Ve 20. letech 20. století přišel
německý matematik David Hilbert
se slavným myšlenkovým
experimentem,
jímž dokládá, jak je náročné
úplně porozumět konceptu nekonečna.
Představte si hotel
s nekonečným počtem pokojů
a velmi pracovitým recepčním.
Jednou se stane, že
hotel "Nekonečno" je dočista plný,
kompletně obsazený
nekonečným počtem hostů.
Do hotelu však vejde další člověk
a žádá o pokoj.
Nežli by ho zklamal,
recepční se rozhodne najít
pro něj volný pokoj.
Jak?
Jednoduše.
Požádá hosta v pokoji číslo 1,
aby se přesunul do pokoje 2;
hosta v pokoji 2,
aby se přesunul do pokoje 3;
a tak dále.
Každý host se přesune z pokoje číslo "n"
do pokoje číslo "n+1".
Pokojů je nekonečno,
a tak se najde místo pro každého
stávajícího hosta
a pokoj 1 se uvolní
pro nového zákazníka.
Tentýž postup lze uplatnit na libovolný
konečný počet nových hostů.
Když třeba přijede autobus se 40
dalšími lidmi, kteří chtějí pokoj,
tak se každý stávající host přesune
z pokoje číslo "n"
do pokoje číslo "n+40",
čímž se uvolní prvních 40 pokojů.
Ale co když najednou přijíždí
nekonečně velký autobus
se spočetně nekonečným
počtem pasažérů?
Klíčem je "spočetné nekonečno".
Nekonečný autobus
s nekonečnem cestujících
zpočátku zamotá recepčnímu hlavu,
ale nakonec si poradí
a každého ubytuje.
Požádá hosta v pokoji 1,
aby se přesunul do pokoje 2.
Poté požádá hosta v pokoji 2,
aby se přesunul do pokoje 4;
hosta v pokoji 3 do pokoje 6;
a tak dále.
Každý stávající host se přesune
z pokoje číslo "n"
do pokoje číslo "2n".
Zaplní se tak pouze sudé pokoje,
i když jich bude nekonečno.
Tím se zároveň vyprázdní všechny
liché pokoje, jichž je také nekonečno.
A tak je mohou zabrat lidi proudící
z nekonečného autobusu.
Každý je spokojený
a hotel vzkvétá jako nikdy.
No, vlastně vzkvétá úplně
stejně jako vždycky,
protože vydělává nekonečno
dolarů za noc.
Brzy se zpráva o tomto úžasném
hotelu rozšíří
a lidé se hrnou ze všech koutů světa.
A pak se stane něco bláznivého.
Recepční se podívá ven
a vidí nekonečně dlouhou řadu
nekonečně velkých autobusů.
V každém z nich sedí spočetné
nekonečno pasažérů.
Co má dělat?
Pokud pro ně nedokáže
najít pokoje, hotel přijde
o nekonečně mnoho peněz
a on určitě přijde o práci.
Naštěstí si vzpomene,
že okolo roku 300 př. n. l.
Eukleidés dokázal, že existuje
nekonečně mnoho prvočísel.
Takže aby zvládl zdánlivě
nemožný úkol
a nalezl nekonečno postelí
pro nekonečno autobusů
s nekonečnem
unavených cestujících,
přidělí recepční všem
stávajícím hostům pokoje tak,
že vezme první prvočíslo, 2,
a umocní ho číslem současného pokoje.
Takže současný majitel
pokoje číslo 7
se přestěhuje do pokoje
číslo "2 na sedmou",
což odpovídá pokoji 128.
Recepční pak vezme všechny lidi
z prvního nekonečného autobusu
a přiřadí jim pokojová čísla tak,
že vezme další prvočíslo, 3,
a umocní ho číslem sedadla
každého pasažéra v autobuse.
Osoba se sedadlem číslo 7
v prvním autobuse
tudíž půjde do pokoje
číslo "3 na sedmou",
neboli do pokoje číslo 2187.
A tak se pokračuje s celým autobusem.
Cestující ve druhém autobuse
mají přiděleny mocniny
dalšího prvočísla, 5.
Následující autobus
má mocniny 7.
Další autobusy pak:
mocniny 11, mocniny 13,
mocniny 17, atd.
Obdržená čísla lze dělit jen jedničkou
a prvočíslem, jehož mocninou vznikly,
a tak se čísla pokojů nemohou překrývat.
Všichni autobusoví cestující
se rozptýlí do pokojů
díky jedinečnému
systému přidělování pokojů,
který je založen
na jedinečnosti prvočísel.
Tímto způsobem dokáže
recepční ubytovat
všechny cestující ze všech autobusů.
Spousta pokojů ovšem
zbude prázdných,
například pokoj 6,
neboť 6 není mocninou
žádného prvočísla.
Naštěstí vedoucím hotelu
matematika moc nejde,
a tak se recepční nemusí
bát vyhazovu.
Uvedené strategie lze použít
jen proto, že i když je hotel Nekonečno
logistickou noční můrou,
má co do činění jen s nejnižším
řádem nekonečna,
totiž se spočetným
nekonečnem přirozených čísel,
jako jsou 1, 2, 3, 4 atd.
Georg Cantor nazval tuto úroveň
nekonečna "alef nula".
Čísla, která označují pokoje
či sedadla v autobusech,
jsou přirozená.
Kdybychom se však zabývali
vyššími úrovněmi nekonečna,
například reálnými čísly,
tyto strukturované strategie
by se nedaly použít,
jelikož všechna čísla nelze
systematicky pojmout.
Nekonečný hotel reálných čísel
má v suterénu záporná čísla pokojů.
Má také zlomkové pokoje,
takže se chlápek v pokoji 1/2 cítí oproti
chlápkovi z pokoje 1 dost stísněně.
Jsou tu pokoje druhé odmocniny,
například pokoj √2,
a pokoj pí,
kde hosti očekávají zákusek zdarma.
Který recepční s trochou sebeúcty
by tam chtěl pracovat,
i kdyby měl nekonečnou výplatu?
Ale v Hilbertově nekonečném hotelu,
kde není nikdy prázdno
a vždy se najde místo pro další,
čelí náš pracovitý a možná příliš
pohostinný recepční problémům,
které nám připomínají,
jak těžké je,
aby naše relativně konečná mysl
pochopila tak ohromný pojem,
jako je nekonečno.
Třeba nám s tím pomůžete,
když se u nás dobře prospíte.
Možná se ale ve dvě ráno budete
muset přesunout do jiného pokoje.