Azonos alapú és azonos kitevőjű hatványok szorzása, hatvány hatványozása | Műveletek hatványokkal | Matematika | Khan Academy

Ebben a videóban jó sok példát
szeretnék megmutatni

a hatványozás azonosságaival
kapcsolatban.

De mielőtt hozzálátnék,

vegyük át egy kicsit,
mi is az a hatvány.

Nézzük például mi mennyi 2 a harmadikon?

Könnyen rávághatnád, hogy az 6, ugye?

De azt felelném, hogy tévedsz,
nem 6.

Ez azt jelenti, hogy 2 szorozva
önmagával háromszor.

Ez tehát 2-szer 2-szer 2 lesz,

ami 2-szer 2 az 4,

4-szer 2 az 8.

Ha azt kérdezném tőled,
mennyi 3 a másodikon,

vagy 3 a négyzeten, akkor az
3 szorozva önmagával kétszer.

Azaz 3-szor 3,

ami egyenlő kilenccel.

Csináljunk meg még egy ilyet.

Azt hiszem kezded érteni,
miről van szó,

ha eddig még nem találkoztál ilyennel.

Vegyük most az 5 hetedik hatványát!

Ez egyenlő 5 szorozva önmagával hétszer.

5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5.

Ez hét, ugye?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Na most ez egy nagyon nagyon
nagyon nagy szám lesz,

amit most nem fogok kiszámolni.

Ha te ki akarod számolni kézzel,
csak nyugodtan.

Vagy használd a számológépet,

mindenesetre ez egy nagyon
nagy szám lesz.

Tehát egy dolog, amit rögtön
megfigyelhettél,

hogy a hatványok nagyon gyorsan
növekednek.

5¹⁷ egy még
sokkal masszívabb szám lenne.

Mindenesetre ezzel megnéztük,
mi is az a hatvány.

Mélyedjünk most el egy kicsit
az algebrában, a hatványozásban.

Mi lenne a 3x –
ezt most egy másik színnel csinálom

– tehát mi lenne a
3x-szer 3x-szer 3x?

A szorzással kapcsolatban
emlékezzünk arra,

hogy nem számít,

milyen sorrendben hajtod végre
a szorzást.

Ez tehát ugyanannyi, mint
3-szor 3-szor 3-szor

x-szer x-szer x.

És ahogy azt az előbb
áttekintettük,

ez a rész itt 3-szor 3-szor 3,

azaz 3³.

Ez pedig itt x szorozva önmagával
háromszor,

azaz x a harmadik hatványon,
x³.

Tehát ez az egész átírható úgy, hogy

3³ ⋅ x³.

Vagy ha tudod mennyi 3³

– az 9-szer 3, ami 27 –,

akkor ez 27 ⋅ x³.

Mondhattad volna, hogy hiszen
ez 3x-szer 3x-szer 3x volt,

ez akkor nem 3x a harmadikon?

3x-et szorzod önmagával háromszor.

És azt válaszolnám, hogy de igen.

Ezt itt tehát értelmezhetjük úgy,

hogy (3x)³.

És ezzel mindjárt szembesültünk is

a hatványozás egyik azonosságával.

Figyelj csak!

Ha van valamiszer valamim, és ez az egész

a harmadik hatványra emelve,
akkor ez megegyezik

az egyes valamik harmadik hatványának
a szorzatával.

Vagyis (3x) ³ ugyanaz,
mint 3³ ⋅ x³,

ami 27 ⋅ x³.

Csináljunk még néhány
példát!

Mit gondolsz, mennyi a
6 a harmadikon szorozva

6 a hatodikonnal?

Na ez egy tényleg nagy szám lesz,

de én most a 6 hatványaként
szeretném ezt felírni.

Hadd írjam a 6 a hatodikont egy
másik színnel.

Mennyi lesz a 6 a harmadikon
szorozva

6 a hatodikon?

Nos, 6 a harmadikon, erről tudjuk,
hogy ez 6 szorozva önmagával

háromszor.

6 ⋅ 6 ⋅ 6.

És ez lesz megszorozva
– a szorzásjel itt zöld,

tehát zölddel jelölöm,

vagy talán mindkettőt narancssárgával –,

ez lesz megszorozva 6 a hatodikonnal.

Na és mennyi a 6 a hatodik hatványon?

6 szorozva önmagával hatszor.

6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6,

és még egyszer 6.

Mi lesz ez a szám?

Nos, ez az egész,
hányszor is

szorozzuk meg a 6-ot önmagával?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

8, 9-szer, ugye?

Háromszor itt, és aztán
még hatszor itt.

Vagyis összeszorozzuk a 6-ot önmagával
kilencszer.

