0:00:06.531,0:00:07.715
1920年代の事

0:00:07.715,0:00:10.208
ドイツ人の数学者ダフィット・ヒルベルトは

0:00:10.208,0:00:12.461
有名な思考実験を行いました

0:00:12.461,0:00:14.215
無限の概念を理解することが

0:00:14.215,0:00:18.170
いかに 難しいことか[br]示そうとしたのです

0:00:18.170,0:00:21.683
無限の数の部屋があるホテルを[br]想像してみましょう

0:00:21.683,0:00:24.291
そこには とてもよく働く[br]夜勤のマネジャーがいます

0:00:24.291,0:00:27.547
ある夜 無限ホテルは[br]完全に満室になったとします

0:00:27.547,0:00:31.110
無限の数の予約で[br]いっぱいになりました

0:00:31.110,0:00:32.418
ある男性がホテルに入ってきて

0:00:32.418,0:00:33.934
一部屋空いていないか [br]と尋ねました

0:00:33.934,0:00:35.468
それを断ることもせず

0:00:35.468,0:00:37.910
夜勤のマネジャーは[br]一部屋 空きを作ることにしました

0:00:37.910,0:00:38.689
どうやって？

0:00:38.689,0:00:41.659
簡単です １号室の客に

0:00:41.659,0:00:43.325
２号室に移ってもらい

0:00:43.325,0:00:46.080
２号室の客には[br]３号室に移ってもらい

0:00:46.080,0:00:47.162
そんな感じです

0:00:47.162,0:00:49.862
ｎ号室の客が

0:00:49.862,0:00:52.203
ｎ+１号室に移るのです

0:00:52.203,0:00:54.412
無限の部屋があるので

0:00:54.412,0:00:57.033
それぞれの客に [br]新たな部屋が用意されるのです

0:00:57.033,0:00:59.784
すると１号室が新しい客の部屋になります

0:00:59.784,0:01:01.029
これを続けていけば

0:01:01.029,0:01:03.535
いくらでも 有限の数の[br]新しい客を お迎えできます

0:01:03.535,0:01:05.388
たとえば ツアーバスが

0:01:05.388,0:01:07.553
40人の客を連れてきて[br]部屋を探したとします

0:01:07.553,0:01:09.666
すでに部屋のある客たちが

0:01:09.666,0:01:11.004
n号室から

0:01:11.004,0:01:13.662
n+40号室に移ると

0:01:13.662,0:01:16.790
最初の40部屋が空きます

0:01:16.790,0:01:19.195
しかし 今度は無限に長いバスが

0:01:19.195,0:01:21.768
無限の数の客を連れてきて

0:01:21.768,0:01:23.697
泊まろうと[br]したらどうでしょう

0:01:23.697,0:01:25.920
無限でも数えられること[br](可算無限)が鍵です

0:01:25.920,0:01:28.225
“無限バス”が無限の客を連れてきて

0:01:28.225,0:01:30.542
夜勤のマネジャーをちょっと困らせます

0:01:30.542,0:01:32.034
しかし彼は皆に部屋をあてがう

0:01:32.034,0:01:33.373
解決策を見出すのです

0:01:33.373,0:01:34.994
１号室の部屋の客に

0:01:34.994,0:01:36.415
２号室に移って欲しいと頼み

0:01:36.415,0:01:38.551
２号室の客は

0:01:38.551,0:01:40.459
４号室に移ってもらい

0:01:40.459,0:01:41.540
３号室の客は

0:01:41.540,0:01:42.833
６号室へ

0:01:42.833,0:01:44.129
そんな具合です

0:01:44.129,0:01:47.337
ｎ号室の客が

0:01:47.337,0:01:50.533
２ｎ号室に移ると

0:01:50.533,0:01:54.084
無限にある偶数番号の部屋が[br]いっぱいになります

0:01:54.084,0:01:55.953
でも こうやることによって

0:01:55.953,0:01:58.891
無限の奇数の部屋が空き

0:01:58.891,0:02:00.309
