< Return to Video

Paradox hotelu Nekonečno - Jeff Dekofsky

  • 0:06 - 0:10
    Ve 20. letech 20. století přišel
    německý matematik David Hilbert
  • 0:10 - 0:12
    se slavným myšlenkovým
    experimentem,
  • 0:12 - 0:15
    jímž dokládá, jak je náročné
  • 0:15 - 0:18
    úplně porozumět konceptu nekonečna.
  • 0:18 - 0:22
    Představte si hotel
    s nekonečným počtem pokojů
  • 0:22 - 0:24
    a velmi pracovitým recepčním.
  • 0:24 - 0:28
    Jednou se stane, že
    hotel "Nekonečno" je dočista plný,
  • 0:28 - 0:31
    kompletně obsazený
    nekonečným počtem hostů.
  • 0:31 - 0:34
    Do hotelu však vejde další člověk
    a žádá o pokoj.
  • 0:34 - 0:35
    Nežli by ho zklamal,
  • 0:35 - 0:38
    recepční se rozhodne najít
    pro něj volný pokoj.
  • 0:38 - 0:39
    Jak?
  • 0:39 - 0:40
    Jednoduše.
  • 0:40 - 0:42
    Požádá hosta v pokoji číslo 1,
  • 0:42 - 0:44
    aby se přesunul do pokoje 2;
  • 0:44 - 0:46
    hosta v pokoji 2,
    aby se přesunul do pokoje 3;
  • 0:46 - 0:47
    a tak dále.
  • 0:47 - 0:50
    Každý host se přesune z pokoje číslo "n"
  • 0:50 - 0:52
    do pokoje číslo "n+1".
  • 0:53 - 0:55
    Pokojů je nekonečno,
  • 0:55 - 0:57
    a tak se najde místo pro každého
    stávajícího hosta
  • 0:57 - 1:00
    a pokoj 1 se uvolní
    pro nového zákazníka.
  • 1:00 - 1:04
    Tentýž postup lze uplatnit na libovolný
    konečný počet nových hostů.
  • 1:04 - 1:08
    Když třeba přijede autobus se 40
    dalšími lidmi, kteří chtějí pokoj,
  • 1:08 - 1:10
    tak se každý stávající host přesune
  • 1:10 - 1:11
    z pokoje číslo "n"
  • 1:11 - 1:14
    do pokoje číslo "n+40",
  • 1:14 - 1:16
    čímž se uvolní prvních 40 pokojů.
  • 1:17 - 1:19
    Ale co když najednou přijíždí
  • 1:19 - 1:22
    nekonečně velký autobus
  • 1:22 - 1:24
    se spočetně nekonečným
    počtem pasažérů?
  • 1:24 - 1:26
    Klíčem je "spočetné nekonečno".
  • 1:26 - 1:29
    Nekonečný autobus
    s nekonečnem cestujících
  • 1:29 - 1:31
    zpočátku zamotá recepčnímu hlavu,
  • 1:31 - 1:33
    ale nakonec si poradí
    a každého ubytuje.
  • 1:33 - 1:36
    Požádá hosta v pokoji 1,
    aby se přesunul do pokoje 2.
  • 1:36 - 1:39
    Poté požádá hosta v pokoji 2,
  • 1:39 - 1:40
    aby se přesunul do pokoje 4;
  • 1:40 - 1:43
    hosta v pokoji 3 do pokoje 6;
  • 1:43 - 1:44
    a tak dále.
  • 1:44 - 1:47
    Každý stávající host se přesune
    z pokoje číslo "n"
  • 1:47 - 1:49
    do pokoje číslo "2n".
  • 1:51 - 1:54
    Zaplní se tak pouze sudé pokoje,
    i když jich bude nekonečno.
  • 1:54 - 1:59
    Tím se zároveň vyprázdní všechny
    liché pokoje, jichž je také nekonečno.
  • 1:59 - 2:03
    A tak je mohou zabrat lidi proudící
    z nekonečného autobusu.
  • 2:03 - 2:07
    Každý je spokojený
    a hotel vzkvétá jako nikdy.
  • 2:07 - 2:10
    No, vlastně vzkvétá úplně
    stejně jako vždycky,
  • 2:10 - 2:14
    protože vydělává nekonečno
    dolarů za noc.
  • 2:14 - 2:16
    Brzy se zpráva o tomto úžasném
    hotelu rozšíří
  • 2:16 - 2:19
    a lidé se hrnou ze všech koutů světa.
  • 2:19 - 2:21
    A pak se stane něco bláznivého.
  • 2:21 - 2:23
    Recepční se podívá ven
  • 2:23 - 2:28
    a vidí nekonečně dlouhou řadu
    nekonečně velkých autobusů.
  • 2:28 - 2:30
    V každém z nich sedí spočetné
    nekonečno pasažérů.
  • 2:30 - 2:31
    Co má dělat?
  • 2:31 - 2:34
    Pokud pro ně nedokáže
    najít pokoje, hotel přijde
  • 2:34 - 2:36
    o nekonečně mnoho peněz
  • 2:36 - 2:38
    a on určitě přijde o práci.
  • 2:38 - 2:42
    Naštěstí si vzpomene,
    že okolo roku 300 př. n. l.
  • 2:42 - 2:47
    Eukleidés dokázal, že existuje
    nekonečně mnoho prvočísel.
  • 2:47 - 2:50
    Takže aby zvládl zdánlivě
    nemožný úkol
  • 2:50 - 2:52
    a nalezl nekonečno postelí
    pro nekonečno autobusů
  • 2:52 - 2:54
    s nekonečnem
    unavených cestujících,
  • 2:54 - 2:57
    přidělí recepční všem
    stávajícím hostům pokoje tak,
