Calculating dot and cross products with unit vector notation

Досега, когато разглеждахме
скаларното и векторното

произведение, казах,
че дефиницията е:

дължината по косинуса или
по синуса на

ъгъла между тях.

Но какво правим, когато
векторите не са начертани?

Или ако не знаем
ъгъла между тях?

Как се изчисляват тогава
двете произведения?

Ще ти дам

дефиниция за това.

Имаме скаларно произведение a.b

Това е равно на дължината на a,
умножена по дължината на b,

по косинуса на ъгъла между тях.

a x b е равно на дължината на a,
умножена по

дължината на b, по синуса
на ъгъла между тях,

т.е. техните перпендикулярни
проекции, умножени по

перпендикулярния на тях
нормален вектор.

Определяш кой е нормалният

единичен вектор посредством

правилото на дясната ръка.

Но ако не знаем ъгъл тита, т.е.

ъгъла между тях?

Например, ако ти дам вектор a,
представен като линейна комбинация

от единичните вектори по
съответните координатни оси.

При този начин на записване
представяме вектора

чрез компонентите му x, y и z.

Тогава вектор a ще бъде равен на 5i –
i е единичният вектор

в посоката на x – минус 6j плюс 3k.

i, j и k са единичните вектори на

посоките x, y и z.

5 е големината по посоката на x.

–6 е големината по посоката на y,

3 е големината по посоката на z.

Можеш да го начертаеш.

Ще опитам да намеря
научния калкулатор.

Използвал съм го преди,
за да ти дам по-точна представа.

Да кажем, че имаме само тези данни.

Ще си измисля стойности за b –

например -2i. Вече работим

в три измерения. Плюс 7j плюс 4k.

Можеш да го начертаеш.

Всъщност, ако имаш задача

и се опитваш да начертаеш
вектори с компютърна програма,

се процедира по този начин.

Разбиваш ги на компоненти x, y и z,

защото събираш вектори –

събираш съответните компоненти.

Но как се умножават те
в скаларното или

векторното произведение?

Всъщност няма да го докажа тук, но

ще ти покажа как се прави.

Скаларното произведение
е много лесно,

когато е дадено в тази нотация.

Тя може да се изпише и
със скоби.

Може да се представи като <5; –6; 3>,

т.е. само дължините в посоките x, y и z.

Искам да се уверя, че познаваш добре

различните начини
на представяне.

Можеш да напишеш b като <–2; 7; 4>.

Едно и също е.

Не трябва да се притесняваш,
ако видиш някоя от тях.

Как да изчисля a.b ?

Смятам, че това ще ти е приятно.

Трябва само да умножиш компонентите i,
да прибавиш резултата към

умножените компоненти j
и да прибавиш този сбор към

умножените компоненти k.

Значи (5 по –2) + (–6 по 7) + (3 по 4).

Това е равно на –10 – 42 + 12.

Получава се –52 + 12 = –40.

Това е, просто едно число.

Интересно ми е да го начертая триизмерно

с програма, за да видя защо е –40.

Сигурно имат противоположни посоки,

както и проекциите им
са с обратни посоки.

Затова получаваме отрицателно число.

За целта на видеоклипа няма да

се впускам в детайли –
но това е много лесно.

Трябва само да умножиш
компонентите x,

добавяш резултата към умножените
компоненти y и сборът прибавяш към

умножените компоненти z.

Когато трябва да изчисля
скаларно произведение на вектор,

записан като комбинация от
елементите по трите оси или в скоби,

изчисляването е много
приятно и лесно.

Както ще видиш обаче, изчисляването
на векторното произведение

с тези начини на представяне

не е толкова просто.

Имай предвид, че има друг начин,
по който да се направи това.

Първо намираш дължините
на векторите и изчисляваш

ъглите чрез "сложна тригонометрия“,
и използваш тази дефиниция.

Смятам, че разбираш колко
по-просто е това.

Скаларното произведение е приятно.

Да видим дали можем да изчислим
векторното произведение.

Няма да го доказвам.

Само ще ти покажа как да го направиш.

Сигурен съм, че ще получа заявка

да го докажа в някой следващ клип.

Векторното произведение е по-сложно

и никога не ми е приятно да го изчислявам

за два вектора, представени като
линейна комбинация на ед. вектори по осите.

a x b,

знак за равенство.

Тук ще използваме матрици.

Взимаме детерминантата.
Ще начертая

голяма линия.

Така ще запомниш лесно

как да го правиш.

Не ти дава много ясно обяснение, но

то се подразбира в самата дефиниция.

Взимаш дължините
на перпендикулярните вектори,

умножаваш ги,

а правилото на дясната ръка
ти дава посоката.

Ако имаш запис като линейна комбинация
от ед. вектори по трите оси,

трябва да напишеш единичните вектори
i, j, k в горния ред.

i, j, k.

След това пишеш първия вектор
във векторното произведение,

защото редът има значение.

5; –6; 3.

След това, втория вектор –

–2; 7; 4.

Как да изчислиш детерминантата

на матрица с размер 3x3?

Това е равно на адюнгираното
количество за i.

Ако отстраниш тази колона

и този ред, детерминантата,
която остава, е адюнгираното количество.

Тя е –6; 3; 7; 4, умножено по i.
Можеш да прегледаш

детерминантите, ако не си спомняш
как се изчисляват.

А може би ще си припомниш,
докато гледаш обясненията ми.

Запомни – плюс, минус, плюс.

След това изваждаме
адюнгираното количество за j.

Колко е тя?

Зачеркваш редовете и колоните на j.

Получаваш 5; 3; –2; 4 по j.

Зачеркнахме колоната и реда на j.

Останалите числа са

в поддетерминантата,

както я наричам аз.

Искам да ги напиша в един ред, за да

бъде по-ясно. Плюс

адюнгираното количество за k.

Зачеркни реда и колоната за k.

Остават 5; –6; –2 и 7 по k.

Сега да изчислим.

Ще освободя малко място, защото

съм изписал доста.

Това вече не ни трябва.

Какво получаваме?

Продължаваме тук горе.

Детерминантите с размер
2x2 са лесни.

Тук е (–6x4) – (7x3).

Винаги правя грешки от невнимание.

(–24–21)i – (20 – –6)j + (35 – 12)k

(–24–21)i – (20 – –6)j + (35 – 12)k

(–24–21)i – (20 – –6)j + (35 – 12)k

Тук ще опростя израза.

е равно на (–35)i – 26j + 23k.

е равно на (–35)i – 26j + 23k.

е равно на (–35)i – 26j + 23k.

е равно на (–35)i – 26j + 23k.

е равно на (–35)i – 26j + 23k.

е равно на (–35)i – 26j + 23k.

е равно на (–35)i – 26j + 23k.

е равно на (–35)i – 26j + 23k.

Това е векторното произведение.

Интересно е, че ако начертаеш
това в три измерения,

ще видиш, че ако изчисленията ми
са правилни,

този вектор –35i, –26j, 23k

е перпендикулярен на тези два вектора.

Ще спра дотук и ще се видим

в следващия видеоклип.

Надявам се да намеря програма
за чертане на вектори,

защото смятам че ще бъде
интересно да смятаме

скаларни и векторни произведения
чрез методите, които ти показах,

и след това да ги чертаем.
Така ще видиш, че наистина работи –

че този вектор наистина е
перпендикулярен на тези два

и е насочен в посоката,
която определихме чрез

правилото на дясната ръка.

Ще се видим в следващия видеоклип.