Biểu diễn tham số của đường thẳng

Biểu diễn tham số của đường thẳng trong R2 và R3

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/linear_combinations/v/linear-combinations-and-span?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bỏ lỡ bài học trước?https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/vectors/v/intro-unit-vector-notation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bạn có bao giờ tự hỏi rằng điểm khác biệt giữa tốc độ và vận tốc là gì không? Hoặc bạn có bao giờ thử hình dung nó trong không gian bốn chiều, sáu chiều hay bảy chiều chưa? Đại số tuyến tính miêu tả sự vật trong các không gian hai chiều nhưng cũng có rất nhiều khái niệm được mở rộng trong không gian ba chiều, bốn chiều hoặc hơn thế nữa. Đại số tuyến tính bao hàm lý luận hai chiều nhưng các khái niệm được đề cập trong đó cũng cung cấp cơ sở cho những biểu diễn đa chiều của lý luận trong toán học. Ma trận, vector, không gian vector, những biến đổi tuyến tính và vector riêng đều giúp chúng ta hình dung và hiểu rõ những khái niệm đa chiều. Đây là một khóa học nâng cao thường xuất hiện trong các chuyên ngành về khoa học và kỹ sư sau khi đã được học giải tích ít nhất hai học kỳ (mặc dù giải tích không nhất thiết là điều kiện bắt buộc). Vì vậy, đừng nhầm lẫn đại số tuyến tính với đại số thông thường ở các các trường phổ thông.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Bạn có thể nghĩ đại số tuyến tính trước giờ

mình học chỉ là một cách làm phức tạp hơn

của những thứ bạn đã biết làm rồi.

Bạn đã học vectơ rồi nè.

Nếu bạn đã học giải tích hay tiền giải tích,

thì hẳn là đã học về vectơ rồi, hay trong các

lớp lý nữa.

Vậy trong video này, mình hy vọng mình có thể

cho bạn thấy bạn có thể dùng đại số tuyến tính

để làm những điều bạn không thể làm trước đây

hoặc sẽ khó để làm nếu không dùng đại số tuyến tính.

Nhưng mình sẽ bắt đầu với một cách làm khác

của một thứ bạn đã biết trước.

Vậy để mình định nghĩ một véctơ ở đây,

có mũi tên trên đầu ha.

Ngoài ra, mình có thể viết nó thật đậm,

nhưng mình sẽ để mũi tên trên đầu ha.

Vậy mình có vectơ, vectơ của mình nằm

trên mặt phẳng toạ độ.

Cho là vectơ đó là vectơ (2,1).

Nếu mình vẽ nó theo vị trí tiêu chuẩn,

nó sẽ nhìn như thế này.

Mình sẽ qua phải 2 đơn vị, và lên 1 như vầy.

Vậy đây là vectơ v của mình ngay đó.

Giờ câu hỏi đặt ra, với dữ kiện vậy, đâu là các

vectơ mình có thể tạo ra?

Vậy để mình định nghĩa tập hợp.

Mình có tập hợp s, nó bằng-- tất cả

vectơ mình có thể tạo ra, vậy là mình sẽ nhân v

với một hằng số, nói cách khác là nhân một đại lượng vô hướng

với vectơ v của mình. Và để cho bài bản, mình cho

là với c thuộc tập số thực.

Vậy làm sao để vẽ tập hợp này ra đây?

Nếu mình vẽ chúng theo vị trí tiêu chuẩn, c có thể là

bất kì số thực nào.

Vậy mình có thể có c bằng 2 ở đây.

Để mình làm như thế này.

Nếu mình nhân vectơ cho 2, mình sẽ có

vectơ 4,2.

Vậy để mình vẽ nó theo vị trí tiêu chuẩn, 4,2.

Nó sẽ ngay đây.

Là vectơ này ở đây.

Vậy nó và vectơ đầu tiên cộng tuyến,

hay cùng phương, nhưng nó dài hơn 2 đơn vị.

Giờ mình có thể làm thêm.

Mình có thể nhân 1.5 cho vectơ v.

Để mình dùng màu khác.

Và như vậy nó sẽ thành gì?

