1
00:00:06,333 --> 00:00:10,165
Ve 20. letech 20. století přišel
německý matematik David Hilbert

2
00:00:10,201 --> 00:00:12,437
se slavným myšlenkovým
experimentem,

3
00:00:12,461 --> 00:00:14,681
jímž dokládá, jak je náročné

4
00:00:14,745 --> 00:00:17,665
úplně porozumět konceptu nekonečna.

5
00:00:18,289 --> 00:00:21,679
Představte si hotel 
s nekonečným počtem pokojů

6
00:00:21,759 --> 00:00:24,128
a velmi pracovitým recepčním.

7
00:00:24,438 --> 00:00:27,593
Jednou se stane, že
hotel "Nekonečno" je dočista plný,

8
00:00:27,677 --> 00:00:31,003
kompletně obsazený
nekonečným počtem hostů.

9
00:00:31,147 --> 00:00:34,161
Do hotelu však vejde další člověk
a žádá o pokoj.

10
00:00:34,185 --> 00:00:35,444
Nežli by ho zklamal,

11
00:00:35,468 --> 00:00:37,907
recepční se rozhodne najít
pro něj volný pokoj.

12
00:00:37,931 --> 00:00:38,761
Jak?

13
00:00:38,811 --> 00:00:39,771
Jednoduše.

14
00:00:39,811 --> 00:00:41,789
Požádá hosta v pokoji číslo 1,

15
00:00:41,839 --> 00:00:43,801
aby se přesunul do pokoje 2;

16
00:00:43,835 --> 00:00:46,056
hosta v pokoji 2, 
aby se přesunul do pokoje 3;

17
00:00:46,080 --> 00:00:47,268
a tak dále.

18
00:00:47,449 --> 00:00:49,948
Každý host se přesune z pokoje číslo "n"

19
00:00:50,002 --> 00:00:52,179
do pokoje číslo "n+1".

20
00:00:52,621 --> 00:00:54,592
Pokojů je nekonečno,

21
00:00:54,636 --> 00:00:57,319
a tak se najde místo pro každého
stávajícího hosta

22
00:00:57,383 --> 00:00:59,744
a pokoj 1 se uvolní
pro nového zákazníka.

23
00:00:59,784 --> 00:01:03,720
Tentýž postup lze uplatnit na libovolný
konečný počet nových hostů.

24
00:01:03,800 --> 00:01:07,529
Když třeba přijede autobus se 40
dalšími lidmi, kteří chtějí pokoj,

25
00:01:07,553 --> 00:01:09,642
tak se každý stávající host přesune

26
00:01:09,666 --> 00:01:10,980
z pokoje číslo "n"

27
00:01:11,004 --> 00:01:13,578
do pokoje číslo "n+40",

28
00:01:13,662 --> 00:01:16,320
čímž se uvolní prvních 40 pokojů.

29
00:01:17,157 --> 00:01:19,351
Ale co když najednou přijíždí

30
00:01:19,455 --> 00:01:21,744
nekonečně velký autobus

31
00:01:21,818 --> 00:01:23,853
se spočetně nekonečným
počtem pasažérů?

32
00:01:23,947 --> 00:01:26,046
Klíčem je "spočetné nekonečno".

33
00:01:26,166 --> 00:01:28,530
Nekonečný autobus
s nekonečnem cestujících

34
00:01:28,554 --> 00:01:30,652
zpočátku zamotá recepčnímu hlavu,

35
00:01:30,692 --> 00:01:33,372
ale nakonec si poradí
a každého ubytuje.

36
00:01:33,433 --> 00:01:36,391
Požádá hosta v pokoji 1, 
aby se přesunul do pokoje 2.

37
00:01:36,415 --> 00:01:38,527
Poté požádá hosta v pokoji 2,

38
00:01:38,551 --> 00:01:40,435
aby se přesunul do pokoje 4;

39
00:01:40,459 --> 00:01:42,809
hosta v pokoji 3 do pokoje 6;

40
00:01:42,833 --> 00:01:44,105
a tak dále.

41
00:01:44,129 --> 00:01:47,313
Každý stávající host se přesune
z pokoje číslo "n"

42
00:01:47,337 --> 00:01:49,029
do pokoje číslo "2n".

43
00:01:50,567 --> 00:01:54,270
Zaplní se tak pouze sudé pokoje,
i když jich bude nekonečno.

