< Return to Video

Azonos alapú és azonos kitevőjű hatványok szorzása, hatvány hatványozása | Műveletek hatványokkal | Matematika | Khan Academy

  • 0:00 - 0:04
    Ebben a videóban jó sok példát
    szeretnék megmutatni
  • 0:04 - 0:05
    a hatványok tulajdonságaival kapcsolatban.
  • 0:05 - 0:08
    De mielőtt hozzálátnék,
  • 0:08 - 0:11
    vegyük át egy kicsit,
    mi is az a hatvány.
  • 0:11 - 0:15
    Nézzük például mi az a 2 a harmadikon?
  • 0:15 - 0:18
    Könnyen rávághatnád, hogy az 6, ugye?
  • 0:18 - 0:20
    De azt felelném, hogy tévedsz, az nem 6.
  • 0:20 - 0:24
    Ez azt jelenti, hogy 2 szorozva
    önmagával háromszor.
  • 0:24 - 0:30
    Ez tehát 2-szer 2-szer 2 lesz,
  • 0:30 - 0:33
    ami 2-szer 2 az 4,
  • 0:33 - 0:35
    4-szer 2 az 8.
  • 0:35 - 0:40
    Ha azt kérdezném tőled,
    mennyi 3 a másodikon,
  • 0:40 - 0:45
    vagy 3 a négyzeten, akkor az
    3 szorozva önmagával kétszer.
  • 0:45 - 0:48
    Azaz 3-szor 3,
  • 0:48 - 0:50
    ami egyenlő kilenccel.
  • 0:50 - 0:51
    Csináljunk meg még egy ilyet.
  • 0:51 - 0:54
    Azt hiszem kezded érteni,
    miről van szó,
  • 0:54 - 0:56
    ha eddig még nem találkoztál ilyennel.
  • 0:56 - 1:03
    Vegyük most az 5 hetedik hatványát!
  • 1:03 - 1:07
    Ez egyenlő 5 szorozva önmagával hétszer.
  • 1:07 - 1:16
    5-ször 5-ször 5-ször 5-ször
    5-ször 5-ször 5.
  • 1:16 - 1:17
    Ez hét, ugye?
  • 1:17 - 1:19
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
  • 1:19 - 1:22
    Na most ez egy nagyon nagyon
    nagyon nagy szám lesz,
  • 1:22 - 1:24
    amit most nem fogok kiszámolni.
  • 1:24 - 1:26
    Ha te ki akarod számolni kézzel,
    csak nyugodtan.
  • 1:26 - 1:28
    Vagy használd a számológépet,
  • 1:28 - 1:29
    mindenesetre ez egy nagyon
    nagy szám lesz.
  • 1:29 - 1:32
    Tehát egy dolog, amit rögtön
    megfigyelhettél,
  • 1:32 - 1:35
    hogy a hatványok nagyon gyorsan
    növekednek.
  • 1:35 - 1:40
    5 a 17-ik hatványon egy még
    sokkal masszívabb szám lenne.
  • 1:40 - 1:42
    Mindenesetre ezzel megnéztük,
    mi is az a hatvány.
  • 1:42 - 1:47
    Mélyedjünk most el egy kicsit
    az algebrában, a hatványok használatával.
  • 1:47 - 1:53
    Mi lenne a 3x –
    ezt most egy másik színnel fogom jelölni
  • 1:53 - 2:00
    – tehát mi lenne a
    3x-szer 3x-szer 3x?
  • 2:00 - 2:02
    A szorzással kapcsolatban
    emlékezzünk arra,
  • 2:02 - 2:04
    hogy nem számít,
  • 2:04 - 2:06
    milyen sorrendben hajtod végre
    a szorzást.
  • 2:06 - 2:11
    Ez tehát ugyanannyi, mint
    3-szor 3-szor 3-szor
  • 2:11 - 2:17
    x-szer x-szer -x.
  • 2:17 - 2:21
    És ahogy azt az előbb
    áttekintettük,
  • 2:21 - 2:24
    ez a rész itt 3-szor 3-szor 3,
  • 2:24 - 2:26
    azaz 3 a harmadik hatványon.
