Biểu diễn tham số của đường thẳng

Biểu diễn tham số của đường thẳng trong R2 và R3

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/linear_combinations/v/linear-combinations-and-span?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bỏ lỡ bài học trước?https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/vectors/v/intro-unit-vector-notation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bạn có bao giờ tự hỏi rằng điểm khác biệt giữa tốc độ và vận tốc là gì không? Hoặc bạn có bao giờ thử hình dung nó trong không gian bốn chiều, sáu chiều hay bảy chiều chưa? Đại số tuyến tính miêu tả sự vật trong các không gian hai chiều nhưng cũng có rất nhiều khái niệm được mở rộng trong không gian ba chiều, bốn chiều hoặc hơn thế nữa. Đại số tuyến tính bao hàm lý luận hai chiều nhưng các khái niệm được đề cập trong đó cũng cung cấp cơ sở cho những biểu diễn đa chiều của lý luận trong toán học. Ma trận, vector, không gian vector, những biến đổi tuyến tính và vector riêng đều giúp chúng ta hình dung và hiểu rõ những khái niệm đa chiều. Đây là một khóa học nâng cao thường xuất hiện trong các chuyên ngành về khoa học và kỹ sư sau khi đã được học giải tích ít nhất hai học kỳ (mặc dù giải tích không nhất thiết là điều kiện bắt buộc). Vì vậy, đừng nhầm lẫn đại số tuyến tính với đại số thông thường ở các các trường phổ thông.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Bạn có thể nghĩ đại số tuyến tính trước giờ

mình học chỉ là một cách làm phức tạp hơn

của những thứ bạn đã biết làm rồi.

Bạn đã học vectơ rồi.

Nếu bạn đã học giải tích hay giải tích cơ bản,

thì hẳn là đã học về vectơ rồi, hay trong các

lớp vật lý nữa.

Vậy trong video này, mình hy vọng mình có thể

cho bạn thấy bạn có thể dùng đại số tuyến tính

để làm những điều bạn không thể làm trước đây

hoặc sẽ khó để làm nếu không dùng đại số tuyến tính.

Nhưng mình sẽ bắt đầu với một cách làm khác

của một thứ bạn đã biết trước.

Vậy để mình xác định một vectơ ở đây, thay vì

in đậm nó mình sẽ vẽ mũi tên trên đầu

mình sẽ xác định vectơ bằng cách

vẽ mũi tên trên đầu hoặc làm cho nó thật đậm

Vậy mình có vectơ, vectơ của mình nằm

trong R2

Cho là vectơ đó là vectơ (2,1).

Nếu mình vẽ nó theo vị trí tiêu chuẩn,

nó sẽ nhìn như thế này.

Mình sẽ qua phải 2 đơn vị, và lên 1 như vầy.

Vậy đây là vectơ v của mình ngay đó.

Giờ câu hỏi đặt ra, với dữ kiện vậy, đâu là các

vectơ mình có thể tạo ra?

Vậy để mình xác định tập hợp.

Mình có tập hợp s, nó bằng-- tất cả

vectơ mình có thể tạo ra, vậy là mình sẽ nhân v

với một hằng số, nói cách khác là nhân một đại lượng vô hướng

với vectơ v của mình. Và để cho bài bản, mình cho

là với c thuộc tập số thực.

Vậy làm sao để vẽ tập hợp này ra đây?

Nếu mình vẽ chúng theo vị trí tiêu chuẩn, c có thể là

bất kì số thực nào.

Vậy mình có thể có c bằng 2 ở đây.

Để mình làm như thế này.

Nếu mình nhân vectơ cho 2, mình sẽ có

vectơ 4,2.

Vậy để mình vẽ nó theo vị trí tiêu chuẩn, 4,2.

Nó sẽ ngay đây.

Là vectơ này ở đây.

Vậy nó và vectơ đầu tiên cộng tuyến,

hay cùng phương, nhưng nó dài hơn 2 đơn vị.

Giờ mình có thể làm thêm.

