Azonos alapú és azonos kitevőjű hatványok szorzása, hatvány hatványozása | Műveletek hatványokkal | Matematika | Khan Academy

Ebben a videóban jó sok példát
szeretnék megmutatni

a hatványok tulajdonságaival kapcsolatban.

De mielőtt hozzálátnék,

vegyük át egy kicsit,
mi is az a hatvány.

Nézzük például mi az a 2 a harmadikon?

Könnyen rávághatnád, hogy az 6, ugye?

De azt felelném, hogy tévedsz, az nem 6.

Ez azt jelenti, hogy 2 szorozva
önmagával háromszor.

Ez tehát 2-szer 2-szer 2 lesz,

ami 2-szer 2 az 4,

4-szer 2 az 8.

Ha azt kérdezném tőled,
mennyi 3 a másodikon,

vagy 3 a négyzeten, akkor az
3 szorozva önmagával kétszer.

Azaz 3-szor 3,

ami egyenlő kilenccel.

Csináljunk meg még egy ilyet.

Azt hiszem kezded érteni,
miről van szó,

ha eddig még nem találkoztál ilyennel.

Vegyük most az 5 hetedik hatványát!

Ez egyenlő 5 szorozva önmagával hétszer.

5-ször 5-ször 5-ször 5-ször
5-ször 5-ször 5.

Ez hét, ugye?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Na most ez egy nagyon nagyon
nagyon nagy szám lesz,

amit most nem fogok kiszámolni.

Ha te ki akarod számolni kézzel,
csak nyugodtan.

Vagy használd a számológépet,

mindenesetre ez egy nagyon
nagy szám lesz.

Tehát egy dolog, amit rögtön
megfigyelhettél,

hogy a hatványok nagyon gyorsan
növekednek.

5 a 17-ik hatványon egy még
sokkal masszívabb szám lenne.

Mindenesetre ezzel megnéztük,
mi is az a hatvány.

Mélyedjünk most el egy kicsit
az algebrában, a hatványok használatával.

Mi lenne a 3x –
ezt most egy másik színnel fogom jelölni

– tehát mi lenne a
3x-szer 3x-szer 3x?

A szorzással kapcsolatban
emlékezzünk arra,

hogy nem számít,

milyen sorrendben hajtod végre
a szorzást.

Ez tehát ugyanannyi, mint
3-szor 3-szor 3-szor

x-szer x-szer -x.

És ahogy azt az előbb
áttekintettük,

ez a rész itt 3-szor 3-szor 3,

azaz 3 a harmadik hatványon.

Ez pedig itt x szorozva önmagával
háromszor,

azaz x a harmadik hatványon,
x a harmadikon.

Tehát ez az egész átírható úgy, hogy

3 a harmadikon szorozva
x a harmadikon.

Vagy ha tudod mennyi 3 a harmadikon,

az 9-szer 3, ami 27,

akkor ez 27-szer x a harmadikon.

Mondhattad volna, hogy hiszen
ez 3x-szer 3x-szer 3x volt,

ez akkor nem 3x a harmadikon?

3x-et szorzod önmagával háromszor.

És azt válaszolnám, hogy de igen.

Ezt itt tehát értelmezhetjük úgy,

hogy 3x a harmadik hatványon.

És ezzel mindjárt szembesültünk is

a hatványozás egyik tulajdonságával.

Figyelj csak!

Ha van valamiszer valamim, és ez az egész

a harmadik hatványra emelve,
akkor ez megegyezik

az egyes valamik harmadik hatványának
a szorzatával.

Vagyis 3x a harmadikon az ugyanaz,
mint 3 a harmadikon

szorozva x a harmadikonnal,
ami 27-szer x a harmadikon.

Csináljunk még néhány
példát!

Mit gondolsz, mennyi a
6 a harmadikon szorozva

6 a hatodikonnal?

Na ez egy tényleg nagy szám lesz,

de én most 6 hatványaként
szeretném ezt felírni.

Hadd írjam a 6 a hatodikont egy
másik színnel.

Mennyi lesz a 6 a harmadikon
szorozva

6 a hatodikon?

Nos, 6 a harmadikon, erről tudjuk,
hogy ez 6 szorozva önmagával

háromszor.

6-szor 6-szor 6.

És ez lesz megszorozva
– a szorzásjel itt zöld,

tehát zölddel jelölöm.

Vagy talán mindkettőt narancssárgával.

Ez lesz megszorozva 6 a hatodikonnal.

Na és mennyi a 6 a hatodik hatványon?

6 szorozva önmagával hatszor.

6-szor 6-szor 6-szor
6-szor 6.

És még egyszer 6.

Mi lesz ez a szám?

Nos, ez az egész,
hányszor is

szorozzuk meg a 6-ot önmagával?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

8, 9-szer, ugye?

Háromszor itt, és aztán
még hatszor itt.

Vagyis összeszorozzuk a 6-ot önmagával
kilencszer.

3 meg 6.

Ez tehát egyenlő 6 a 3+6-odik hatványon,

avagy a kilencediken.

És máris találkoztunk
a hatványozás

egy másik jellemző tulajdonságával.

Amikor a hatványokat vizsgáljuk,
esetünkben a 6 a harmadikont,

a 6-os szám az alap.

Az alapot a 3. hatványra emeljük.

Amikor az alapok megegyeznek,
és két hatványt szorzunk össze,

amelyeknek tehát ugyanaz az alapjuk,
akkor a kitevőket összeadjuk.

Csinálok még további példákat.

Vörös színt fogok használni.

Legyen mondjuk 2 a négyzeten
szorozva 2 a negyediken

szorozva 2 a hatodikon.