  • 2:26 - 2:30
    Ez pedig itt x szorozva önmagával
    háromszor,
  • 2:30 - 2:33
    azaz x a harmadik hatványon,
    x a harmadikon.
  • 2:33 - 2:35
    Tehát ez az egész átírható úgy, hogy
  • 2:35 - 2:38
    3 a harmadikon szorozva
    x a harmadikon.
  • 2:38 - 2:40
    Vagy ha tudod mennyi 3 a harmadikon,
  • 2:40 - 2:42
    az 9-szer 3, ami 27,
  • 2:42 - 2:46
    akkor ez 27-szer x a harmadikon.
  • 2:46 - 2:50
    Mondhattad volna, hogy hiszen
    ez 3x-szer 3x-szer 3x volt,
  • 2:50 - 2:53
    ez akkor nem 3x a harmadikon?
  • 2:53 - 2:53
  • 2:53 - 2:55
    3x-et szorzod önmagával háromszor.
  • 2:55 - 2:58
    És azt válaszolnám, hogy de igen.
  • 2:58 - 3:03
    Ezt itt tehát értelmezhetjük úgy,
  • 3:03 - 3:05
    hogy 3x a harmadik hatványon.
  • 3:05 - 3:07
    És ezzel mindjárt szembesültünk is
  • 3:07 - 3:08
    a hatványozás egyik tulajdonságával.
  • 3:08 - 3:09
    Figyelj csak!
  • 3:09 - 3:12
    Ha van valamiszer valamim, és ez az egész
  • 3:12 - 3:15
    a harmadik hatványra emelve,
    akkor ez megegyezik
  • 3:15 - 3:17
    az egyes valamik harmadik hatványának
    a szorzatával.
  • 3:17 - 3:21
    Vagyis 3x a harmadikon az ugyanaz,
    mint 3 a harmadikon
  • 3:21 - 3:28
    szorozva x a harmadikonnal,
    ami 27-szer x a harmadikon.
  • 3:28 - 3:31
    Csináljunk még néhány
    példát!
  • 3:31 - 3:39
    Mit gondolsz, mennyi a
    6 a harmadikon szorozva
  • 3:39 - 3:40
    6 a hatodikonnal?
  • 3:40 - 3:43
    Na ez egy tényleg nagy szám lesz,
  • 3:43 - 3:45
    de én most 6 hatványaként
    szeretném ezt felírni.
  • 3:45 - 3:49
    Hadd írjam a 6 a hatodikont egy
    másik színnel.
  • 3:49 - 3:53
    Mennyi lesz a 6 a harmadikon
    szorozva
  • 3:53 - 3:56
    6 a hatodikon?
  • 3:56 - 3:58
    Nos, 6 a harmadikon, erről tudjuk,
    hogy ez 6 szorozva önmagával
  • 3:58 - 4:00
    háromszor.
  • 4:00 - 4:03
    6-szor 6-szor 6.
  • 4:03 - 4:05
    És ez lesz megszorozva
    – a szorzásjel itt zöld,
  • 4:05 - 4:09
    tehát zölddel jelölöm.
  • 4:09 - 4:12
    Vagy talán mindkettőt narancssárgával.
  • 4:12 - 4:16
    Ez lesz megszorozva 6 a hatodikonnal.
  • 4:16 - 4:18
    Na és mennyi a 6 a hatodik hatványon?
  • 4:18 - 4:22
    6 szorozva önmagával hatszor.
  • 4:22 - 4:27
    6-szor 6-szor 6-szor
    6-szor 6.
  • 4:27 - 4:29
    És még egyszer 6.
  • 4:29 - 4:31
    Mi lesz ez a szám?
  • 4:31 - 4:33
    Nos, ez az egész,
    hányszor is
  • 4:33 - 4:35
    szorozzuk meg a 6-ot önmagával?
  • 4:35 - 4:38
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
  • 4:38 - 4:40
    8, 9-szer, ugye?
