WEBVTT

00:00:06.333 --> 00:00:10.165
Ve 20. letech 20. století přišel
německý matematik David Hilbert

00:00:10.201 --> 00:00:12.437
se slavným myšlenkovým
experimentem,

00:00:12.461 --> 00:00:14.681
jímž dokládá, jak je náročné

00:00:14.745 --> 00:00:17.665
úplně porozumět konceptu nekonečna.

00:00:18.289 --> 00:00:21.679
Představte si hotel 
s nekonečným počtem pokojů

00:00:21.759 --> 00:00:24.128
a velmi pracovitým recepčním.

00:00:24.438 --> 00:00:27.593
Jednou se stane, že
hotel "Nekonečno" je dočista plný,

00:00:27.677 --> 00:00:31.003
kompletně obsazený
nekonečným počtem hostů.

00:00:31.147 --> 00:00:34.161
Do hotelu však vejde další člověk
a žádá o pokoj.

00:00:34.185 --> 00:00:35.444
Nežli by ho zklamal,

00:00:35.468 --> 00:00:37.907
recepční se rozhodne najít
pro něj volný pokoj.

00:00:37.931 --> 00:00:38.761
Jak?

00:00:38.811 --> 00:00:39.771
Jednoduše.

00:00:39.811 --> 00:00:41.789
Požádá hosta v pokoji číslo 1,

00:00:41.839 --> 00:00:43.801
aby se přesunul do pokoje 2;

00:00:43.835 --> 00:00:46.056
hosta v pokoji 2, 
aby se přesunul do pokoje 3;

00:00:46.080 --> 00:00:47.268
a tak dále.

00:00:47.449 --> 00:00:49.948
Každý host se přesune z pokoje číslo "n"

00:00:50.002 --> 00:00:52.179
do pokoje číslo "n+1".

00:00:52.621 --> 00:00:54.592
Pokojů je nekonečno,

00:00:54.636 --> 00:00:57.319
a tak se najde místo pro každého
stávajícího hosta

00:00:57.383 --> 00:00:59.744
a pokoj 1 se uvolní
pro nového zákazníka.

00:00:59.784 --> 00:01:03.720
Tentýž postup lze uplatnit na libovolný
konečný počet nových hostů.

00:01:03.800 --> 00:01:07.529
Když třeba přijede autobus se 40
dalšími lidmi, kteří chtějí pokoj,

00:01:07.553 --> 00:01:09.642
tak se každý stávající host přesune

00:01:09.666 --> 00:01:10.980
z pokoje číslo "n"

00:01:11.004 --> 00:01:13.578
do pokoje číslo "n+40",

00:01:13.662 --> 00:01:16.320
čímž se uvolní prvních 40 pokojů.

00:01:17.157 --> 00:01:19.351
Ale co když najednou přijíždí

00:01:19.455 --> 00:01:21.744
nekonečně velký autobus

00:01:21.818 --> 00:01:23.853
se spočetně nekonečným
počtem pasažérů?

00:01:23.947 --> 00:01:26.046
Klíčem je "spočetné nekonečno".

00:01:26.166 --> 00:01:28.530
Nekonečný autobus
s nekonečnem cestujících

00:01:28.554 --> 00:01:30.652
zpočátku zamotá recepčnímu hlavu,

00:01:30.692 --> 00:01:33.372
ale nakonec si poradí
a každého ubytuje.

00:01:33.433 --> 00:01:36.391
Požádá hosta v pokoji 1, 
aby se přesunul do pokoje 2.

00:01:36.415 --> 00:01:38.527
Poté požádá hosta v pokoji 2,

00:01:38.551 --> 00:01:40.435
aby se přesunul do pokoje 4;

00:01:40.459 --> 00:01:42.809
hosta v pokoji 3 do pokoje 6;

00:01:42.833 --> 00:01:44.105
a tak dále.

00:01:44.129 --> 00:01:47.313
Každý stávající host se přesune
z pokoje číslo "n"

00:01:47.337 --> 00:01:49.029
do pokoje číslo "2n".

00:01:50.567 --> 00:01:54.270
Zaplní se tak pouze sudé pokoje,
i když jich bude nekonečno.