Nos, az alapok mindegyikben
ugyanazok,

vagyis összeadhatom a kitevőket.

Ez annyi, mint 2 a 2 meg 4 meg 6-odikon,

ami egyenlő 2 a 12. hatványon.

És ez így logikus, hiszen

2 szorozva önmagával kétszer,
2 szorozva önmagával négyszer,

2 szorozva önmagával hatszor.

Ha ezeket mind összeszorzod,
az 2 szorozva önmagával

12-szer, azaz 2 a 12. hatványon.

Vizsgáljuk most ezt egy kicsit
elvontabb formában,

váltózókat használva,
de ugyanazon az elven.

Mennyi x a négyzeten szorozva
x a negyediken?

Használhatjuk az imént tanult
tulajdonságot.

Az alapok megegyeznek, az alap az x.

Ez tehát x a 2+4-dik hatványon,

ami x a hatodik hatványon.

És ha nem hinnél nekem,
mi is az x négyzet?

x négyzet az x szorozva x-szel.

És ha ezt megszorzod x a negyedikennel,

akkor x-et önmagával szorzod négyszer.

x-szer x-szer x-szer x.

Hányszor szoroztuk össze x-et
önmagával?

Nos, 1, 2, 3, 4, 5, 6-szor.

x a hatodikon.

Nézzünk meg még egy ilyet!

Minél több példát látsz,
annál jobb, szerintem.

Nézzük most a másik tulajdonságot,

hogy aztán összepárosítsuk őket.

Legyen 'a' a harmadikon, és ez a negyedik
hatványon.

Elmagyarázom a tulajdonságot,
és megmutatom,

mi a logikája.

Amikor egy számot hatványát veszed,

majd ezt valamilyen hatványra emeled,

akkor a kitevőket összeszorozhatod.

Ez tehát 3-szor 4, vagyis

a 12. hatvány lesz.

És hogy ez miért logikus?

Nos, ez itt a harmadikon,
szorozva önmagával

négyszer.

Vagyis egyenlő a harmadikon-szor
a harmadikon-szor

a harmadikon-szor a harmadikon.

Az alapok megegyeznek,
tehát a kitevőket összeadhatjuk.

Ez akkor 3-szor 4 lesz, ugye?

Ez megegyezik a 3+3+3+3-ik
hatvánnyal,

ami ugyanaz, mint
a 3-szor 4. hatvány,

vagy a 12. hatvány.

Tehát nézzük át mégegyszer
a jellemzőket,

amiket ebben a videóban taglaltunk,
azon kívül, hogy mi is a hatvány,

x az 'a'-adik hatványon szorozva
x a 'b'-edik hatvánnyal

egyenlő lesz x az 'a+b'-edik
hatvánnyal.

Itt láttuk ezt.

x a négyzeten szorozva
x a negyediken egyenlő

x a hatodikonnal, 2+4-gyel.

Azt is láttuk, hogy x-szer y az
'a'-adik hatványon

ugyanaz, mint x az 'a'-adikon

szorozva y az 'a'-adikonnal.

Ezt a videó egy korábbi részén láttuk,
itt.

3x a harmadikon az ugyanaz,
mint 3 a harmadikon

szorozva x a harmadikon.

Ezt az állítást látjuk itt.

3x a harmadikon az ugyanaz,
mint 3 a harmadikon

szorozva x a harmadikon.

És végül az utolsó tulajdonság,
amit az imént vizsgáltunk:

ha az x az 'a'-adik hatványon
kifejezést a 'b'-edik hatványra emeljük,

akkor ez megegyezik x az (a・b)-edik
hatvánnyal.

Ezt itt láttuk. 'a' a harmadikon,

aztán ez emelve a negyedik hatványra
ugyanaz, mint 'a' a (3・4)-edik,

azaz a 12. hatványra.

Használjuk fel most ezeket
a tulajdonságokat,

és oldjunk meg összetettebb
feladatokat.

Vegyük a következő kifejezést:
2x-szer y a négyzeten, szorozva

mínusz x négyzetszer y, a négyzeten,
szorozva

(3 x négyzet y négyzet).

És ezt akarjuk egyszerűsíteni.

Kezdjük talán itt.
talán ezt könnyen tudjuk egyszerűsíteni.

Vehetjük úgy, hogy a mínusz 1-szer
x négyzetszer y a négyzeten,

tehát ha ezt az egészet
négyzetre emeljük, az olyan,

mintha minden tagját
négyzetre emelnénk.

Ez a rész tehát úgy egyszerűsíthető,
hogy

-1 a négyzeten, szorozva x négyzet
a négyzeten, szorozva y a négyzeten.

És haz ezt egyszerűsítjük,

mínusz 1 a négyzete, az 1,
x négyzet a négyzeten –

emlékszel, összeszorozzuk a
kitevőket, –

tehát az x a negyediken
szorozva y négyzettel.

Erre egyszerűsödik ez a
középső rész.

Most nézzük, összevonhatjuk-e ezt
a többi résszel.

A többi rész, hogy emlékezzünk rá, ez volt:
2x szorozva y négyzet,

és aztán 3-szor x négyzet y négyzet.

Most gyerünk, és egyszerűen

szorozzunk össze mindent.

Tanultunk a szorzásnál,

hogy az mindegy, hogy
milyen sorrendben szorozzuk a dolgokat.

Tehát átrendezhetem ezt.

Egyszerűen összeszorzom: 2-szer x-szer
y négyzet

szorozva x a negyediken,
y négyzet

szorozva 3-szor x négyzetszer
y négyzet.

Átrendezhetem ezt,
és át is fogom rendezni úgy,

hogy könnyű legyen
egyszerűsíteni.