  • 4:40 - 4:44
    Háromszor itt, és aztán
    még hatszor itt.
  • 4:44 - 4:47
    Vagyis összeszorozzuk a 6-ot önmagával
    kilencszer.
  • 4:47 - 4:49
    3 meg 6.
  • 4:49 - 4:53
    Ez tehát egyenlő 6 a 3+6-odik hatványon,
  • 4:53 - 4:55
    avagy a kilencediken.
  • 4:55 - 4:57
    És máris találkoztunk
    a hatványozás
  • 4:57 - 5:00
    egy másik jellemző tulajdonságával.
  • 5:00 - 5:02
    Amikor a hatványokat vizsgáljuk,
    esetünkben a 6 a harmadikont,
  • 5:02 - 5:05
    a 6-os szám az alap.
  • 5:05 - 5:08
    Az alapot a 3. hatványra emeljük.
  • 5:08 - 5:13
    Amikor az alapok megegyeznek,
    és két hatványt szorzunk össze,
  • 5:13 - 5:16
    amelyeknek tehát ugyanaz az alapjuk,
    akkor a kitevőket összeadjuk.
  • 5:16 - 5:19
    Csinálok még további példákat.
  • 5:19 - 5:25
    Vörös színt fogok használni.
  • 5:25 - 5:27
    Legyen mondjuk 2 a négyzeten
    szorozva 2 a negyediken
  • 5:27 - 5:31
    szorozva 2 a hatodikon.
  • 5:31 - 5:33
    Nos, az alapok mindegyikben
    ugyanazok,
  • 5:33 - 5:37
    vagyis összeadhatom a kitevőket.
  • 5:37 - 5:41
    Ez annyi, mint 2 a 2 meg 4 meg 6-odikon,
  • 5:41 - 5:43
    ami egyenlő 2 a 12. hatványon.
  • 5:43 - 5:47
    És ez így logikus, hiszen
  • 5:47 - 5:50
    2 szorozva önmagával kétszer,
    2 szorozva önmagával négyszer,
  • 5:50 - 5:52
    2 szorozva önmagával hatszor.
  • 5:52 - 5:56
    Ha ezeket mind összeszorzod,
    az 2 szorozva önmagával
  • 5:56 - 6:01
    12-szer, azaz 2 a 12. hatványon.
  • 6:01 - 6:04
    Vizsgáljuk most ezt egy kicsit
    elvontabb formában,
  • 6:04 - 6:11
    váltózókat használva,
    de ugyanazon az elven.
  • 6:11 - 6:13
    Mennyi x a négyzeten szorozva
    x a negyediken?
  • 6:13 - 6:15
    Használhatjuk az imént tanult
    tulajdonságot.
  • 6:15 - 6:18
    Az alapok megegyeznek, az alap az x.
  • 6:18 - 6:21
    Ez tehát x a 2+4-dik hatványon,
  • 6:21 - 6:25
    ami x a hatodik hatványon.
  • 6:25 - 6:29
    És ha nem hinnél nekem,
    mi is az x négyzet?
  • 6:29 - 6:33
    x négyzet az x szorozva x-szel.
  • 6:33 - 6:38
    És ha ezt megszorzod x a negyedikennel,
  • 6:38 - 6:42
    akkor x-et önmagával szorzod négyszer.
  • 6:42 - 6:46
    x-szer x-szer x-szer x.
  • 6:46 - 6:49
    Hányszor szoroztuk össze x-et
    önmagával?
  • 6:49 - 6:52
    Nos, 1, 2, 3, 4, 5, 6-szor.
  • 6:52 - 6:54
    x a hatodikon.
  • 6:54 - 6:58
    Nézzünk meg még egy ilyet!