00:01:54.380 --> 00:01:58.708
Tím se zároveň vyprázdní všechny
liché pokoje, jichž je také nekonečno.

00:01:58.891 --> 00:02:02.696
A tak je mohou zabrat lidi proudící
z nekonečného autobusu.

00:02:03.242 --> 00:02:06.825
Každý je spokojený
a hotel vzkvétá jako nikdy.

00:02:06.899 --> 00:02:10.419
No, vlastně vzkvétá úplně
stejně jako vždycky,

00:02:10.440 --> 00:02:13.523
protože vydělává nekonečno
dolarů za noc.

00:02:14.076 --> 00:02:16.355
Brzy se zpráva o tomto úžasném
hotelu rozšíří

00:02:16.379 --> 00:02:18.544
a lidé se hrnou ze všech koutů světa.

00:02:18.568 --> 00:02:20.842
A pak se stane něco bláznivého.

00:02:20.866 --> 00:02:23.407
Recepční se podívá ven

00:02:23.431 --> 00:02:27.517
a vidí nekonečně dlouhou řadu
nekonečně velkých autobusů.

00:02:27.541 --> 00:02:30.329
V každém z nich sedí spočetné
nekonečno pasažérů.

00:02:30.353 --> 00:02:31.386
Co má dělat?

00:02:31.410 --> 00:02:34.207
Pokud pro ně nedokáže 
najít pokoje, hotel přijde

00:02:34.231 --> 00:02:35.958
o nekonečně mnoho peněz

00:02:35.982 --> 00:02:37.955
a on určitě přijde o práci.

00:02:37.979 --> 00:02:41.790
Naštěstí si vzpomene, 
že okolo roku 300 př. n. l.

00:02:41.814 --> 00:02:46.806
Eukleidés dokázal, že existuje
nekonečně mnoho prvočísel.

00:02:47.372 --> 00:02:49.730
Takže aby zvládl zdánlivě 
nemožný úkol

00:02:49.730 --> 00:02:52.285
a nalezl nekonečno postelí
pro nekonečno autobusů

00:02:52.309 --> 00:02:54.291
s nekonečnem
unavených cestujících,

00:02:54.315 --> 00:02:57.182
přidělí recepční všem
stávajícím hostům pokoje tak,

00:02:57.206 --> 00:02:59.042
že vezme první prvočíslo, 2,

00:02:59.066 --> 00:03:01.867
a umocní ho číslem současného pokoje.

00:03:01.891 --> 00:03:04.535
Takže současný majitel 
pokoje číslo 7

00:03:04.559 --> 00:03:07.541
se přestěhuje do pokoje 
číslo "2 na sedmou",

00:03:07.565 --> 00:03:09.261
což odpovídá pokoji 128.

00:03:10.236 --> 00:03:13.877
Recepční pak vezme všechny lidi
z prvního nekonečného autobusu

00:03:13.957 --> 00:03:15.976
a přiřadí jim pokojová čísla tak,

00:03:16.026 --> 00:03:18.291
že vezme další prvočíslo, 3,

00:03:18.315 --> 00:03:22.218
a umocní ho číslem sedadla
každého pasažéra v autobuse.

00:03:22.332 --> 00:03:25.419
Osoba se sedadlem číslo 7
v prvním autobuse

00:03:25.453 --> 00:03:28.360
tudíž půjde do pokoje
číslo "3 na sedmou",

00:03:28.384 --> 00:03:31.610
neboli do pokoje číslo 2187.

00:03:31.634 --> 00:03:34.069
A tak se pokračuje s celým autobusem.

00:03:34.093 --> 00:03:35.931
Cestující ve druhém autobuse

00:03:35.975 --> 00:03:39.410
mají přiděleny mocniny
dalšího prvočísla, 5.

00:03:39.804 --> 00:03:41.603
Následující autobus 
má mocniny 7.

00:03:41.647 --> 00:03:42.921
Další autobusy pak:

00:03:42.945 --> 00:03:44.746
mocniny 11, mocniny 13,

00:03:44.770 --> 00:03:46.799
mocniny 17, atd.

00:03:47.110 --> 00:03:49.470
Obdržená čísla lze dělit jen jedničkou

00:03:49.540 --> 00:03:53.138
a prvočíslem, jehož mocninou vznikly,

00:03:53.237 --> 00:03:55.656
a tak se čísla pokojů nemohou překrývat.

