WEBVTT

00:00:06.531 --> 00:00:07.715
1920年代の事

00:00:07.715 --> 00:00:10.208
ドイツ人の数学者ダフィット・ヒルベルトは

00:00:10.208 --> 00:00:12.461
有名な思考実験を行いました

00:00:12.461 --> 00:00:14.215
無限の概念を理解することが

00:00:14.215 --> 00:00:18.170
いかに 難しいことか
示そうとしたのです

00:00:18.170 --> 00:00:21.683
無限の数の部屋があるホテルを
想像してみましょう

00:00:21.683 --> 00:00:24.291
そこには とてもよく働く
夜勤のマネジャーがいます

00:00:24.291 --> 00:00:27.547
ある夜 無限ホテルは
完全に満室になったとします

00:00:27.547 --> 00:00:31.110
無限の数の予約で
いっぱいになりました

00:00:31.110 --> 00:00:32.418
ある男性がホテルに入ってきて

00:00:32.418 --> 00:00:33.934
一部屋空いていないか 
と尋ねました

00:00:33.934 --> 00:00:35.468
それを断ることもせず

00:00:35.468 --> 00:00:37.910
夜勤のマネジャーは
一部屋 空きを作ることにしました

00:00:37.910 --> 00:00:38.689
どうやって？

00:00:38.689 --> 00:00:41.659
簡単です １号室の客に

00:00:41.659 --> 00:00:43.325
２号室に移ってもらい

00:00:43.325 --> 00:00:46.080
２号室の客には
３号室に移ってもらい

00:00:46.080 --> 00:00:47.162
そんな感じです

00:00:47.162 --> 00:00:49.862
ｎ号室の客が

00:00:49.862 --> 00:00:52.203
ｎ+１号室に移るのです

00:00:52.203 --> 00:00:54.412
無限の部屋があるので

00:00:54.412 --> 00:00:57.033
それぞれの客に 
新たな部屋が用意されるのです

00:00:57.033 --> 00:00:59.784
すると１号室が新しい客の部屋になります

00:00:59.784 --> 00:01:01.029
これを続けていけば

00:01:01.029 --> 00:01:03.535
いくらでも 有限の数の
新しい客を お迎えできます

00:01:03.535 --> 00:01:05.388
たとえば ツアーバスが

00:01:05.388 --> 00:01:07.553
40人の客を連れてきて
部屋を探したとします

00:01:07.553 --> 00:01:09.666
すでに部屋のある客たちが

00:01:09.666 --> 00:01:11.004
n号室から

00:01:11.004 --> 00:01:13.662
n+40号室に移ると

00:01:13.662 --> 00:01:16.790
最初の40部屋が空きます

00:01:16.790 --> 00:01:19.195
しかし 今度は無限に長いバスが

00:01:19.195 --> 00:01:21.768
無限の数の客を連れてきて

00:01:21.768 --> 00:01:23.697
泊まろうと
したらどうでしょう

00:01:23.697 --> 00:01:25.920
無限でも数えられること
(可算無限)が鍵です

00:01:25.920 --> 00:01:28.225
“無限バス”が無限の客を連れてきて

00:01:28.225 --> 00:01:30.542
夜勤のマネジャーをちょっと困らせます

00:01:30.542 --> 00:01:32.034
しかし彼は皆に部屋をあてがう

00:01:32.034 --> 00:01:33.373
解決策を見出すのです

00:01:33.373 --> 00:01:34.994
１号室の部屋の客に

00:01:34.994 --> 00:01:36.415
２号室に移って欲しいと頼み

00:01:36.415 --> 00:01:38.551
２号室の客は

00:01:38.551 --> 00:01:40.459
４号室に移ってもらい

00:01:40.459 --> 00:01:41.540
３号室の客は

00:01:41.540 --> 00:01:42.833
６号室へ

00:01:42.833 --> 00:01:44.129
そんな具合です

00:01:44.129 --> 00:01:47.337
ｎ号室の客が

00:01:47.337 --> 00:01:50.533
２ｎ号室に移ると

00:01:50.533 --> 00:01:54.084
無限にある偶数番号の部屋が
いっぱいになります

00:01:54.084 --> 00:01:55.953
でも こうやることによって

00:01:55.953 --> 00:01:58.891
無限の奇数の部屋が空き

00:01:58.891 --> 00:02:00.309