Mình có thể nhân 1,5 cho vectơ v.

Để mình dùng màu khác.

Và như vậy nó sẽ thành gì?

Nó sẽ là 1,5 nhân 2, là 3, 1,5.

Và như vậy nó trông thế nào nhỉ?

Vậy mình sẽ qua phải 3, và lên 1,5,

vậy mình sẽ ở ngay đây.

Mình có thể nhân số nào

cũng được. Mình có thể nhân 1,4999 cho vectơ v

và ra được vectơ ngay đây.

Hay mình có thể nhân trừ 0,0001 với vectơ v.

Mình sẽ viết ra.

mình có thể lấy 0,001 nhân vec tơ v

vậy nó cho mình điều gì

mình sẽ đặt một vec tơ rất nhỏ ở đây

nếu mình lấy âm 0,01, nó sẽ cho một vec tơ rất nhỏ

ở ngay đây chỉ về hướng đó

nếu mình lấy 10, mình sẽ có vectơ đi

về hướng này đây

nhưng bạn có thể tưởng tượng nếu mình đánh dấu

tất cả vectơ dưới dạng vị trí tiêu chuẩn, tất cả có thể

được biểu diễn bởi bất kỳ c nào trong số thực, cơ bản

mình sẽ có rất nhiều vec tơ mà khi đó

các mũi tên thẳng hàng ở ngay đây, và tất cả

nằm thẳng hàng kể cả trong hướng âm -- để mình chắc chắn

mình vẽ nó đúng -- dọc theo đường này thế này

mình nghĩ bạn đã nắm được đại khái

vậy đó là một tập hợp các vectơ cộng tuyến

để mình ghi nó ra

nếu mình xem những vectơ này là vectơ vị trí

vectơ này biểu diễn một điểm trong không gian trong R2-- R2 này chỉ là

mặt phẳng hệ trục toạ độ ở ngay đây trong

mọi hướng, nếu mình coi vec tơ này là vectơ vị trí

để mình viết ra đây-- nếu chúng ta coi nó như một

toạ độ trong R2, vậy tập hợp này, nếu chúng ta hình dung

nó như rất nhiều vectơ vị trí, nó sẽ được biểu diễn

bởi đường này ngay đây

và mình muốn làm rõ điều đó vì cơ bản nó là

một đường thẳng, của hệ số góc 2

Đúng không?

À không, hệ số góc 1/2

tung độ là 1

tung độ là 1 đi qua 2

nhưng mình không muốn đi sâu vào khái niệm

của đại số 1

nhưng mình muốn làm rõ rằng đường thẳng này của hệ số góc 2

đi qua điểm gốc, đây là nếu chúng ta vẽ tất cả

vec tơ trong tập hợp dưới dạng tiêu chuẩn, hoặc chúng ta vẽ

chúng như là vec tơ vị trí

nếu mình không làm rõ điều đó, hoặc điều kiện đó

mình đã có thể vẽ những vec tơ này ở bất cứ đâu

đúng không?

bởi vì vec tơ 4, 2, mình đã có thể vẽ nó ở đây

sau đó, nếu nói nó cộng tuyến thì có lẽ

bạn đã không thấy điều đó có lý

nhưng mình nghĩ sự cộng tuyến có lý hơn

nếu bạn nói, hãy vẽ chúng dưới dạng tiêu chuẩn

tất cả chúng bắt đầu tại điểm gốc, sau đó đuôi của chúng

nằm tại điểm gốc, và đầu của chúng đi theo

toạ độ chúng biểu diễn

đó là ý của mình khi mình nói về vec tơ vị trí của chúng

chúng không cần thiết phải là vec tơ vị trí, nhưng để

hình dung rõ hơn trong video này, hãy giữ nguyên điều đó

bây giờ mình mới chỉ có thể biểu diễn thứ

đi qua điểm gốc với hệ số góc này

vậy bạn có thể đại khái xem như vec tơ này

biểu diễn hệ số góc của nó

bạn gần như muốn xem nó là vectơ hệ số góc, nếu bạn muốn

liên kết nó với những gì đã học trong đại số 1

điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta muốn biểu diễn

cái đường khác có hệ số góc đó?

điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta muốn biểu diễn đường tương tự hoặc

một đường song song -- đi qua điểm này ngay đây

điểm 2 phẩy 4

hoặc nếu chúng ta nghĩ về vec tơ vị trí, chúng ta có thể nói

điểm đó được biểu diễn bởi vectơ, và mình

sẽ gọi nó là x

nó được biểu diễn bởi vectơ x

và vectơ x bằng với 2, 4

điểm này ngay đây

điều gì sẽ xảy ra nếu mình muốn biểu diễn đường thẳng song song với

đường đi qua điểm 2, 4

mình muốn biểu diễn đường này ngay đây

mình sẽ cố gắng vẽ nó song song nhất có thể

mình nghĩ bạn đã nắm được ý, và nó cứ tiếp tục như thế

trong mọi hướng

hai đường này song song

làm sao mình có thể biểu diễn tập hợp của các vec tơ này

vẽ dưới dạng tiêu chuẩn, hoặc tất cả các vec tơ

nếu mình vẽ chúng dưới dạng tiêu chuẩn, đường này có xuất hiện không?

bạn có thể nghĩ về nó như thế này

nếu mỗi vec tơ biểu diễn đường này,

mình bắt đầu với bất kỳ vec tơ nào trên đường này, và mình thêm

x vec tơ vào đó, mình sẽ xuất hiện tại một điểm tương ứng

trên đường này.

đúng không

gỉa sử mình lấy âm 2 nhân vec tơ gốc, vậy âm 2

nhân với vec tơ v, sẽ bằng gì ?

trừ 4, trừ 2 vậy vec tơ này ở ngay đây

nhưng nếu mình cộng x vào đó, nếu mình cộng vec tơ x

vâỵ nếu mình lấy âm 2 nhân vec tơ v, nhưng nếu

mình cộng x vào đó, vậy cộng x

mình đang cộng vec tơ 2 phấy 4 với nó, vậy từ đây mình sẽ đi

qua phải 2 và lên 4, vậy mình sẽ đi đến đây

hoặc bạn có thể hình dung rằng, đầu đến đuôi, nên mình

sẽ đi đến đây

vậy mình sẽ kết thúc ở đây

điểm tương ứng ở ngay đó

vậy khi mình định nghĩa tập hợp, s, là tập hợp các điểm khi mà mình

chỉ lấy v nhân vô hướng, mình có điều này

đi qua điểm gốc

nhưng bây giờ mình có thể xác định một tập hợp khác

để mình xác định một tập hợp l, bằng với

tập hợp tất cả vec tơ khi mà vec tơ x, mình sẽ

in đậm hoặc vẽ một mũi tên trên nó, cộng với

vô hướng-- mình có thể dùng c, nhưng để mình dùng t vì

mình sẽ gọi đây là một tham số hoá của đường thẳng

vậy cộng vô hướng, t nhân vec tơ v và t có thể là

bất kỳ số thực nào

vậy điều này sẽ là gì?

nó sẽ là đường màu xanh dương này

nếu mình vẽ các vec tơ này dưới dạng vị trí tiêu chuẩn

mình sẽ có đường màu xanh dương

ví dụ, nếu mình lấy âm 2, đây là âm 2, nhân

vec tơ v, mình có ở đây.

sau đó nếu mình cộng x, mình đi đến đây

vậy vec tơ này ngay đây có điểm kết thúc ở đây

điểm kết thúc nằm trên đường đó

mình có thể làm điều đó với bất cứ thứ gì

nếu mình lấy vec tơ này, đây là vô hướng nhân vec tơ v

và cộng x vào đó, mình sẽ có vec tơ này, khi đó

điểm kết thúc, nếu mình xem nó là vec tơ vị trí, điểm kết thúc

quyết định toạ độ trong mặt phẳng xy

Vậy nó sẽ là

điểm đó.