44
00:01:54,380 --> 00:01:58,708
Tím se zároveň vyprázdní všechny
liché pokoje, jichž je také nekonečno.

45
00:01:58,891 --> 00:02:02,696
A tak je mohou zabrat lidi proudící
z nekonečného autobusu.

46
00:02:03,242 --> 00:02:06,825
Každý je spokojený
a hotel vzkvétá jako nikdy.

47
00:02:06,899 --> 00:02:10,419
No, vlastně vzkvétá úplně
stejně jako vždycky,

48
00:02:10,440 --> 00:02:13,523
protože vydělává nekonečno
dolarů za noc.

49
00:02:14,076 --> 00:02:16,355
Brzy se zpráva o tomto úžasném
hotelu rozšíří

50
00:02:16,379 --> 00:02:18,544
a lidé se hrnou ze všech koutů světa.

51
00:02:18,568 --> 00:02:20,842
A pak se stane něco bláznivého.

52
00:02:20,866 --> 00:02:23,407
Recepční se podívá ven

53
00:02:23,431 --> 00:02:27,517
a vidí nekonečně dlouhou řadu
nekonečně velkých autobusů.

54
00:02:27,541 --> 00:02:30,329
V každém z nich sedí spočetné
nekonečno pasažérů.

55
00:02:30,353 --> 00:02:31,386
Co má dělat?

56
00:02:31,410 --> 00:02:34,207
Pokud pro ně nedokáže 
najít pokoje, hotel přijde

57
00:02:34,231 --> 00:02:35,958
o nekonečně mnoho peněz

58
00:02:35,982 --> 00:02:37,955
a on určitě přijde o práci.

59
00:02:37,979 --> 00:02:41,790
Naštěstí si vzpomene, 
že okolo roku 300 př. n. l.

60
00:02:41,814 --> 00:02:46,806
Eukleidés dokázal, že existuje
nekonečně mnoho prvočísel.

61
00:02:47,372 --> 00:02:49,730
Takže aby zvládl zdánlivě 
nemožný úkol

62
00:02:49,730 --> 00:02:52,285
a nalezl nekonečno postelí
pro nekonečno autobusů

63
00:02:52,309 --> 00:02:54,291
s nekonečnem
unavených cestujících,

64
00:02:54,315 --> 00:02:57,182
přidělí recepční všem
stávajícím hostům pokoje tak,

65
00:02:57,206 --> 00:02:59,042
že vezme první prvočíslo, 2,

66
00:02:59,066 --> 00:03:01,867
a umocní ho číslem současného pokoje.

67
00:03:01,891 --> 00:03:04,535
Takže současný majitel 
pokoje číslo 7

68
00:03:04,559 --> 00:03:07,541
se přestěhuje do pokoje 
číslo "2 na sedmou",

69
00:03:07,565 --> 00:03:09,261
což odpovídá pokoji 128.

70
00:03:10,236 --> 00:03:13,877
Recepční pak vezme všechny lidi
z prvního nekonečného autobusu

71
00:03:13,957 --> 00:03:15,976
a přiřadí jim pokojová čísla tak,

72
00:03:16,026 --> 00:03:18,291
že vezme další prvočíslo, 3,

73
00:03:18,315 --> 00:03:22,218
a umocní ho číslem sedadla
každého pasažéra v autobuse.

74
00:03:22,332 --> 00:03:25,419
Osoba se sedadlem číslo 7
v prvním autobuse

75
00:03:25,453 --> 00:03:28,360
tudíž půjde do pokoje
číslo "3 na sedmou",

76
00:03:28,384 --> 00:03:31,610
neboli do pokoje číslo 2187.

77
00:03:31,634 --> 00:03:34,069
A tak se pokračuje s celým autobusem.

78
00:03:34,093 --> 00:03:35,931
Cestující ve druhém autobuse

79
00:03:35,975 --> 00:03:39,410
mají přiděleny mocniny
dalšího prvočísla, 5.

80
00:03:39,804 --> 00:03:41,603
Následující autobus 
má mocniny 7.

81
00:03:41,647 --> 00:03:42,921
Další autobusy pak:

82
00:03:42,945 --> 00:03:44,746
mocniny 11, mocniny 13,

83
00:03:44,770 --> 00:03:46,799
mocniny 17, atd.

84
00:03:47,110 --> 00:03:49,470
Obdržená čísla lze dělit jen jedničkou

85
00:03:49,540 --> 00:03:53,138
a prvočíslem, jehož mocninou vznikly,

86
00:03:53,237 --> 00:03:55,656
a tak se čísla pokojů nemohou překrývat.