“無限バス”で連れてこられた

00:02:00.309 --> 00:02:02.828
全ての客に
部屋が割り当てられます

00:02:02.828 --> 00:02:05.111
皆がハッピーになって

00:02:05.111 --> 00:02:06.899
ホテルも前代未聞の商売繁盛です

00:02:06.899 --> 00:02:08.402
でも 実のところ

00:02:08.402 --> 00:02:10.440
いつもと全く変わらなく

00:02:10.440 --> 00:02:12.923
一晩で 無限ドル稼ぐのです

00:02:13.723 --> 00:02:16.379
このすごいホテルのうわさが
一気に広まり

00:02:16.379 --> 00:02:18.568
人々が方々 遠方からも
なだれ込みます

00:02:18.568 --> 00:02:20.866
ある夜 
想像も出来ないようなことが起きます

00:02:20.866 --> 00:02:23.431
夜勤のマネジャーが外を見てみると

00:02:23.431 --> 00:02:25.061
無限に並んだ“ 無限大のバス ”が

00:02:25.061 --> 00:02:27.541
列をなして 各々が

00:02:27.541 --> 00:02:30.353
可算無限の客を
連れてきています

00:02:30.353 --> 00:02:31.410
どうすれば良いでしょう？

00:02:31.410 --> 00:02:32.913
部屋を準備できなければ

00:02:32.913 --> 00:02:34.231
ホテルは無限の収益を

00:02:34.231 --> 00:02:35.982
見逃すことになります

00:02:35.982 --> 00:02:37.979
そして彼は職を
失うこと間違いありません

00:02:37.979 --> 00:02:39.083
幸いにも彼は

00:02:39.083 --> 00:02:41.814
紀元前300年頃に

00:02:41.814 --> 00:02:44.750
ユークリッドが証明したこと—

00:02:44.750 --> 00:02:47.215
素数が無限に存在することを
思い出すのです

00:02:47.215 --> 00:02:49.684
無限の数のバスに乗った

00:02:49.684 --> 00:02:51.005
疲れた無限の旅行者のために

00:02:51.005 --> 00:02:52.309
無限のベッドを準備するという

00:02:52.309 --> 00:02:54.315
一見不可能な問題を
解決するために

00:02:54.315 --> 00:02:56.607
夜勤のマネジャーは宿泊中の客に

00:02:56.607 --> 00:02:59.066
最初の素数である２を

00:02:59.066 --> 00:03:01.891
部屋番号の数で累乗した
番号の部屋に移ってもらいます

00:03:01.891 --> 00:03:04.559
たとえば7号室の客は

00:03:04.559 --> 00:03:07.565
２の７乗 つまり

00:03:07.565 --> 00:03:09.930
128号室に移動します

00:03:09.930 --> 00:03:11.643
次に夜勤のマネジャーは

00:03:11.643 --> 00:03:13.781
最初の“ 無限バス ”の客を

00:03:13.781 --> 00:03:15.830
このように案内します

00:03:15.830 --> 00:03:18.315
２の次の素数である３を

00:03:18.315 --> 00:03:21.752
バスの座席番号の数で
累乗するのです

00:03:21.752 --> 00:03:25.283
たとえば 座席番号７に
座っていた客なら

00:03:25.283 --> 00:03:28.384
３の７乗 つまり

00:03:28.384 --> 00:03:31.634
2,187号室に移ります

00:03:31.634 --> 00:03:34.093
１台目のバスは
このように やっていきます

00:03:34.093 --> 00:03:35.765
２台目のバスについては

00:03:35.765 --> 00:03:39.434
その次の素数である５を
次々と累乗していきます

00:03:39.434 --> 00:03:41.517
その次のバスは７の累乗

00:03:41.517 --> 00:03:42.945
さらに続くバスは

00:03:42.945 --> 00:03:43.767
11の累乗

00:03:43.767 --> 00:03:44.770
13の累乗

00:03:44.770 --> 00:03:47.190
17の累乗　という具合です

00:03:47.190 --> 00:03:48.318
こうやってできた数字は

00:03:48.318 --> 00:03:50.992
１と素数の累乗しか

00:03:50.992 --> 00:03:53.237
約数を持たないので

00:03:53.237 --> 00:03:55.410
部屋が重なりません