Vậy mình có thể đi đến bất kỳ vec tơ nào

đây là một tập hợp vec tơ ở đây, và tất cả vec tơ

đang chỉ về - cơ bản là chúng đang chỉ về

một hướng nào đó -- khi mình vẽ chúng dưới dạng tiêu chuẩn

chúng sẽ chỉ về

chỉ về đường màu xanh dương đó

bây giờ bạn có lẽ sẽ nghĩ, đó là một cách khá dài dòng

để xác định một đường thằng

khi chúng ta làm nó trong đại số 1, chúng ta chỉ nói

này y bằng với mx cộng b

và chúng ta tìm ra hệ số góc bằng cách tìm ra hiệu

giữa hai điểm, và sau đó chúng ta sử dụng phép thế

và điều này bạn đã học ở lớp 7 hoặc 8

nó khá rõ ràng

vậy tại sao mình lại định nghĩa tập hợp này, và khiến bạn

suy nghĩ về tập hợp, vec tơ và cộng vec tơ

và lý do là, vì điều này khá bao quát

nó khá hiệu quả trong R2

vậy trong R2, điều này ổn

ý mình là chúng ta chỉ cần quan tâm đến toạ độ x và y

vậy còn trong trường hợp, mình để ý trong lớp đại số

ít nhất là trong lớp mình đã học, giáo viên không nói về

cách biểu diễn đường trong không gian

3 chiều

có thể có một số lớp đã học, nhưng họ chắc chắn không

nói cho bạn làm sao để biểu diễn đường trong không gian 4 chiều,

hoặc 100 chiều

đó là thứ mà điều này sẽ làm cho bạn

ở đây, mình xác định x và v là hai vec tơ trong R2

chúng là vec tơ 2 chiều, nhưng chúng ta có thể kéo dài nó

tới một số tuỳ ý trong không gian

để hiểu rõ hơn vấn đề, hãy làm thêm một ví dụ

nữa trong R2, khi mà, nó là một dạng đại số điển hình

loại bài toán mà bạn phải tìm phương trình cho đường thẳng

nhưng ở đây, chúng ta sẽ gọi nó là khái niệm

tập hợp của đường thẳng

giả sử chúng ta có hai vec tơ

giả sử chúng ta có vec tơ a, mình sẽ xác định chúng là

hãy nói chúng là 2,1

nếu mình vẽ nó dưới dạng tiêu chuẩn, nó là 2, 1

đó là vec tơ a cũng mình ngay đây

giả sử mình có vec tơ b, để mình xác định vec tơ b

mình sẽ xác định nó là

0, 3

vậy vec tơ B -- mình không di chuyển qua phải

và mình đi lên

vậy vec tơ b của mình sẽ trông thế này

mình gọi đây là các vec tơ vị trí

và mình vẽ chúng dưới dạng tiêu chuẩn

khi bạn vẽ nó dưới dạng tiêu chuẩn, điểm kết thúc của chúng

biểu diễn các vị trí

vậy bạn có thể xem nó như toạ độ các điểm trong R2

đây là R2

tất cả các hệ trục toạ độ mình vẽ sẽ nằm trong R2

nếu mình hỏi bạn, cho mình một sự tham số hoá của

đường thẳng đi qua hai điểm này

vậy cơ bản, mình muốn có phương trình -- trong ngôn ngữ của

đại số 1 sẽ là mình muốn một phương trình cho đường thẳng

đi qua hai điểm này

cách thường thấy là bạn sẽ tìm hệ số góc

và từ đó bạn sẽ

thế trở lại vào

nhưng thay vì thế, điều bạn có thể làm là, hãy nhìn này

đường này đi qua cả hai điểm đó -- bạn có thể

gần như nói là cả hai vec tơ nằm trên

cả hai

vec tơ nằm trên đường này

bây giờ vec tơ nào có thể được biểu diễn bằng đường đó

hoặc tốt hơn, vec tơ nào, nếu mình lấy tuỳ ý

vô hướng -- có thể biểu diễn vec tơ khác trên đường đó

bây giờ hãy để mình làm nó theo cách này

sẽ như thế nào nếu mình lấy -- vậy vec tơ b ở đây - điều gì

sẽ xảy ra nếu mình lấy b trừ a

chúng ta đã học trong video trước, rằng b

trừ a, bạn sẽ có được vec tơ này ngay đây

bạn sẽ có hiệu của hai vec tơ

đây là vec tơ b trừ vec tơ a

bạn hãy nghĩ về nó một chút

mình phải cộng gì vào a để được b

mình phải cộng b trừ a

vậy nếu mình có thể lấy vec tơ b trừ a -- chúng ta biết

các làm điều đó

chúng ta chỉ trừ các vec tơ và nhân nó với bất kỳ

vô hướng nào, sau đó chúng ta lấy điểm bất kỳ trên đường thẳng

chúng ta phải cẩn thận

điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta lấy t, vô hướng, nhân

vec tơ, nhân vec tơ b trừ a

chúng ta sẽ có điều gì đây?

