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“ 無限ホテル ”のパラドックス - ジェフ・デコフスキー

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    1920年代の事
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    ドイツ人の数学者ダフィット・ヒルベルトは
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    有名な思考実験を行いました
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    無限の概念を理解することが
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    いかに 難しいことか
    示そうとしたのです
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    無限の数の部屋があるホテルを
    想像してみましょう
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    そこには とてもよく働く
    夜勤のマネジャーがいます
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    ある夜 無限ホテルは
    完全に満室になったとします
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    無限の数の予約で
    いっぱいになりました
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    ある男性がホテルに入ってきて
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    一部屋空いていないか
    と尋ねました
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    それを断ることもせず
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    夜勤のマネジャーは
    一部屋 空きを作ることにしました
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    どうやって？
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    簡単です １号室の客に
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    ２号室に移ってもらい
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    ２号室の客には
    ３号室に移ってもらい
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    そんな感じです
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    ｎ号室の客が
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    ｎ+１号室に移るのです
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    無限の部屋があるので
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    それぞれの客に
    新たな部屋が用意されるのです
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    すると１号室が新しい客の部屋になります
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    これを続けていけば
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    いくらでも 有限の数の
    新しい客を お迎えできます
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    たとえば ツアーバスが
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    40人の客を連れてきて
    部屋を探したとします
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    すでに部屋のある客たちが
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    n号室から
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    n+40号室に移ると
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    最初の40部屋が空きます
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    しかし 今度は無限に長いバスが
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    無限の数の客を連れてきて
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    泊まろうと
    したらどうでしょう
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    無限でも数えられること
    (可算無限)が鍵です
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    “無限バス”が無限の客を連れてきて
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    夜勤のマネジャーをちょっと困らせます
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    しかし彼は皆に部屋をあてがう
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    解決策を見出すのです
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    １号室の部屋の客に
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    ２号室に移って欲しいと頼み
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    ２号室の客は
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    ４号室に移ってもらい
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    ３号室の客は
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    ６号室へ
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    そんな具合です
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    ｎ号室の客が
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    ２ｎ号室に移ると
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    無限にある偶数番号の部屋が
    いっぱいになります
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    でも こうやることによって
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    無限の奇数の部屋が空き
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    “無限バス”で連れてこられた
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    全ての客に
    部屋が割り当てられます
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    皆がハッピーになって
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    ホテルも前代未聞の商売繁盛です
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    でも 実のところ
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    いつもと全く変わらなく
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    一晩で 無限ドル稼ぐのです
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    このすごいホテルのうわさが
    一気に広まり
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    人々が方々 遠方からも
    なだれ込みます
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    ある夜
    想像も出来ないようなことが起きます
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    夜勤のマネジャーが外を見てみると
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    無限に並んだ“ 無限大のバス ”が
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    列をなして 各々が
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    可算無限の客を
    連れてきています
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    どうすれば良いでしょう？
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    部屋を準備できなければ
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    ホテルは無限の収益を
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    見逃すことになります
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    そして彼は職を
    失うこと間違いありません
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    幸いにも彼は
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    紀元前300年頃に
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    ユークリッドが証明したこと—
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    素数が無限に存在することを
    思い出すのです
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    無限の数のバスに乗った
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    疲れた無限の旅行者のために
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    無限のベッドを準備するという
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    一見不可能な問題を
    解決するために
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    夜勤のマネジャーは宿泊中の客に
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    最初の素数である２を
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    部屋番号の数で累乗した
    番号の部屋に移ってもらいます
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    たとえば7号室の客は
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    ２の７乗 つまり
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    128号室に移動します
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    次に夜勤のマネジャーは
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    最初の“ 無限バス ”の客を
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    このように案内します
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    ２の次の素数である３を
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    バスの座席番号の数で
    累乗するのです
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    たとえば 座席番号７に
    座っていた客なら
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    ３の７乗 つまり
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    2,187号室に移ります
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    １台目のバスは
    このように やっていきます
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    ２台目のバスについては
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    その次の素数である５を
    次々と累乗していきます
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    その次のバスは７の累乗
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    さらに続くバスは
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    11の累乗
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    13の累乗
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    17の累乗　という具合です
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    こうやってできた数字は
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    １と素数の累乗しか
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    約数を持たないので
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    部屋が重なりません
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    全てのバスの客たちは
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    それぞれに割り当てられた
    素数に基づいて
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    それぞれ異なった部屋へと
    分かれていきます
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    このようにして
    夜勤のマネジャーは
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    全てのバスの全ての客に
    部屋を用意できるのです
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    でも ６号室のように空き部屋が
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    たくさん残ります
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    ６は素数の累乗ではないからです
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    幸いにも彼の上司は
    数字に弱そうなので
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    仕事を追われることもありません
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    “無限ホテル”での様々な準備が
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    悪夢であることに
    間違いありませんが
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    夜勤マネジャーが
    こんなことができたのは
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    最も低いレベルの無限だからです
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    基本的に可算無限個 つまり
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    １,２,３,４・・・というように
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    自然数で数え上げられることです
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    ゲオルク・カントールは このレベルの無限を
    アレフゼロ(ℵ。)と命名しました
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    我々は部屋の番号や
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    バスの座席番号に
    自然数を用いています
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    もし実数と言ったより高いレベルの
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    無限を扱おうとすると
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    これまでに論じた方法では
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    上手く対応できません
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    というのも 全ての数字を
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    系統立てて組み入れることが
    できないからです
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    “ 実数無限ホテル ”には
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    地下の負数番号の部屋とか
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    分数番号の部屋があって
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    1/2号室の客は
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    １号室よりも狭いんじゃないかと
    疑っています
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    ルート２といった 平方根の部屋や
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    πの部屋などでは
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    客が無料サービスの
    デザートを期待しています
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    自尊心の高い夜勤のマネジャーは
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    無限の給料だからと言って
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    そこで働きたがるでしょうか？
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    しかし 常に空室が無く
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    いつも もっと部屋が用意できる
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    ヒルベルトの“ 無限ホテル ”で
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    とても勤勉で 過度とさえ言えるほどに
    接客態度の良い
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    夜勤のマネジャーの話を聞くと
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    無限という概念を
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    理解することが
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    有限な知性しか持たない 我々にとって
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    いかに大変なことか
    気づかされます
  • 5:37 - 5:39
    あなたが一晩グッスリ眠ると
  • 5:39 - 5:40
    よい解決案が 浮かぶかもしれません
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    でも 恐縮ですが
  • 5:42 - 5:45
    ２時にお部屋の移動を
    お願いするかもしれませんね
Title:
“ 無限ホテル ”のパラドックス - ジェフ・デコフスキー
Speaker:
Jeff Dekofsky
Description:

ドイツ人の数学者ダフィット・ヒルベルトによる、思考実験で創造された“ 無限ホテル ”には、無限の数の部屋があります。簡単に解ける話？いいえ。満室のところに、もう一人お客が来たら、部屋を用意できますか？ 40人なら？ それともバスに乗って、無限の数の客が来たら？ ジェフ・デコフスキーは、ヒルベルトのパラドックスの議論を用いて、全ての客に部屋を用意して見せます。

講師：ジェフ・デコフスキー
アニメーション：The Moving Companhy Animation Studio
※この教材のページ: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky
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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
06:00

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