00:03:55.670 --> 00:03:58.339
Všichni autobusoví cestující
se rozptýlí do pokojů

00:03:58.353 --> 00:04:01.066
díky jedinečnému
systému přidělování pokojů,

00:04:01.106 --> 00:04:03.486
který je založen 
na jedinečnosti prvočísel.

00:04:03.510 --> 00:04:05.701
Tímto způsobem dokáže
recepční ubytovat

00:04:05.725 --> 00:04:07.966
všechny cestující ze všech autobusů.

00:04:08.050 --> 00:04:11.064
Spousta pokojů ovšem
zbude prázdných,

00:04:11.088 --> 00:04:12.356
například pokoj 6,

00:04:12.380 --> 00:04:15.095
neboť 6 není mocninou 
žádného prvočísla.

00:04:15.119 --> 00:04:17.512
Naštěstí vedoucím hotelu
matematika moc nejde,

00:04:17.536 --> 00:04:19.475
a tak se recepční nemusí
bát vyhazovu.

00:04:19.507 --> 00:04:22.007
Uvedené strategie lze použít

00:04:22.031 --> 00:04:26.438
jen proto, že i když je hotel Nekonečno
logistickou noční můrou,

00:04:26.478 --> 00:04:29.957
má co do činění jen s nejnižším
řádem nekonečna,

00:04:29.981 --> 00:04:33.513
totiž se spočetným 
nekonečnem přirozených čísel,

00:04:33.537 --> 00:04:36.594
jako jsou 1, 2, 3, 4 atd.

00:04:36.618 --> 00:04:40.513
Georg Cantor nazval tuto úroveň 
nekonečna "alef nula".

00:04:40.765 --> 00:04:43.042
Čísla, která označují pokoje

00:04:43.066 --> 00:04:45.518
či sedadla v autobusech,
jsou přirozená.

00:04:45.773 --> 00:04:48.292
Kdybychom se však zabývali
vyššími úrovněmi nekonečna,

00:04:48.352 --> 00:04:49.848
například reálnými čísly,

00:04:49.872 --> 00:04:52.844
tyto strukturované strategie
by se nedaly použít,

00:04:52.868 --> 00:04:56.465
jelikož všechna čísla nelze
systematicky pojmout.

00:04:57.002 --> 00:04:58.803
Nekonečný hotel reálných čísel

00:04:58.827 --> 00:05:00.905
má v suterénu záporná čísla pokojů.

00:05:00.929 --> 00:05:02.364
Má také zlomkové pokoje,

00:05:02.388 --> 00:05:07.094
takže se chlápek v pokoji 1/2 cítí oproti
chlápkovi z pokoje 1 dost stísněně.

00:05:07.205 --> 00:05:10.308
Jsou tu pokoje druhé odmocniny, 
například pokoj √2,

00:05:10.332 --> 00:05:11.438
a pokoj pí,

00:05:11.462 --> 00:05:14.325
kde hosti očekávají zákusek zdarma.

00:05:14.349 --> 00:05:17.374
Který recepční s trochou sebeúcty
by tam chtěl pracovat,

00:05:17.398 --> 00:05:19.101
i kdyby měl nekonečnou výplatu?

00:05:19.173 --> 00:05:20.918
Ale v Hilbertově nekonečném hotelu,

00:05:20.942 --> 00:05:22.462
kde není nikdy prázdno

00:05:22.513 --> 00:05:24.004
a vždy se najde místo pro další,

00:05:24.028 --> 00:05:28.680
čelí náš pracovitý a možná příliš
pohostinný recepční problémům,

00:05:28.784 --> 00:05:31.490
které nám připomínají,
jak těžké je,

00:05:31.514 --> 00:05:33.805
aby naše relativně konečná mysl

00:05:33.859 --> 00:05:36.767
pochopila tak ohromný pojem,
jako je nekonečno.

00:05:37.022 --> 00:05:40.333
Třeba nám s tím pomůžete,
když se u nás dobře prospíte.

00:05:40.382 --> 00:05:45.512
Možná se ale ve dvě ráno budete
muset přesunout do jiného pokoje.