“ 無限ホテル ”のパラドックス - ジェフ・デコフスキー
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0:07 - 0:081920年代の事
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0:08 - 0:10ドイツ人の数学者ダフィット・ヒルベルトは
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0:10 - 0:12有名な思考実験を行いました
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0:12 - 0:14無限の概念を理解することが
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0:14 - 0:18いかに 難しいことか
示そうとしたのです -
0:18 - 0:22無限の数の部屋があるホテルを
想像してみましょう -
0:22 - 0:24そこには とてもよく働く
夜勤のマネジャーがいます -
0:24 - 0:28ある夜 無限ホテルは
完全に満室になったとします -
0:28 - 0:31無限の数の予約で
いっぱいになりました -
0:31 - 0:32ある男性がホテルに入ってきて
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0:32 - 0:34一部屋空いていないか
と尋ねました -
0:34 - 0:35それを断ることもせず
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0:35 - 0:38夜勤のマネジャーは
一部屋 空きを作ることにしました -
0:38 - 0:39どうやって?
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0:39 - 0:42簡単です 1号室の客に
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0:42 - 0:432号室に移ってもらい
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0:43 - 0:462号室の客には
3号室に移ってもらい -
0:46 - 0:47そんな感じです
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0:47 - 0:50n号室の客が
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0:50 - 0:52n+1号室に移るのです
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0:52 - 0:54無限の部屋があるので
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0:54 - 0:57それぞれの客に
新たな部屋が用意されるのです -
0:57 - 1:00すると1号室が新しい客の部屋になります
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1:00 - 1:01これを続けていけば
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1:01 - 1:04いくらでも 有限の数の
新しい客を お迎えできます -
1:04 - 1:05たとえば ツアーバスが
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1:05 - 1:0840人の客を連れてきて
部屋を探したとします -
1:08 - 1:10すでに部屋のある客たちが
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1:10 - 1:11n号室から
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1:11 - 1:14n+40号室に移ると
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1:14 - 1:17最初の40部屋が空きます
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1:17 - 1:19しかし 今度は無限に長いバスが
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1:19 - 1:22無限の数の客を連れてきて
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1:22 - 1:24泊まろうと
したらどうでしょう -
1:24 - 1:26無限でも数えられること
(可算無限)が鍵です -
1:26 - 1:28“無限バス”が無限の客を連れてきて
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1:28 - 1:31夜勤のマネジャーをちょっと困らせます
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1:31 - 1:32しかし彼は皆に部屋をあてがう
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1:32 - 1:33解決策を見出すのです
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1:33 - 1:351号室の部屋の客に
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1:35 - 1:362号室に移って欲しいと頼み
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1:36 - 1:392号室の客は
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1:39 - 1:404号室に移ってもらい
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1:40 - 1:423号室の客は
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1:42 - 1:436号室へ
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1:43 - 1:44そんな具合です
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1:44 - 1:47n号室の客が
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1:47 - 1:512n号室に移ると
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1:51 - 1:54無限にある偶数番号の部屋が
いっぱいになります -
1:54 - 1:56でも こうやることによって
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1:56 - 1:59無限の奇数の部屋が空き
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1:59 - 2:00“無限バス”で連れてこられた
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2:00 - 2:03全ての客に
部屋が割り当てられます -
2:03 - 2:05皆がハッピーになって
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2:05 - 2:07ホテルも前代未聞の商売繁盛です
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2:07 - 2:08でも 実のところ
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2:08 - 2:10いつもと全く変わらなく
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2:10 - 2:13一晩で 無限ドル稼ぐのです
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2:14 - 2:16このすごいホテルのうわさが
一気に広まり -
2:16 - 2:19人々が方々 遠方からも
なだれ込みます -
2:19 - 2:21ある夜
想像も出来ないようなことが起きます -
2:21 - 2:23夜勤のマネジャーが外を見てみると
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2:23 - 2:25無限に並んだ“ 無限大のバス ”が
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2:25 - 2:28列をなして 各々が
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2:28 - 2:30可算無限の客を
連れてきています -
2:30 - 2:31どうすれば良いでしょう?