vậy b trừ a trông như thế này

nhưng nếu chúng ta viết nó dưới dạng tiêu chuẩn -- hãy nhớ

dưới dạng tiêu chuẩn b trừ a sẽ trông như thế này

đúng không

nó sẽ bắt đầu ở 0, nó sẽ song song với điều này,

và từ 0 chúng ta sẽ vẽ điểm kết thúc

vậy nếu chúng ta chỉ nhân vô hướng với b trừ a, chúng ta

sẽ chỉ có các điểm hoặc vec tơ

nằm trên đường thẳng này

các vec tơ nằm trên đường này ngay đây

nhưng đó không phải là điều chúng ta cần phải làm

chúng ta muốn tìm ra một phương trình hoặc một tham số hoá

của đường này, hoặc tập hợp này

hãy gọi đây là tập hợp l

chúng ta muốn biết tập hợp này bằng bao nhiêu

để có được điều đó, chúng ta phải bằng đầu với

đường này ở này, và chúng ta phải dịch chuyển nó

chúng ta có thể dịch chuyển nó thẳng lên trên, chúng ta

có thể cộng vec tơ b vào đó

chúng ta có thể lấy đường này ngay đây, và

cộng vec tơ b vào đó

vậy bất kỳ điểm nào ở đây sẽ có

điểm tương ứng ở đây

vậy khi bạn cộng vec tơ b, nó cơ bản sẽ dịch chuyển lên

điều đó sẽ đúng

vậy chúng ta có thể nói, chúng ta có thể cộng vec tơ b vào đó

và bây giờ chúng ta có các điểm này tuỳ ý -- t là một

thành phần của số thực, nằm trên đường màu xanh lá

hoặc lựa chọn khác là chúng ta có thể

cộng vec tơ a

vec tơ a sẽ lấy một điểm tuỳ ý ở đây

và dịch chuyển nó theo hướng này

đúng không

bạn sẽ cộng vec tơ a vào đó

nhưng dù cho cách nào, bạn sẽ phải dùng đường màu xanh lá

mà chúng ta quan tâm, vậy bạn có thể xác định nó như là

tập hợp vec tơ a cộng đường thẳng này, cơ bản là, t nhân

vec tơ b trừ a, trong đó t là một thành phần của số thực

vậy mình có thể xác định đường thẳng

là một trong hai điều này

đường thẳng của mình có thể là tập hợp này hoặc

tập hợp này

tất cả chúng đều trông trừu tượng, nhưng khi bạn bắt tay vào làm

với các con số, nó sẽ trở nên

rất đơn giản

nó sẽ trở nên đơn giản hơn những gì chúng ta đã làm với đại số 1

vậy l này, trong trường hợp của a và b

hãy tìm ra nó

đường thẳng của mình sẽ bằng với, để mình sử dụng ví dụ đầu tiên

đó là vec tơ b, vậy đó là vec tơ 0, 3 cộng t, nhân

vec tơ b trừ a

vậy b trừ a là gì

0 trừ 2 là âm 2, 3, trừ 1 là 2, cho t là một

thành phần của số thực

bây giờ, nếu đây vẫn trông như một tập hợp khó hiểu

đối với bạn, mình có thể ghi nó theo cách mà

bạn dễ nhận ra hơn

nếu chúng ta muốn đánh dấu điểm, nếu chúng ta gọi đây là trục y,

và đây là trục x, và nếu chúng ta gọi đây là

toạ độ x,

và gọi đây là toạ độ y chúng ta có thể tìm ra

một phương trình ở đây

đây là hệ số góc x

đây là toạ độ x, đó là toạ độ y

hoặc tốt hơn, để mình

cẩn thận hơn ở đây

thông thường nó sẽ trở thành vec tơ, l1, l2

đúng không?

