Ve 20. letech 20. století přišel německý matematik David Hilbert
se slavným myšlenkovým experimentem,
jímž dokládá, jak je náročné
úplně porozumět konceptu nekonečna.
Představte si hotel s nekonečným počtem pokojů
a velmi pracovitým recepčním.
Jednou se stane, že hotel "Nekonečno" je dočista plný,
kompletně obsazený nekonečným počtem hostů.
Do hotelu však vejde další člověk a žádá o pokoj.
Nežli by ho zklamal,
recepční se rozhodne najít pro něj volný pokoj.
Jak?
Jednoduše.
Požádá hosta v pokoji číslo 1,
aby se přesunul do pokoje 2;
hosta v pokoji 2, aby se přesunul do pokoje 3;
a tak dále.
Každý host se přesune z pokoje číslo "n"
do pokoje číslo "n+1".
Pokojů je nekonečno,
a tak se najde místo pro každého stávajícího hosta
a pokoj 1 se uvolní pro nového zákazníka.
Tentýž postup lze uplatnit na libovolný konečný počet nových hostů.
Když třeba přijede autobus se 40 dalšími lidmi, kteří chtějí pokoj,
tak se každý stávající host přesune
z pokoje číslo "n"
do pokoje číslo "n+40",
čímž se uvolní prvních 40 pokojů.
Ale co když najednou přijíždí
nekonečně velký autobus
se spočetně nekonečným počtem pasažérů?
Klíčem je "spočetné nekonečno".
Nekonečný autobus s nekonečnem cestujících
zpočátku zamotá recepčnímu hlavu,
ale nakonec si poradí a každého ubytuje.
Požádá hosta v pokoji 1, aby se přesunul do pokoje 2.
Poté požádá hosta v pokoji 2,
aby se přesunul do pokoje 4;
hosta v pokoji 3 do pokoje 6;
a tak dále.
Každý stávající host se přesune z pokoje číslo "n"
do pokoje číslo "2n".
Zaplní se tak pouze sudé pokoje, i když jich bude nekonečno.
Tím se zároveň vyprázdní všechny liché pokoje, jichž je také nekonečno.
A tak je mohou zabrat lidi proudící z nekonečného autobusu.
Každý je spokojený a hotel vzkvétá jako nikdy.
No, vlastně vzkvétá úplně stejně jako vždycky,
protože vydělává nekonečno dolarů za noc.
Brzy se zpráva o tomto úžasném hotelu rozšíří
a lidé se hrnou ze všech koutů světa.
A pak se stane něco bláznivého.
Recepční se podívá ven
a vidí nekonečně dlouhou řadu nekonečně velkých autobusů.
V každém z nich sedí spočetné nekonečno pasažérů.
Co má dělat?
Pokud pro ně nedokáže najít pokoje, hotel přijde
o nekonečně mnoho peněz
a on určitě přijde o práci.
Naštěstí si vzpomene, že okolo roku 300 př. n. l.
Eukleidés dokázal, že existuje nekonečně mnoho prvočísel.
Takže aby zvládl zdánlivě nemožný úkol
a nalezl nekonečno postelí pro nekonečno autobusů
s nekonečnem unavených cestujících,
přidělí recepční všem stávajícím hostům pokoje tak,
že vezme první prvočíslo, 2,
a umocní ho číslem současného pokoje.
Takže současný majitel pokoje číslo 7
se přestěhuje do pokoje číslo "2 na sedmou",
což odpovídá pokoji 128.
Recepční pak vezme všechny lidi z prvního nekonečného autobusu
a přiřadí jim pokojová čísla tak,
že vezme další prvočíslo, 3,
a umocní ho číslem sedadla každého pasažéra v autobuse.
Osoba se sedadlem číslo 7 v prvním autobuse
tudíž půjde do pokoje číslo "3 na sedmou",
neboli do pokoje číslo 2187.
A tak se pokračuje s celým autobusem.
Cestující ve druhém autobuse
mají přiděleny mocniny dalšího prvočísla, 5.
Následující autobus má mocniny 7.
Další autobusy pak:
mocniny 11, mocniny 13,
mocniny 17, atd.
Obdržená čísla lze dělit jen jedničkou
a prvočíslem, jehož mocninou vznikly,
a tak se čísla pokojů nemohou překrývat.
Všichni autobusoví cestující se rozptýlí do pokojů
díky jedinečnému systému přidělování pokojů,
který je založen na jedinečnosti prvočísel.
Tímto způsobem dokáže recepční ubytovat
všechny cestující ze všech autobusů.
Spousta pokojů ovšem zbude prázdných,
například pokoj 6,
neboť 6 není mocninou žádného prvočísla.
Naštěstí vedoucím hotelu matematika moc nejde,
a tak se recepční nemusí bát vyhazovu.
Uvedené strategie lze použít
jen proto, že i když je hotel Nekonečno logistickou noční můrou,
má co do činění jen s nejnižším řádem nekonečna,
totiž se spočetným nekonečnem přirozených čísel,
jako jsou 1, 2, 3, 4 atd.
Georg Cantor nazval tuto úroveň nekonečna "alef nula".
Čísla, která označují pokoje
či sedadla v autobusech, jsou přirozená.
Kdybychom se však zabývali vyššími úrovněmi nekonečna,
například reálnými čísly,
tyto strukturované strategie by se nedaly použít,
jelikož všechna čísla nelze systematicky pojmout.
Nekonečný hotel reálných čísel
má v suterénu záporná čísla pokojů.
Má také zlomkové pokoje,
takže se chlápek v pokoji 1/2 cítí oproti chlápkovi z pokoje 1 dost stísněně.
Jsou tu pokoje druhé odmocniny, například pokoj √2,
a pokoj pí,
kde hosti očekávají zákusek zdarma.
Který recepční s trochou sebeúcty by tam chtěl pracovat,
i kdyby měl nekonečnou výplatu?
Ale v Hilbertově nekonečném hotelu,
kde není nikdy prázdno
a vždy se najde místo pro další,
čelí náš pracovitý a možná příliš pohostinný recepční problémům,
které nám připomínají, jak těžké je,
aby naše relativně konečná mysl
pochopila tak ohromný pojem, jako je nekonečno.
Třeba nám s tím pomůžete, když se u nás dobře prospíte.
Možná se ale ve dvě ráno budete muset přesunout do jiného pokoje.