorozva 2 a negyediken

szorozva 2 a hatodikon.

Nos, mindegyiknek ugyanaz az alapja,

vagyis összeadhatom a kitevőket.

Ez annyi, mint 2 a 2 + 4 + 6-odikon,

ami egyenlő 2¹².

És ez így logikus, hiszen

2 szorozva önmagával kétszer,
2 szorozva önmagával négyszer,

2 szorozva önmagával hatszor.

Ha ezeket mind összeszorzod,
az 2 szorozva önmagával

12-szer, azaz 2¹².

Vizsgáljuk most ezt egy kicsit
elvontabb formában,

változókat használva,
de ugyanazon az elven.

Mennyi x a négyzeten szorozva
x a negyediken?

Használhatjuk az imént tanult
tulajdonságot.

Az alapok megegyeznek, az alap az x.

Ez tehát x a 2 + 4. hatványon,

ami x⁶.

És ha nem hinnél nekem,
mi is az x²?

x négyzet az x ⋅ x.

És ha ezt megszorzod x⁴-nel,

akkor x-et önmagával szorzod négyszer.

x ⋅ x ⋅ x ⋅ x.

Hányszor szoroztuk össze x-et
önmagával?

Nos, 1, 2, 3, 4, 5, 6-szor.

x⁶.

Nézzünk meg még egy ilyet!

Minél több példát látsz,
annál jobb, szerintem.

Nézzük most egy másik tulajdonságot,

hogy aztán együtt használhassuk őket.

Legyen 'a' a harmadikon,
és ez a negyedik hatványon.

Elmagyarázom a tulajdonságot,

és megmutatom,
mi a logikája.

Amikor egy szám hatványát veszed,

majd ezt valamilyen hatványra emeled,

akkor a kitevőket összeszorozhatod.

Ez tehát 'a' a 3-szor 4, vagyis

'a' a 12. hatványon lesz.

És hogy ez miért logikus?

Nos, ez itt 'a' a harmadikon,
szorozva önmagával négyszer.

Vagyis egyenlő 'a' a harmadikon-szor
'a' a harmadikon-szor

'a' a harmadikon-szor 'a' a harmadikon.

Az alapok megegyeznek,
tehát a kitevőket összeadhatjuk.

Ez akkor 'a' a 3-szor 4.
hatványon lesz, ugye?

Ez megegyezik az 'a' a 3 + 3 + 3 + 3.
hatvánnyal,

ami ugyanaz, mint
'a' a 3-szor 4. hatvány,

vagyis a¹².

Tehát nézzük át még egyszer
az azonosságokat,

amiket ebben a videóban taglaltunk,
azon kívül, hogy mi is a hatvány.

xᵃ ⋅ xᵇ

egyenlő lesz xᵃ⁺ᵇ
hatvánnyal.

Itt láttuk ezt.

x a négyzeten szorozva
x a negyediken egyenlő

x a hatodikonnal, 2 + 4-gyel.

Azt is láttuk, hogy
(x ⋅ y)ᵃ

ugyanaz, mint xᵃ ⋅ yᵃ.

Ezt a videó egy korábbi részén
láttuk, itt.

3x a harmadikon az ugyanaz,
mint 3 a harmadikon

szorozva x a harmadikon.

Ezt láttuk itt.

3x a harmadikon az ugyanaz,
mint 3 a harmadikon

szorozva x a harmadikon.

És végül az utolsó azonosság,
amit az imént vizsgáltunk:

ha az x az 'a'-adik hatványon
kifejezést a 'b'-edik hatványra emeljük,

akkor ez megegyezik x az (a・b)-edik
hatvánnyal.

Ezt itt láttuk: 'a' a harmadikon,

aztán ez emelve a negyedik hatványra
ugyanaz, mint 'a' a (3・4)-ediken,

azaz a¹².

Használjuk fel most ezeket
az azonosságokat,

és oldjunk meg egy összetettebb
feladatot.

Vegyük a következő kifejezést:
(2xy²) szorozva

(-x²y) a négyzeten
szorozva

(3x²y²).

És ezt akarjuk egyszerűbb alakra hozni.

Kezdjük talán itt, talán ezt
könnyen tudjuk egyszerűbb alakra hozni.