87
00:03:55,670 --> 00:03:58,339
Všichni autobusoví cestující
se rozptýlí do pokojů

88
00:03:58,353 --> 00:04:01,066
díky jedinečnému
systému přidělování pokojů,

89
00:04:01,106 --> 00:04:03,486
který je založen 
na jedinečnosti prvočísel.

90
00:04:03,510 --> 00:04:05,701
Tímto způsobem dokáže
recepční ubytovat

91
00:04:05,725 --> 00:04:07,966
všechny cestující ze všech autobusů.

92
00:04:08,050 --> 00:04:11,064
Spousta pokojů ovšem
zbude prázdných,

93
00:04:11,088 --> 00:04:12,356
například pokoj 6,

94
00:04:12,380 --> 00:04:15,095
neboť 6 není mocninou 
žádného prvočísla.

95
00:04:15,119 --> 00:04:17,512
Naštěstí vedoucím hotelu
matematika moc nejde,

96
00:04:17,536 --> 00:04:19,475
a tak se recepční nemusí
bát vyhazovu.

97
00:04:19,507 --> 00:04:22,007
Uvedené strategie lze použít

98
00:04:22,031 --> 00:04:26,438
jen proto, že i když je hotel Nekonečno
logistickou noční můrou,

99
00:04:26,478 --> 00:04:29,957
má co do činění jen s nejnižším
řádem nekonečna,

100
00:04:29,981 --> 00:04:33,513
totiž se spočetným 
nekonečnem přirozených čísel,

101
00:04:33,537 --> 00:04:36,594
jako jsou 1, 2, 3, 4 atd.

102
00:04:36,618 --> 00:04:40,513
Georg Cantor nazval tuto úroveň 
nekonečna "alef nula".

103
00:04:40,765 --> 00:04:43,042
Čísla, která označují pokoje

104
00:04:43,066 --> 00:04:45,518
či sedadla v autobusech,
jsou přirozená.

105
00:04:45,773 --> 00:04:48,292
Kdybychom se však zabývali
vyššími úrovněmi nekonečna,

106
00:04:48,352 --> 00:04:49,848
například reálnými čísly,

107
00:04:49,872 --> 00:04:52,844
tyto strukturované strategie
by se nedaly použít,

108
00:04:52,868 --> 00:04:56,465
jelikož všechna čísla nelze
systematicky pojmout.

109
00:04:57,002 --> 00:04:58,803
Nekonečný hotel reálných čísel

110
00:04:58,827 --> 00:05:00,905
má v suterénu záporná čísla pokojů.

111
00:05:00,929 --> 00:05:02,364
Má také zlomkové pokoje,

112
00:05:02,388 --> 00:05:07,094
takže se chlápek v pokoji 1/2 cítí oproti
chlápkovi z pokoje 1 dost stísněně.

113
00:05:07,205 --> 00:05:10,308
Jsou tu pokoje druhé odmocniny, 
například pokoj √2,

114
00:05:10,332 --> 00:05:11,438
a pokoj pí,

115
00:05:11,462 --> 00:05:14,325
kde hosti očekávají zákusek zdarma.

116
00:05:14,349 --> 00:05:17,374
Který recepční s trochou sebeúcty
by tam chtěl pracovat,

117
00:05:17,398 --> 00:05:19,101
i kdyby měl nekonečnou výplatu?

118
00:05:19,173 --> 00:05:20,918
Ale v Hilbertově nekonečném hotelu,

119
00:05:20,942 --> 00:05:22,462
kde není nikdy prázdno

120
00:05:22,513 --> 00:05:24,004
a vždy se najde místo pro další,

121
00:05:24,028 --> 00:05:28,680
čelí náš pracovitý a možná příliš
pohostinný recepční problémům,

122
00:05:28,784 --> 00:05:31,490
které nám připomínají,
jak těžké je,

123
00:05:31,514 --> 00:05:33,805
aby naše relativně konečná mysl

124
00:05:33,859 --> 00:05:36,767
pochopila tak ohromný pojem,
jako je nekonečno.

125
00:05:37,022 --> 00:05:40,333
Třeba nám s tím pomůžete,
když se u nás dobře prospíte.

126
00:05:40,382 --> 00:05:45,512
Možná se ale ve dvě ráno budete
muset přesunout do jiného pokoje.