3 meg 6.

Ez tehát egyenlő 6 a 3+6-odik hatványon,

avagy 6⁹.

És máris találkoztunk
a hatványozás

egy másik azonosságával.

Amikor a hatványokat vizsgáljuk,
esetünkben a 6 a harmadikont,

a 6-os szám az alap.

Az alapot a 3. hatványra emeljük.

Amikor az alapok megegyeznek,
és két hatványt szorzunk össze,

amelyeknek tehát ugyanaz az alapjuk,
akkor a kitevőket összeadhatjuk.

Csinálok még további példákat.

Vörös színt fogok használni.

Legyen mondjuk 2 a négyzeten
szorozva 2 a negyediken

szorozva 2 a hatodikon.

Nos, az alapok mindegyikben
ugyanazok,

vagyis összeadhatom a kitevőket.

Ez annyi, mint 2 a 2+4+6-odikon,

ami egyenlő 2¹².

És ez így logikus, hiszen

2 szorozva önmagával kétszer,
2 szorozva önmagával négyszer,

2 szorozva önmagával hatszor.

Ha ezeket mind összeszorzod,
az 2 szorozva önmagával

12-szer, azaz 2¹².

Vizsgáljuk most ezt egy kicsit
elvontabb formában,

váltózókat használva,
de ugyanazon az elven.

Mennyi x a négyzeten szorozva
x a negyediken?

Használhatjuk az imént tanult
tulajdonságot.

Az alapok megegyeznek, az alap az x.

Ez tehát x a 2+4. hatványon,

ami x⁶.

És ha nem hinnél nekem,
mi is az x²?

x négyzet az x ⋅ x.

És ha ezt megszorzod x⁴-nel,

akkor x-et önmagával szorzod négyszer.

x ⋅ x ⋅ x ⋅ x.

Hányszor szoroztuk össze x-et
önmagával?

Nos, 1, 2, 3, 4, 5, 6-szor.

x⁶.

Nézzünk meg még egy ilyet!

Minél több példát látsz,
annál jobb, szerintem.

Nézzük most a másik tulajdonságot,

hogy aztán együtt használhassuk őket.

Legyen 'a' a harmadikon,
és ez a negyedik hatványon.

Elmagyarázom a tulajdonságot,
és megmutatom,

mi a logikája.

Amikor egy szám hatványát veszed,

majd ezt valamilyen hatványra emeled,

akkor a kitevőket összeszorozhatod.

Ez tehát 'a' a 3-szor 4, vagyis

a 12. hatványon lesz.

És hogy ez miért logikus?

Nos, ez itt 'a' a harmadikon,
szorozva önmagával négyszer.

Vagyis egyenlő 'a' a harmadikon-szor
'a' a harmadikon-szor

'a' a harmadikon-szor 'a' a harmadikon.

Az alapok megegyeznek,
tehát a kitevőket összeadhatjuk.

Ez akkor 'a' a 3-szor 4.
hatványon lesz, ugye?

Ez megegyezik az 'a' a 3+3+3+3.
hatvánnyal,

ami ugyanaz, mint
'a' a 3-szor 4. hatvány,

vagy 'a' a 12. hatványon.

Tehát nézzük át még egyszer
az azonosságokat,

amiket ebben a videóban taglaltunk,
azon kívül, hogy mi is a hatvány.

x az 'a'-adik hatványon szorozva
x a 'b'-edik hatvánnyal

egyenlő lesz x az 'a+b'-edik
hatvánnyal.

Itt láttuk ezt.

x a négyzeten szorozva
x a negyediken egyenlő

x a hatodikonnal, 2+4-gyel.

Azt is láttuk, hogy x-szer y az
'a'-adik hatványon

ugyanaz, mint x az 'a'-adikon

szorozva y az 'a'-adikonnal.

Ezt a videó egy korábbi részén
láttuk, itt.

3x a harmadikon az ugyanaz,
mint 3 a harmadikon

szorozva x a harmadikon.

Ezt az állítást látjuk itt.

3x a harmadikon az ugyanaz,
mint 3 a harmadikon

szorozva x a harmadikon.

És végül az utolsó tulajdonság,
amit az imént vizsgáltunk:

ha az x az 'a'-adik hatványon
kifejezést a 'b'-edik hatványra emeljük,

akkor ez megegyezik x az (a・b)-edik
hatvánnyal.

Ezt itt láttuk. 'a' a harmadikon,

aztán ez emelve a negyedik hatványra
ugyanaz, mint 'a' a (3・4)-edik,

azaz 'a' a 12. hatványra.

Használjuk fel most ezeket
a tulajdonságokat,

és oldjunk meg összetettebb
feladatokat.