  • 2:57 - 2:59
    že vezme první prvočíslo, 2,
  • 2:59 - 3:02
    a umocní ho číslem současného pokoje.
  • 3:02 - 3:05
    Takže současný majitel
    pokoje číslo 7
  • 3:05 - 3:08
    se přestěhuje do pokoje
    číslo "2 na sedmou",
  • 3:08 - 3:09
    což odpovídá pokoji 128.
  • 3:10 - 3:14
    Recepční pak vezme všechny lidi
    z prvního nekonečného autobusu
  • 3:14 - 3:16
    a přiřadí jim pokojová čísla tak,
  • 3:16 - 3:18
    že vezme další prvočíslo, 3,
  • 3:18 - 3:22
    a umocní ho číslem sedadla
    každého pasažéra v autobuse.
  • 3:22 - 3:25
    Osoba se sedadlem číslo 7
    v prvním autobuse
  • 3:25 - 3:28
    tudíž půjde do pokoje
    číslo "3 na sedmou",
  • 3:28 - 3:32
    neboli do pokoje číslo 2187.
  • 3:32 - 3:34
    A tak se pokračuje s celým autobusem.
  • 3:34 - 3:36
    Cestující ve druhém autobuse
  • 3:36 - 3:39
    mají přiděleny mocniny
    dalšího prvočísla, 5.
  • 3:40 - 3:42
    Následující autobus
    má mocniny 7.
  • 3:42 - 3:43
    Další autobusy pak:
  • 3:43 - 3:45
    mocniny 11, mocniny 13,
  • 3:45 - 3:47
    mocniny 17, atd.
  • 3:47 - 3:49
    Obdržená čísla lze dělit jen jedničkou
  • 3:50 - 3:53
    a prvočíslem, jehož mocninou vznikly,
  • 3:53 - 3:56
    a tak se čísla pokojů nemohou překrývat.
  • 3:56 - 3:58
    Všichni autobusoví cestující
    se rozptýlí do pokojů
  • 3:58 - 4:01
    díky jedinečnému
    systému přidělování pokojů,
  • 4:01 - 4:03
    který je založen
    na jedinečnosti prvočísel.
  • 4:04 - 4:06
    Tímto způsobem dokáže
    recepční ubytovat
  • 4:06 - 4:08
    všechny cestující ze všech autobusů.
  • 4:08 - 4:11
    Spousta pokojů ovšem
    zbude prázdných,
  • 4:11 - 4:12
    například pokoj 6,
  • 4:12 - 4:15
    neboť 6 není mocninou
    žádného prvočísla.
  • 4:15 - 4:18
    Naštěstí vedoucím hotelu
    matematika moc nejde,
  • 4:18 - 4:19
    a tak se recepční nemusí
    bát vyhazovu.
  • 4:20 - 4:22
    Uvedené strategie lze použít
  • 4:22 - 4:26
    jen proto, že i když je hotel Nekonečno
    logistickou noční můrou,
  • 4:26 - 4:30
    má co do činění jen s nejnižším
    řádem nekonečna,
  • 4:30 - 4:34
    totiž se spočetným
    nekonečnem přirozených čísel,
  • 4:34 - 4:37
    jako jsou 1, 2, 3, 4 atd.
  • 4:37 - 4:41
    Georg Cantor nazval tuto úroveň
    nekonečna "alef nula".
  • 4:41 - 4:43
    Čísla, která označují pokoje
  • 4:43 - 4:46
    či sedadla v autobusech,
    jsou přirozená.
  • 4:46 - 4:48
    Kdybychom se však zabývali
    vyššími úrovněmi nekonečna,
  • 4:48 - 4:50
    například reálnými čísly,
  • 4:50 - 4:53
    tyto strukturované strategie
    by se nedaly použít,
  • 4:53 - 4:56
    jelikož všechna čísla nelze
    systematicky pojmout.
  • 4:57 - 4:59
    Nekonečný hotel reálných čísel
  • 4:59 - 5:01
    má v suterénu záporná čísla pokojů.
  • 5:01 - 5:02
    Má také zlomkové pokoje,
  • 5:02 - 5:07
    takže se chlápek v pokoji 1/2 cítí oproti
    chlápkovi z pokoje 1 dost stísněně.
  • 5:07 - 5:10
    Jsou tu pokoje druhé odmocniny,
    například pokoj √2,
  • 5:10 - 5:11
    a pokoj pí,
  • 5:11 - 5:14
    kde hosti očekávají zákusek zdarma.
  • 5:14 - 5:17
    Který recepční s trochou sebeúcty
    by tam chtěl pracovat,
  • 5:17 - 5:19
    i kdyby měl nekonečnou výplatu?
  • 5:19 - 5:21
    Ale v Hilbertově nekonečném hotelu,
  • 5:21 - 5:22
    kde není nikdy prázdno
  • 5:23 - 5:24
    a vždy se najde místo pro další,
  • 5:24 - 5:29
    čelí náš pracovitý a možná příliš
    pohostinný recepční problémům,
  • 5:29 - 5:31
    které nám připomínají,
    jak těžké je,
  • 5:32 - 5:34
    aby naše relativně konečná mysl
  • 5:34 - 5:37
    pochopila tak ohromný pojem,
    jako je nekonečno.
  • 5:37 - 5:40
    Třeba nám s tím pomůžete,
    když se u nás dobře prospíte.
  • 5:40 - 5:46
    Možná se ale ve dvě ráno budete
    muset přesunout do jiného pokoje.
Title:
Paradox hotelu Nekonečno - Jeff Dekofsky
Speaker:
Jeff Dekofsky
Description:

The Infinite Hotel, a thought experiment created by German mathematician David Hilbert, is a hotel with an infinite number of rooms. Easy to comprehend, right? Wrong. What if it's completely booked but one person wants to check in? What about 40? Or an infinitely full bus of people? Jeff Dekofsky solves these heady lodging issues using Hilbert's paradox.

"Hotel Nekonečno" je myšlenkový experiment německého matematika Davida Hilberta. Jde o pomyslný hotel s nekonečným počtem pokojů. Na tom přece není nic složitého, říkáte si. Chyba. Co když jsou všechny pokoje v takovém hotelu obsazené, a do toho se objeví osoba, která se chce ubytovat? A co když jich je čtyřicet? Nebo dorazí autobus, ve kterém se tísní nekonečno zájemců o ubytování? Jeff Dekofsky tyto těžkotonážní oříšky rozlouskává za pomoci Hilbertova paradoxu.

Přednášku připravil Jeff Dekofsky, animaci "The Moving Company Animation Studio".
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
06:00
Dimitra Papageorgiou approved Czech subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Honza Prokes accepted Czech subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Honza Prokes edited Czech subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Honza Prokes edited Czech subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Honza Prokes edited Czech subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Honza Prokes edited Czech subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Honza Prokes edited Czech subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Honza Prokes edited Czech subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Show all

Czech subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.