  • 6:58 - 7:02
  • 7:02 - 7:03
  • 7:03 - 7:10
  • 7:10 - 7:13
  • 7:13 - 7:13
  • 7:13 - 7:16
  • 7:16 - 7:19
  • 7:19 - 7:24
  • 7:24 - 7:26
  • 7:26 - 7:28
  • 7:28 - 7:31
  • 7:31 - 7:33
  • 7:33 - 7:37
  • 7:37 - 7:41
  • 7:41 - 7:44
  • 7:44 - 7:49
  • 7:49 - 7:54
  • 7:54 - 8:00
  • 8:00 - 8:01
  • 8:01 - 8:04
  • 8:04 - 8:08
  • 8:08 - 8:16
  • 8:16 - 8:19
  • 8:19 - 8:21
  • 8:21 - 8:24
  • 8:24 - 8:27
  • 8:27 - 8:28
  • 8:28 - 8:36
  • 8:36 - 8:38
  • 8:38 - 8:41
  • 8:41 - 8:43
  • 8:43 - 8:46
  • 8:46 - 8:49
  • 8:49 - 8:51
  • 8:51 - 8:52
  • 8:52 - 8:56
  • 8:56 - 8:58
  • 8:58 - 9:02
  • 9:02 - 9:07
  • 9:07 - 9:11
  • 9:11 - 9:14
  • 9:14 - 9:18
  • 9:18 - 9:21
  • 9:21 - 9:29
  • 9:29 - 9:44
  • 9:44 - 9:51
  • 9:51 - 9:54
  • 9:54 - 9:55
  • 10:01 - 10:04
  • 10:04 - 10:05
  • 10:05 - 10:09
  • 10:09 - 10:12
  • 10:12 - 10:16
  • 10:16 - 10:22
  • 10:22 - 10:24
  • 10:24 - 10:28
  • 10:28 - 10:31
  • 10:31 - 10:34
  • 10:34 - 10:36
  • 10:36 - 10:40
  • 10:40 - 10:43
  • 10:43 - 10:47
  • 10:47 - 10:49
  • 10:49 - 10:50
  • 10:50 - 10:53
  • 10:53 - 10:55
  • 10:55 - 10:56
  • 10:56 - 10:58
  • 10:58 - 11:01
  • 11:01 - 11:02
  • 11:02 - 11:06
  • 11:06 - 11:08
  • 11:08 - 11:13
  • 11:13 - 11:15
  • 11:15 - 11:16
  • 11:16 - 11:26
  • 11:26 - 11:32
  • 11:32 - 11:36
  • 11:39 - 11:41
  • 11:41 - 11:42
  • 11:42 - 11:43
  • 11:43 - 11:45
  • 11:45 - 11:49
  • 11:49 - 11:52
  • 11:52 - 11:53
  • 11:53 - 11:56
  • 11:56 - 11:59
  • 11:59 - 12:02
  • 12:02 - 12:05
  • 12:05 - 12:09
  • 12:09 - 12:16
  • 12:16 - 12:17
  • 12:17 - 12:22
  • 12:22 - 12:24
  • 12:24 - 12:25
  • 12:25 - 12:33
  • 12:33 - 12:35
  • 12:35 - 12:37
  • 12:37 - 12:39
  • 12:39 - 12:41
  • 12:41 - 12:43
  • 12:43 - 12:46
  • 12:46 - 12:48
  • 12:48 - 12:53
  • 12:53 - 12:55
  • 12:55 - 12:58
  • 12:58 - 13:02
  • 13:02 - 13:03
  • 13:03 - 13:05
  • 13:05 - 13:08
  • 13:08 - 13:13
  • 13:13 - 13:15
  • 13:15 - 13:20
  • 13:20 - 13:21
  • 13:21 - 13:22
  • 13:22 - 13:25
  • 13:25 - 13:28
  • 13:28 - 13:30
  • 13:30 - 13:32
  • 13:32 - 13:32
  • 13:32 - 13:35
  • 13:35 - 13:38
  • 13:38 - 13:39
  • 13:39 - 13:42
  • 13:42 - 13:44
  • 13:44 - 13:46
  • 13:46 - 13:48
  • 13:48 - 13:51
  • 13:51 - 13:54
  • 13:54 - 13:56
Title:
Azonos alapú és azonos kitevőjű hatványok szorzása, hatvány hatványozása | Műveletek hatványokkal | Matematika | Khan Academy
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
14:00

Hungarian subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.