Vegyük a következő kifejezést:
2x-szer y a négyzeten, szorozva

mínusz x négyzetszer y, a négyzeten,
szorozva

(3 x négyzet y négyzet).

És ezt akarjuk egyszerűsíteni.

Kezdjük talán itt,
talán ezt könnyen tudjuk egyszerűsíteni.

Vehetjük úgy, hogy a mínusz 1-szer
x négyzetszer y a négyzeten,

tehát ha ezt az egészet
négyzetre emeljük, az olyan,

mintha minden tagját
négyzetre emelnénk.

Ez a rész tehát úgy egyszerűsíthető,
hogy

-1 a négyzeten, szorozva x négyzet
a négyzeten, szorozva y a négyzeten.

És ha ezt egyszerűsítjük,

mínusz 1 a négyzeten, az 1,
x négyzet a négyzeten –

emlékszel, összeszorozzuk a
kitevőket, –

tehát az x a negyediken
szorozva y négyzettel.

Erre egyszerűsödik ez a
középső rész.

Most nézzük, összevonhatjuk-e ezt
a többi résszel.

A többi rész, hogy emlékezzünk rá, ez volt:
2x szorozva y négyzet,

és aztán 3-szor x négyzet y négyzet.

Most gyerünk, és egyszerűen

szorozzunk össze mindent.

Tanultuk a szorzásnál,

hogy az mindegy, hogy
milyen sorrendben szorozzuk a dolgokat.

Tehát átrendezhetem ezt.

Egyszerűen összeszorzom: 2-szer x-szer
y négyzet

szorozva x a negyediken,
y négyzet

szorozva 3-szor x négyzetszer
y négyzet.

Átrendezhetem ezt,
és át is fogom rendezni úgy,

hogy könnyű legyen
egyszerűsíteni.

Összeszorozhatom a 2-szer 3-at,

és aztán foglalkozhatok az x-ekkel.

Ezzel a színnel fogom csinálni.

Van x-szer x a negyediken szorozva
x a négyzeten.

Aztán foglalkozunk az y-okkal,
y négyzet szorozva

egy másik y négyzettel,
és még egy y négyzettel.

És akkor mivel egyenlők ezek?

Nos, 2-szer 3.

Ezt tudod persze,

ez 6 lesz.

És mennyi az x-szer x a negyediken
szorozva x négyzet?

Egyrészt emlékezzünk rá, hogy
x az ugyanannyi, mint

x az első hatványon.

Bárminek az első hatványa
az önmaga.

Tehát 2 az első hatványon az 2,

3 az első hatványon az 3.

Mivel lesz tehát ez egyenlő?

Az alapunk megegyezik,
ez az x.

Összeadhatjuk a kitevőket,
x az 1+4+2 hatványon,

és ezt a következő lépésben
össze is adom.

Ami az y-okat illeti,

y a 2+2+2-edik hatványon.

Mit kapunk tehát?

6-szor x a hetediken

szorozva y a hatodikon.

Na és van itt még valami,

amit talán már tudsz is,
mindenesetre elég érdekes.

Ez pedig az a kérdés,
hogy mi történik,

ha valamit a nulladik
hatványra emelünk?

Ha azt mondom, 7 a nulladikon,
akkor az mivel lesz egyenlő?

És ezt rögtön meg fogom mondani,
mert ez nem egy intuitív dolog,

ez ugyanis egyenlő 1-gyel.

Vagy 1 a nulladik hatványon,
az is 1.

Bármi a nulladik hatványon,
bármely nem nulla szám

nulladik hatványa 1 lesz.

Hogy azért mégis
mutassak ehhez

egy kis inuíciót, miért is van így,

gondolkodjunk erről így.

3 az első hatványon – leírom
a 3 hatványait –

3 az első, második, harmadik hatványon.

A 3-as számmal csináljuk.

3 az első hatványon az 3.

Ez logikus.

3 a másodikon az 9.

3 a harmadikon az 27.

És persze, most probáljuk
kitalálni, mi legyen

a 3 nulladik hatványa.

Nos, gondolkodjunk.

Minden esetben, amikor
csökkentettük a kitevőt,

valahányszor csökkentettük
1-gyel a kitevőt,

osztottunk 3-mal.

27-ből a 9-et úgy kaptuk,
hogy elosztottuk 3-mal.

9-ből a 3 úgy lett,
hogy osztottunk 3-mal.

Erről a hatványról erre a hatványra,

talán megint osztanunk kellene
3-mal.

És ez az oka, hogy bármi a
nulladik hatványon,

ebben az esetben 3 a nulladikon,
az 1.

Viszlát a következő videóban!