Nó sẽ là 1.5 nhân 2, là 3, 1.5.

Và như vậy nó trông thế nào nhỉ?

Vậy mình sẽ qua phải 3, và lên 1.5,

vậy mình sẽ ở ngay đây.

Mình có thể nhân số nào

cũng được. Mình có thể nhân 1.4999 cho vectơ v

và ra được vectơ ngay đây.

Hay mình có thể nhân trừ 0.0001 với vectơ v.

Mình sẽ viết ra.

mình có thể lấy 0.001 nhân vec tơ v

vậy nó cho mình điều gì

mình sẽ đặt một vec tơ rất nhỏ ở đây

nếu mình lấy âm 0.01, nó sẽ cho một vec tơ rất nhỏ

ở ngay đây chỉ về hướng đó

nếu mình lấy 10, mình sẽ có vec tơ đi

về hướng này đây

nhưng bạn có thể tưởng tượng nếu mình đánh dấu

tất cả vec tơ dưới dạng vị trí tiêu chuẩn, tất cả có thể

được biểu diễn bởi bất kỳ c nào trong số thực, cơ bản

mình sẽ có rất nhiều vec tơ mà khi đó

các mũi tên thẳng hàng ở ngay đây, và tất cả

nằm thẳng hàng kể cả trong hướng âm -- để mình chắc chắn

mình vẽ nó đúng -- dọc theo đường này thế này

mình nghĩ bạn đã nắm được đại khái

vậy đó là một tập hợp các vec tơ cộng tuyến

để mình ghi nó ra

nếu mình xem những vec tơ này là vec tơ vị trí

vec tơ này biểu diễn một điểm trong không gian trong R2-- R2 này chỉ là

mặt phẳng hệ trục toạ độ ở ngay đây trong

mọi hướng, nếu mình coi vec tơ này là vec tơ vị trí

để mình viết ra đây-- nếu chúng ta coi nó như một

toạ độ trong R2, vậy tập hợp này, nếu chúng ta hình dung

nó như rất nhiều vec tơ vị trí, nó sẽ được biểu diễn

bởi đường này ngay đây

và mình muốn làm rõ điều đó vì cơ bản nó là

một đường thẳng, của hệ số góc 2

đúng không?

à không, hệ số góc 1/2

tung độ là 1

tung độ là 1 đi qua 2

nhưng mình không muốn đi sâu vào khái niệm

của đại số 1

nhưng mình muốn làm rõ rằng đường thẳng này của hệ số góc 2

đi qua điểm gốc, đây là nếu chúng ta vẽ tất cả

vec tơ trong tập hợp dưới dạng tiêu chuẩn, hoặc chúng ta vẽ

chúng như là vec tơ vị trí

nếu mình không làm rõ điều đó, hoặc điều kiện đó

mình đã có thể vẽ những vec tơ này ở bất cứ đâu

đúng không?

bởi vì vec tơ 4, 2, mình đã có thể vẽ nó ở đây

sau đó, nếu nói nó cộng tuyến thì có lẽ

bạn đã không thấy điều đó có lý

nhưng mình nghĩ sự cộng tuyến có lý hơn

nếu bạn nói, hãy vẽ chúng dưới dạng tiêu chuẩn

tất cả chúng bắt đầu tại điểm gốc, sau đó đuôi của chúng

nằm tại điểm gốc, và đầu của chúng đi theo

toạ độ chúng biểu diễn

đó là ý của mình khi mình nói về vec tơ vị trí của chúng

chúng không cần thiết phải là vec tơ vị trí, nhưng để

hình dung rõ hơn trong video này, hãy giữ nguyên điều đó

bây giờ mình mới chỉ có thể biểu diễn thứ

đi qua điểm gốc với hệ số góc này

vậy bạn có thể đại khái xem như vec tơ này

biểu diễn hệ số góc của nó

bạn gần như muốn xem nó là vec tơ hệ số góc, nếu bạn muốn

liên kết nó với những gì đã học trong đại số 1

điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta muốn biểu diễn

cái đường khác có hệ số góc đó?

điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta muốn biểu diễn đường tương tự hoặc

một đường song song -- đi qua điểm này ngay đây

điểm 2 phẩy 4

hoặc nếu chúng ta nghĩ về vec tơ vị trí, chúng ta có thể nói

điểm đó được biểu diễn bởi vec tơ, và mình

sẽ gọi nó là x

nó được biểu diễn bởi vec tơ x

và vec tơ x bằng với 2, 4

điểm này ngay đây

điều gì sẽ xảy ra nếu mình muốn biểu diễn đường thẳng song song với

đường đi qua điểm 2, 4

mình muốn biểu diễn đường này ngay đây

mình sẽ cố gắng vẽ nó song song nhất có thể

mình nghĩ bạn đã nắm được ý, và nó cứ tiếp tục như thế

trong mọi hướng

hai đường này song song

làm sao mình có thể biểu diễn tập hợp của các vec tơ này

vẽ dưới dạng tiêu chuẩn, hoặc tất cả các vec tơ

nếu mình vẽ chúng dưới dạng tiêu chuẩn, đường này có xuất hiện không?

bạn có thể nghĩ về nó như thế này

nếu mỗi vec tơ biểu diễn đường này, nếu

mình bắt đầu với bất kỳ vec tơ nào trên đường này, và mình thêm

x vec tơ vào đó, mình sẽ xuất hiện tại một điểm tương ứng

trên đường này và mình muốn

đúng không

gỉa sử mình lấy âm 2 nhân vec tơ gốc, vậy âm 2

nhân với vec tơ v, sẽ bằng gì ?