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2:31 - 2:33部屋を準備できなければ
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2:33 - 2:34ホテルは無限の収益を
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2:34 - 2:36見逃すことになります
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2:36 - 2:38そして彼は職を
失うこと間違いありません -
2:38 - 2:39幸いにも彼は
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2:39 - 2:42紀元前300年頃に
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2:42 - 2:45ユークリッドが証明したこと—
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2:45 - 2:47素数が無限に存在することを
思い出すのです -
2:47 - 2:50無限の数のバスに乗った
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2:50 - 2:51疲れた無限の旅行者のために
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2:51 - 2:52無限のベッドを準備するという
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2:52 - 2:54一見不可能な問題を
解決するために -
2:54 - 2:57夜勤のマネジャーは宿泊中の客に
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2:57 - 2:59最初の素数である2を
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2:59 - 3:02部屋番号の数で累乗した
番号の部屋に移ってもらいます -
3:02 - 3:05たとえば7号室の客は
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3:05 - 3:082の7乗 つまり
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3:08 - 3:10128号室に移動します
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3:10 - 3:12次に夜勤のマネジャーは
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3:12 - 3:14最初の“ 無限バス ”の客を
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3:14 - 3:16このように案内します
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3:16 - 3:182の次の素数である3を
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3:18 - 3:22バスの座席番号の数で
累乗するのです -
3:22 - 3:25たとえば 座席番号7に
座っていた客なら -
3:25 - 3:283の7乗 つまり
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3:28 - 3:322,187号室に移ります
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3:32 - 3:341台目のバスは
このように やっていきます -
3:34 - 3:362台目のバスについては
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3:36 - 3:39その次の素数である5を
次々と累乗していきます -
3:39 - 3:42その次のバスは7の累乗
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3:42 - 3:43さらに続くバスは
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3:43 - 3:4411の累乗
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3:44 - 3:4513の累乗
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3:45 - 3:4717の累乗 という具合です
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3:47 - 3:48こうやってできた数字は
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3:48 - 3:511と素数の累乗しか
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3:51 - 3:53約数を持たないので
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3:53 - 3:55部屋が重なりません
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3:55 - 3:58全てのバスの客たちは
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3:58 - 4:01それぞれに割り当てられた
素数に基づいて -
4:01 - 4:04それぞれ異なった部屋へと
分かれていきます -
4:04 - 4:06このようにして
夜勤のマネジャーは -
4:06 - 4:08全てのバスの全ての客に
部屋を用意できるのです -
4:08 - 4:11でも 6号室のように空き部屋が
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4:11 - 4:12たくさん残ります
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4:12 - 4:156は素数の累乗ではないからです
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4:15 - 4:18幸いにも彼の上司は
数字に弱そうなので -
4:18 - 4:19仕事を追われることもありません
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4:19 - 4:22“無限ホテル”での様々な準備が
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4:22 - 4:24悪夢であることに
間違いありませんが -
4:24 - 4:26夜勤マネジャーが
こんなことができたのは -
4:26 - 4:30最も低いレベルの無限だからです
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4:30 - 4:32基本的に可算無限個 つまり
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4:32 - 4:341,2,3,4・・・というように
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4:34 - 4:37自然数で数え上げられることです
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4:37 - 4:41ゲオルク・カントールは このレベルの無限を
アレフゼロ(ℵ。)と命名しました -
4:41 - 4:43我々は部屋の番号や
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4:43 - 4:45バスの座席番号に
自然数を用いています -
4:46 - 4:48もし実数と言ったより高いレベルの
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4:48 - 4:50無限を扱おうとすると
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4:50 - 4:51これまでに論じた方法では
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4:51 - 4:53上手く対応できません
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4:53 - 4:54というのも 全ての数字を
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4:54 - 4:57系統立てて組み入れることが
できないからです -
4:57 - 4:59“ 実数無限ホテル ”には
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4:59 - 5:01地下の負数番号の部屋とか
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5:01 - 5:02分数番号の部屋があって
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5:02 - 5:051/2号室の客は
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5:05 - 5:071号室よりも狭いんじゃないかと
疑っています -
5:07 - 5:10ルート2といった 平方根の部屋や
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5:10 - 5:11πの部屋などでは
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5:11 - 5:14客が無料サービスの
デザートを期待しています -
5:14 - 5:16自尊心の高い夜勤のマネジャーは
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5:16 - 5:17無限の給料だからと言って
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5:17 - 5:19そこで働きたがるでしょうか?
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5:19 - 5:21しかし 常に空室が無く
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5:21 - 5:22いつも もっと部屋が用意できる
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5:22 - 5:24ヒルベルトの“ 無限ホテル ”で
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5:24 - 5:27とても勤勉で 過度とさえ言えるほどに
接客態度の良い -
5:27 - 5:29夜勤のマネジャーの話を聞くと
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5:29 - 5:30無限という概念を
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5:30 - 5:31理解することが
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5:31 - 5:33有限な知性しか持たない 我々にとって
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5:33 - 5:37いかに大変なことか
気づかされます -
5:37 - 5:39あなたが一晩グッスリ眠ると
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5:39 - 5:40よい解決案が 浮かぶかもしれません
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5:40 - 5:42でも 恐縮ですが
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5:42 - 5:452時にお部屋の移動を
お願いするかもしれませんね
- Title:
- “ 無限ホテル ”のパラドックス - ジェフ・デコフスキー
- Speaker:
- Jeff Dekofsky
- Description:
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ドイツ人の数学者ダフィット・ヒルベルトによる、思考実験で創造された“ 無限ホテル ”には、無限の数の部屋があります。簡単に解ける話?いいえ。満室のところに、もう一人お客が来たら、部屋を用意できますか? 40人なら? それともバスに乗って、無限の数の客が来たら? ジェフ・デコフスキーは、ヒルベルトのパラドックスの議論を用いて、全ての客に部屋を用意して見せます。
講師:ジェフ・デコフスキー
アニメーション:The Moving Companhy Animation Studio
※この教材のページ: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky - Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 06:00
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