“無限バス”で連れてこられた

0:02:00.309,0:02:02.828
全ての客に[br]部屋が割り当てられます

0:02:02.828,0:02:05.111
皆がハッピーになって

0:02:05.111,0:02:06.899
ホテルも前代未聞の商売繁盛です

0:02:06.899,0:02:08.402
でも 実のところ

0:02:08.402,0:02:10.440
いつもと全く変わらなく

0:02:10.440,0:02:12.923
一晩で 無限ドル稼ぐのです

0:02:13.723,0:02:16.379
このすごいホテルのうわさが[br]一気に広まり

0:02:16.379,0:02:18.568
人々が方々 遠方からも[br]なだれ込みます

0:02:18.568,0:02:20.866
ある夜 [br]想像も出来ないようなことが起きます

0:02:20.866,0:02:23.431
夜勤のマネジャーが外を見てみると

0:02:23.431,0:02:25.061
無限に並んだ“ 無限大のバス ”が

0:02:25.061,0:02:27.541
列をなして 各々が

0:02:27.541,0:02:30.353
可算無限の客を[br]連れてきています

0:02:30.353,0:02:31.410
どうすれば良いでしょう？

0:02:31.410,0:02:32.913
部屋を準備できなければ

0:02:32.913,0:02:34.231
ホテルは無限の収益を

0:02:34.231,0:02:35.982
見逃すことになります

0:02:35.982,0:02:37.979
そして彼は職を[br]失うこと間違いありません

0:02:37.979,0:02:39.083
幸いにも彼は

0:02:39.083,0:02:41.814
紀元前300年頃に

0:02:41.814,0:02:44.750
ユークリッドが証明したこと—

0:02:44.750,0:02:47.215
素数が無限に存在することを[br]思い出すのです

0:02:47.215,0:02:49.684
無限の数のバスに乗った

0:02:49.684,0:02:51.005
疲れた無限の旅行者のために

0:02:51.005,0:02:52.309
無限のベッドを準備するという

0:02:52.309,0:02:54.315
一見不可能な問題を[br]解決するために

0:02:54.315,0:02:56.607
夜勤のマネジャーは宿泊中の客に

0:02:56.607,0:02:59.066
最初の素数である２を

0:02:59.066,0:03:01.891
部屋番号の数で累乗した[br]番号の部屋に移ってもらいます

0:03:01.891,0:03:04.559
たとえば7号室の客は

0:03:04.559,0:03:07.565
２の７乗 つまり

0:03:07.565,0:03:09.930
128号室に移動します

0:03:09.930,0:03:11.643
次に夜勤のマネジャーは

0:03:11.643,0:03:13.781
最初の“ 無限バス ”の客を

0:03:13.781,0:03:15.830
このように案内します

0:03:15.830,0:03:18.315
２の次の素数である３を

0:03:18.315,0:03:21.752
バスの座席番号の数で[br]累乗するのです

0:03:21.752,0:03:25.283
たとえば 座席番号７に[br]座っていた客なら

0:03:25.283,0:03:28.384
３の７乗 つまり

0:03:28.384,0:03:31.634
2,187号室に移ります

0:03:31.634,0:03:34.093
１台目のバスは[br]このように やっていきます

0:03:34.093,0:03:35.765
２台目のバスについては

0:03:35.765,0:03:39.434
その次の素数である５を[br]次々と累乗していきます

0:03:39.434,0:03:41.517
その次のバスは７の累乗

0:03:41.517,0:03:42.945
さらに続くバスは

0:03:42.945,0:03:43.767
11の累乗

0:03:43.767,0:03:44.770
13の累乗

0:03:44.770,0:03:47.190
17の累乗　という具合です

0:03:47.190,0:03:48.318
こうやってできた数字は

0:03:48.318,0:03:50.992
１と素数の累乗しか

0:03:50.992,0:03:53.237
約数を持たないので

0:03:53.237,0:03:55.410
部屋が重なりません

0:03:55.410,0:03:58.363