đây là một tập hợp vec tơ, và bất cứ thành phần nào của tập hợp

sẽ trông như thế này

đây có thể là l i

vậy đây là toạ độ x, đây là toạ độ y

và để viết nó dưới dạng mà bạn có thể dễ nhận ra,

chúng ta nói l là tập hợp của vec tơ x cộng t nhân

vec tơ b trừ a ở đây

nếu chúng ta muốn viết nó dưới dạng tham số, chúng ta

có thể nói bởi vì điều này quyết định toạ độ x

chúng ta sẽ nói x bằng với 0 cộng t nhân âm 2, hoặc

âm 2 nhân t

sau đó chúng ta có thể nói rằng y, vì đây là điều quyết định

toạ độ y, y bằng với 3 cộng t nhân 2 cộng 2t

vậy chúng ta có thể viết lại phương trình đầu tiên dưới dạng

x bằng âm 2t và y bằng 2t cộng 3

nếu bạn xem các video về phương trình tham số, đây chỉ là

một định nghĩa tham số cơ bản

của đường này ngay đây

bây giờ, bạn có thể vẫn sẽ xem đây là,

một điều gì đó tốn thời gian và khó hiểu

bạn phải xác định các tập hợp này và hơn thế nữa

nhưng bây giờ mình sẽ cho bạn xem một điều

có thể một số bạn đã làm qua rồi, nhưng mình nghĩ

điều này đúng với mọi thứ

nhưng bạn có lẽ chưa từng nhìn thấy trong

lớp đại số truyền thống

giả sử mình có hai điểm, và bây giờ mình phải giải quyết bài toán

trong không gian 3 chiều

hãy nói mình có 1 vec tơ

mình sẽ gọi nó là điểm 1, vì đây là

các vec tơ vị trí

chúng ta sẽ gọi nó là vị trí 1

đây là trong không gian 3 chiều

mình sẽ cho các số âm 1, 2, 7

giả sử mình có điểm 2

một lần nữa đây là không gian 3 chiều, bạn phải

có cụ thể 3 toạ độ

đây là x, y và z toạ độ

điểm 2, mình không biết

hãy cho nó là 0, 3, 4

bây giờ điều gì sẽ xảy ra nếu mình muốn tìm phương trình của đường

đi qua hai điểm này trong R3

vậy đây là R3

mình vừa nói rằng phương trình của đường thẳng này

mình sẽ gọi nó là, hoặc tập hợp của đường thẳng, mình sẽ

gọi đây là l

nó sẽ bằng với, mình có thể chọn một trong những

điều này, nó có thể là P1, vec tơ P1, đây là tất cả các

vec tơ, hãy cẩn thận ở đây

vec tơ P1 cộng tham số ngẫu nhiên, t, t này có thể là

thời gian, như khi bạn mới học về phương trình

tham số, thời gian nhân hiệu hai vec tơ

nhân P1, và bất kể bạn lấy nó theo thứ tự nào

điều đó khá tốt

P1 trừ P2

nó có thể là P2 trừ P1-- bởi vì đây có thể là

giá trị âm hoặc dương -- khi mà t là một thành phần

của số thực

hãy áp dụng nó vào những số này

hãy áp dụng nó vào đây

P1 trừ P2 là gì

P1 trừ P2 sẽ bằng với -- để mình tìm thêm chỗ ở đây

P1 trừ P2 bằng với, âm 1 trừ 0 là âm 1

2 trừ 3 là âm 1

7 trừ 4 là 3

vậy điều này là vec tơ này

vậy đường thẳng của chúng ta có thể được diễn tả là một tập hợp vec tơ

mà nếu bạn đánh dấu nó dưới dạng vị trí tiêu chuẩn, nó sẽ

là tập hợp này của các vec tơ vị trí