Vehetjük úgy, hogy (-1・x²y) a négyzeten,

tehát ha ezt az egészet
négyzetre emeljük, az olyan,

mintha minden tényezőjét
négyzetre emelnénk.

Ez a rész tehát úgy hozható,
egyszerűbb alakra, hogy

-1 a négyzeten szorozva x négyzet
a négyzeten szorozva y a négyzeten.

És ezt is egyszerűbb alakra hozhatjuk,

mínusz 1 a négyzeten az 1,
x négyzet a négyzeten

– emlékszel, összeszorozzuk a
kitevőket –,

tehát az x a negyediken,
szorozva y négyzettel.

Erre egyszerűsödik ez a
középső rész.

Most nézzük, összevonhatjuk-e ezt
a többi résszel.

A többi rész, hogy emlékezzünk rá,
ez volt: (2xy²),

és aztán (3x²y²).

Most gyerünk, és egyszerűen

szorozzunk össze mindent.

Tanultuk a szorzásnál,

hogy az mindegy, hogy
milyen sorrendben szorozzuk a dolgokat.

Tehát átrendezhetem ezt.

Egyszerűen összeszorzom: (2xy²)

szorozva (x⁴y²)

szorozva (3x²y²).

Átrendezhetem ezt,
és át is fogom rendezni úgy,

hogy könnyű legyen
egyszerűbb alakra hozni.

Összeszorozhatom a 2-szer 3-at,

és aztán foglalkozhatok az x-ekkel.

Ezzel a színnel fogom csinálni.

Van x-szer x a negyediken szorozva
x a négyzeten.

Aztán foglalkozunk az y-okkal,
y négyzet szorozva

egy másik y négyzettel,
és szorozva még egy y négyzettel.

És akkor mivel egyenlők ezek?

Nos, 2-szer 3, ezt tudjuk,
ez 6 lesz.

És mennyi az x ⋅ x⁴ ⋅ x²?

Egyrészt emlékezzünk rá, hogy
x az ugyanannyi, mint

x az első hatványon.

Bárminek az első hatványa
az önmaga.

Tehát 2 az elsőn 2,

3 az elsőn egyszerűen 3.

Tehát mivel lesz ez egyenlő?

Az alapunk megegyezik,
ez az x.

Összeadhatjuk a kitevőket,
x az 1 + 4 + 2 hatványon,

és ezt a következő lépésben
össze is adom.

Ami az y-okat illeti,

y a 2 + 2 + 2-edik hatványon.

Mit kapunk tehát?

6-szor x a hetediken

szorozva y a hatodikon.

Na és van itt még valami,

amit talán már tudsz is,
mindenesetre elég érdekes.

Ez pedig az a kérdés,
hogy mi történik,

ha valamit a nulladik
hatványra emelünk?

Ha azt mondom, 7 a nulladikon,
akkor az mivel lesz egyenlő?

És ezt rögtön meg fogom mondani
– elsőre logikátlannak tűnhet –,

ez ugyanis egyenlő 1-gyel.

Vagyis 1 a nulladik hatványon,
az is 1.

Bármi a nulladik hatványon,
bármely nem nulla szám

nulladik hatványa 1 lesz.

Azért megpróbálom megmutatni,

hogy miért is van így.

Így gondolkodunk:

3 az első hatványon – leírom
a 3 hatványait –

3 az első, második, harmadik hatványon.

A 3-as számmal csináljuk.

3 az első hatványon az 3,

ez érthető.

3 a másodikon az 9.

3 a harmadikon az 27.

És persze most megpróbáljuk
kitalálni,

mi legyen a 3 nulladik hatványa.

Nos, gondolkodjunk.

Minden esetben, amikor
csökkentettük a kitevőt,

valahányszor csökkentettük
1-gyel a kitevőt,

osztottunk 3-mal.

A 27-ből a 9-et úgy kaptuk,
hogy elosztottuk 3-mal.

9-ből a 3 úgy lett,
hogy osztottunk 3-mal.

Erről a hatványról erre a hatványra,

talán megint osztanunk kellene
3-mal.

És ez az oka, hogy bármi a
nulladik hatványon,

ebben az esetben 3 a nulladikon,
az 1.

Viszlát a következő videóban!