00:03:55.410 --> 00:03:58.363
全てのバスの客たちは

00:03:58.363 --> 00:04:00.870
それぞれに割り当てられた
素数に基づいて

00:04:00.870 --> 00:04:03.510
それぞれ異なった部屋へと
分かれていきます

00:04:03.510 --> 00:04:05.578
このようにして 
夜勤のマネジャーは

00:04:05.578 --> 00:04:07.870
全てのバスの全ての客に
部屋を用意できるのです

00:04:07.870 --> 00:04:10.806
でも ６号室のように空き部屋が

00:04:10.806 --> 00:04:11.897
たくさん残ります

00:04:11.897 --> 00:04:15.119
６は素数の累乗ではないからです

00:04:15.119 --> 00:04:17.536
幸いにも彼の上司は
数字に弱そうなので

00:04:17.536 --> 00:04:19.178
仕事を追われることもありません

00:04:19.178 --> 00:04:22.031
“無限ホテル”での様々な準備が

00:04:22.031 --> 00:04:23.983
悪夢であることに
間違いありませんが

00:04:23.983 --> 00:04:26.204
夜勤マネジャーが
こんなことができたのは

00:04:26.204 --> 00:04:29.981
最も低いレベルの無限だからです

00:04:29.981 --> 00:04:31.746
基本的に可算無限個 つまり

00:04:31.746 --> 00:04:33.537
１,２,３,４・・・というように

00:04:33.537 --> 00:04:36.618
自然数で数え上げられることです

00:04:36.618 --> 00:04:40.537
ゲオルク・カントールは このレベルの無限を
アレフゼロ(ℵ。)と命名しました

00:04:40.537 --> 00:04:42.665
我々は部屋の番号や

00:04:42.665 --> 00:04:44.787
バスの座席番号に
自然数を用いています

00:04:45.633 --> 00:04:48.176
もし実数と言ったより高いレベルの

00:04:48.176 --> 00:04:49.727
無限を扱おうとすると

00:04:49.727 --> 00:04:51.097
これまでに論じた方法では

00:04:51.097 --> 00:04:52.564
上手く対応できません

00:04:52.564 --> 00:04:53.850
というのも 全ての数字を

00:04:53.850 --> 00:04:56.570
系統立てて組み入れることが
できないからです

00:04:56.570 --> 00:04:58.922
“ 実数無限ホテル ”には

00:04:58.922 --> 00:05:00.929
地下の負数番号の部屋とか

00:05:00.929 --> 00:05:02.388
分数番号の部屋があって

00:05:02.388 --> 00:05:04.508
1/2号室の客は

00:05:04.508 --> 00:05:07.205
１号室よりも狭いんじゃないかと
疑っています

00:05:07.205 --> 00:05:10.332
ルート２といった 平方根の部屋や

00:05:10.332 --> 00:05:11.462
πの部屋などでは

00:05:11.462 --> 00:05:14.349
客が無料サービスの
デザートを期待しています

00:05:14.349 --> 00:05:15.869
自尊心の高い夜勤のマネジャーは

00:05:15.869 --> 00:05:17.172
無限の給料だからと言って

00:05:17.172 --> 00:05:19.490
そこで働きたがるでしょうか？

00:05:19.490 --> 00:05:20.797
しかし 常に空室が無く

00:05:20.797 --> 00:05:22.261
いつも もっと部屋が用意できる

00:05:22.261 --> 00:05:23.881
ヒルベルトの“ 無限ホテル ”で

00:05:23.881 --> 00:05:26.950
とても勤勉で 過度とさえ言えるほどに
接客態度の良い

00:05:26.950 --> 00:05:28.720
夜勤のマネジャーの話を聞くと

00:05:28.720 --> 00:05:29.804
無限という概念を

00:05:29.804 --> 00:05:31.150
理解することが

00:05:31.150 --> 00:05:33.320
有限な知性しか持たない 我々にとって

00:05:33.320 --> 00:05:37.092
いかに大変なことか
気づかされます

00:05:37.092 --> 00:05:38.695
あなたが一晩グッスリ眠ると

00:05:38.695 --> 00:05:40.427
よい解決案が 浮かぶかもしれません

00:05:40.427 --> 00:05:42.300
でも 恐縮ですが

00:05:42.300 --> 00:05:44.701
２時にお部屋の移動を
お願いするかもしれませんね