nó sẽ là P1, nó sẽ là -- để mình vẽ nó bằng màu xanh lá

nó sẽ là âm 1, 2, 7

mình có thể cho P2 ở đây một cách dễ dàng -- cộng t nhân âm 1

âm 1, 3 khi mà, t là một thành phần của

số thực

bây giờ điều này có thể chưa thoả mãn bạn

bạn có thể sẽ hỏi, làm sao mình có thể đánh dấu điều này trong không gian 3 chiều

toạ độ x,y, z của mình ở đâu

nếu bạn quan tâm về toạ độ x, y và z, giả sử

đây là trục z

đây là trục x, đây là trục y

nó trông thế này trên bảng, vậy trục y

chỉa ra như thế này

vậy điều bạn có thể làm

vậy điều quyết định trục x sẽ là

phần này ở đây

vậy để mình ghi ra rằng x

vậy phần đó sẽ quyết định trục x của chúng ta

vậy mình có thể viết là x bằng với âm 1 , hãy cẩn thận với

màu ở đây- âm 1, cộng âm 1 nhân t

đó là toạ độ x

bây giờ toạ độ y sẽ được xác định bằng phần này

của việc cộng vec tơ vì đây là toạ độ y

vậy chúng ta có thể nói là toạ độ y bằng với -- mình sẽ viết

như thế này -- 2 cộng âm 1 nhân t

và cuối cùng toạ độ z được xác định bằng

phần này ở đây, t xuất hiện vì t nhân 3 hoặc mình có thể

để t ở đây

vậy toạ độ z sẽ bằng với 7 cộng t nhân 3 hoặc

mình có thể nói cộng 3t

và cứ như thế, chúng ta có 3 phương trình tham số

và khi chúng ta làm nó trong R2, chúng ta làm một phương trình tham số, nhưng

chúng ta học trong đại số 1, bạn có thể chỉ có

một y liên hệ với x

bạn không cần phải có một phương trình tham số

nhưng khi bạn làm trong R3, cách duy nhất để xác định một đường thẳng

là có một phương trình tham số

nếu bạn có một phương trình tham số với toạ độ x, y, z, nếu mình

chỉ có x cộng y cộng z bằng một số,

đây không phải một đường thẳng

chúng ta sẽ nói nhiều hơn về điều này trong R3

đây là một mặt phẳng

cách duy nhất để xác định một đường thẳng hoặc đường cong trong không gian

3 chiều, nếu mình muốn diễn tả đường đi của một con ruồi

trong không gian 3 chiều, nó phải là một phương trình tham số

hoặc nếu mình mình bắn một viên đạn tron không gian 3 chiều

và nó đi theo đường thẳng, nó phải là một phương trình tham số

vậy đây - bạn có thể gọi chúng là

phương trình của một đường thẳng trong không gian 3 chiều

mong là bạn thấy điều đó thú vị

và mình nghĩ đây là video đầu tiên cho bạn cái nhìn

rằng đại số tuyến tính có thể giải quyết các vấn đề

mà bạn chưa từng thấy trước đây

và không có lí do gì mà chúng ta phải dừng ở 3

3 toạ độ ở đây

chúng ta có thể làm 50 không gian

chúng ta có thể xác định một đường thẳng trong 50 chiều không gian

hoặc tập hợp vec tơ xác định đường thẳng đó, hai điểm nằm trong

không gian 50 chiều, sẽ rất khó để hình dung

nhưng chúng ta có thể giải quyết nó về mặt toán học