全てのバスの客たちは

0:03:58.363,0:04:00.870
それぞれに割り当てられた[br]素数に基づいて

0:04:00.870,0:04:03.510
それぞれ異なった部屋へと[br]分かれていきます

0:04:03.510,0:04:05.578
このようにして [br]夜勤のマネジャーは

0:04:05.578,0:04:07.870
全てのバスの全ての客に[br]部屋を用意できるのです

0:04:07.870,0:04:10.806
でも ６号室のように空き部屋が

0:04:10.806,0:04:11.897
たくさん残ります

0:04:11.897,0:04:15.119
６は素数の累乗ではないからです

0:04:15.119,0:04:17.536
幸いにも彼の上司は[br]数字に弱そうなので

0:04:17.536,0:04:19.178
仕事を追われることもありません

0:04:19.178,0:04:22.031
“無限ホテル”での様々な準備が

0:04:22.031,0:04:23.983
悪夢であることに[br]間違いありませんが

0:04:23.983,0:04:26.204
夜勤マネジャーが[br]こんなことができたのは

0:04:26.204,0:04:29.981
最も低いレベルの無限だからです

0:04:29.981,0:04:31.746
基本的に可算無限個 つまり

0:04:31.746,0:04:33.537
１,２,３,４・・・というように

0:04:33.537,0:04:36.618
自然数で数え上げられることです

0:04:36.618,0:04:40.537
ゲオルク・カントールは このレベルの無限を[br]アレフゼロ(ℵ。)と命名しました

0:04:40.537,0:04:42.665
我々は部屋の番号や

0:04:42.665,0:04:44.787
バスの座席番号に[br]自然数を用いています

0:04:45.633,0:04:48.176
もし実数と言ったより高いレベルの

0:04:48.176,0:04:49.727
無限を扱おうとすると

0:04:49.727,0:04:51.097
これまでに論じた方法では

0:04:51.097,0:04:52.564
上手く対応できません

0:04:52.564,0:04:53.850
というのも 全ての数字を

0:04:53.850,0:04:56.570
系統立てて組み入れることが[br]できないからです

0:04:56.570,0:04:58.922
“ 実数無限ホテル ”には

0:04:58.922,0:05:00.929
地下の負数番号の部屋とか

0:05:00.929,0:05:02.388
分数番号の部屋があって

0:05:02.388,0:05:04.508
1/2号室の客は

0:05:04.508,0:05:07.205
１号室よりも狭いんじゃないかと[br]疑っています

0:05:07.205,0:05:10.332
ルート２といった 平方根の部屋や

0:05:10.332,0:05:11.462
πの部屋などでは

0:05:11.462,0:05:14.349
客が無料サービスの[br]デザートを期待しています

0:05:14.349,0:05:15.869
自尊心の高い夜勤のマネジャーは

0:05:15.869,0:05:17.172
無限の給料だからと言って

0:05:17.172,0:05:19.490
そこで働きたがるでしょうか？

0:05:19.490,0:05:20.797
しかし 常に空室が無く

0:05:20.797,0:05:22.261
いつも もっと部屋が用意できる

0:05:22.261,0:05:23.881
ヒルベルトの“ 無限ホテル ”で

0:05:23.881,0:05:26.950
とても勤勉で 過度とさえ言えるほどに[br]接客態度の良い

0:05:26.950,0:05:28.720
夜勤のマネジャーの話を聞くと

0:05:28.720,0:05:29.804
無限という概念を

0:05:29.804,0:05:31.150
理解することが

0:05:31.150,0:05:33.320
有限な知性しか持たない 我々にとって

0:05:33.320,0:05:37.092
いかに大変なことか[br]気づかされます

0:05:37.092,0:05:38.695
あなたが一晩グッスリ眠ると

0:05:38.695,0:05:40.427
よい解決案が 浮かぶかもしれません

0:05:40.427,0:05:42.300
でも 恐縮ですが

0:05:42.300,0:05:44.701
２時にお部屋の移動を[br]お願いするかもしれませんね