trừ 4, trừ 2 vậy vec tơ này ở ngay đây

nhưng nếu mình cộng x vào đó, nếu mình cộng vec tơ x

0:07:51.040,0:07:54.670

0:07:58.360,0:08:00.860

0:08:03.130,0:08:04.550

0:08:05.610,0:08:07.990

0:08:16.020,0:08:18.220

0:08:19.650,0:08:22.120

0:08:28.580,0:08:34.669

0:08:39.510,0:08:42.230

0:08:46.540,0:08:59.070

0:09:03.380,0:09:04.310

0:09:06.120,0:09:08.820

0:09:10.460,0:09:14.670

0:09:16.160,0:09:18.730

0:09:25.770,0:09:27.680

0:09:29.330,0:09:33.980

0:09:38.990,0:09:41.700

0:09:43.950,0:09:44.740

0:09:45.560,0:09:48.330

0:09:51.720,0:09:54.430

0:09:57.446,0:09:59.650

0:10:02.110,0:10:05.630

0:10:07.210,0:10:09.320

0:10:12.540,0:10:15.200

0:10:17.360,0:10:19.670

0:10:21.270,0:10:27.170

0:10:30.170,0:10:32.495

0:10:37.440,0:10:40.380

0:10:42.860,0:10:45.620

0:10:49.470,0:10:52.430

0:10:54.050,0:10:56.310

0:10:58.635,0:10:59.720

0:11:03.690,0:11:08.750

0:11:11.320,0:11:14.950

0:11:17.610,0:11:21.670

0:11:24.650,0:11:26.170

0:11:28.090,0:11:30.060

0:11:39.410,0:11:42.630

0:11:47.550,0:11:50.620

0:11:56.530,0:11:59.890

0:12:05.110,0:12:07.563

0:12:08.300,0:12:12.575

0:12:14.760,0:12:16.930

0:12:19.670,0:12:21.030

0:12:24.150,0:12:25.880

0:12:28.950,0:12:33.270

0:12:35.710,0:12:38.380

0:12:42.180,0:12:44.565

0:12:50.910,0:12:51.830

0:12:53.360,0:12:57.300

0:13:01.760,0:13:05.080

0:13:06.320,0:13:09.220

0:13:13.430,0:13:18.630

0:13:24.040,0:13:25.950

0:13:29.280,0:13:31.520

0:13:33.880,0:13:36.800

0:13:38.620,0:13:43.340

0:13:44.400,0:13:46.500

0:13:48.860,0:13:52.460

0:13:52.940,0:13:56.210

0:14:01.380,0:14:02.490

0:14:07.220,0:14:10.570

0:14:15.740,0:14:17.120

0:14:19.610,0:14:22.240

0:14:26.500,0:14:28.340

0:14:30.060,0:14:33.830

0:14:38.600,0:14:40.320

0:14:43.520,0:14:45.250

0:14:49.300,0:14:52.360

0:14:53.810,0:14:56.780

0:15:03.020,0:15:05.630

0:15:08.370,0:15:10.960

0:15:13.550,0:15:15.150

0:15:17.520,0:15:18.640

0:15:20.950,0:15:21.660

0:15:26.720,0:15:31.100

0:15:35.050,0:15:37.430

0:15:38.250,0:15:41.230

0:15:43.380,0:15:43.600

0:15:45.160,0:15:47.360

0:15:50.100,0:15:55.390

0:16:01.860,0:16:04.290

0:16:06.130,0:16:11.510

0:16:12.850,0:16:15.240

0:16:16.940,0:16:17.670

0:16:22.230,0:16:26.210

0:16:27.480,0:16:30.680

0:16:37.740,0:16:39.940

0:16:42.260,0:16:51.670

0:16:54.090,0:16:57.110

0:16:59.530,0:17:01.190

0:17:05.290,0:17:09.949

0:17:13.339,0:17:17.109

0:17:17.940,0:17:19.199

0:17:24.369,0:17:27.510

0:17:29.620,0:17:36.090

0:17:36.490,0:17:39.790

0:17:41.950,0:17:45.900

0:17:54.710,0:17:56.900

0:18:00.330,0:18:05.110

0:18:08.200,0:18:12.070

0:18:18.420,0:18:21.120

0:18:24.090,0:18:34.800

0:18:37.630,0:18:43.790

0:18:46.570,0:18:49.390

0:18:53.020,0:18:55.860

0:18:57.580,0:19:00.100

0:19:03.020,0:19:05.490

0:19:06.320,0:19:07.680

0:19:10.260,0:19:12.420

0:19:13.910,0:19:15.520

0:19:18.025,0:19:19.080

0:19:21.530,0:19:23.350

0:19:28.090,0:19:29.850

0:19:32.540,0:19:34.050

0:19:36.530,0:19:37.420

0:19:42.580,0:19:46.120

0:19:49.670,0:19:50.920

0:19:57.020,0:20:00.540

0:20:02.510,0:20:05.660

0:20:10.720,0:20:13.370

0:20:18.310,0:20:20.870

0:20:24.750,0:20:28.860

0:20:29.870,0:20:31.860

0:20:35.450,0:20:40.580

0:20:42.120,0:20:43.690

0:20:44.780,0:20:47.530

0:20:54.860,0:20:59.650

0:21:04.740,0:21:07.540

0:21:09.140,0:21:13.450

0:21:18.280,0:21:20.440

0:21:23.700,0:21:28.520

0:21:39.010,0:21:45.360

0:21:46.690,0:21:49.770

0:21:52.650,0:21:54.860

0:21:57.850,0:22:05.860

0:22:09.360,0:22:13.050

0:22:17.530,0:22:19.750

0:22:23.540,0:22:27.030

0:22:29.520,0:22:31.190

0:22:36.420,0:22:41.840

0:22:48.600,0:22:52.800

0:22:55.280,0:22:59.000

0:23:04.800,0:23:08.690

0:23:12.290,0:23:13.940

0:23:20.115,0:23:22.680

0:23:25.640,0:23:29.110

0:23:30.550,0:23:31.870

0:23:33.830,0:23:37.420

0:23:38.810,0:23:41.380

0:23:46.580,0:23:49.210

0:23:51.110,0:23:52.360

0:23:57.910,0:24:01.020

0:24:03.950,0:24:06.890

0:24:09.850,0:24:11.650

0:24:15.600,0:24:17.050

0:24:20.340,0:24:23.450

0:24:25.480,0:24:27.930

0:24:29.410,0:24:31.410

0:24:35.200,0:24:40.450

0:24:43.060,0:24:45.340