0:00:00.000,0:00:03.000
Досега, когато разглеждахме[br]скаларното и векторното

0:00:03.000,0:00:05.680
произведение, казах,[br]че дефиницията е:

0:00:05.680,0:00:08.000
дължината по косинуса или [br]по синуса на

0:00:08.000,0:00:09.740
ъгъла между тях.

0:00:09.740,0:00:12.660
Но какво правим, когато [br]векторите не са начертани?

0:00:12.660,0:00:14.000
Или ако не знаем[br]ъгъла между тях?

0:00:14.000,0:00:17.000
Как се изчисляват тогава[br]двете произведения?

0:00:17.000,0:00:19.000
Ще ти дам

0:00:19.000,0:00:20.000
дефиниция за това.

0:00:20.000,0:00:26.000
Имаме скаларно произведение a.b

0:00:26.000,0:00:31.000
Това е равно на дължината на a, [br]умножена по дължината на b,

0:00:31.000,0:00:34.000
по косинуса на ъгъла между тях.

0:00:34.000,0:00:39.000
a x b е равно на дължината на a,[br]умножена по

0:00:39.000,0:00:44.000
дължината на b, по синуса[br]на ъгъла между тях,

0:00:44.000,0:00:48.000
т.е. техните перпендикулярни[br]проекции, умножени по

0:00:48.000,0:00:50.810
перпендикулярния на тях [br]нормален вектор.

0:00:50.810,0:00:53.000
Определяш кой е нормалният

0:00:53.000,0:00:55.000
единичен вектор посредством

0:00:55.000,0:00:56.660
правилото на дясната ръка.

0:00:56.660,0:01:00.000
Но ако не знаем ъгъл тита, т.е.

0:01:00.000,0:01:01.600
ъгъла между тях?

0:01:01.600,0:01:05.230
Например, ако ти дам вектор a,[br]представен като линейна комбинация

0:01:05.230,0:01:10.390
от единичните вектори по [br]съответните координатни оси.

0:01:10.390,0:01:13.020
При този начин на записване[br]представяме вектора

0:01:13.020,0:01:16.000
чрез компонентите му x, y и z.

0:01:16.000,0:01:23.000
Тогава вектор a ще бъде равен на 5i –[br]i е единичният вектор

0:01:23.000,0:01:33.980
в посоката на x – минус 6j плюс 3k.

0:01:34.000,0:01:37.000
i, j и k са единичните вектори на

0:01:37.000,0:01:38.580
посоките x, y и z.

0:01:38.580,0:01:40.970
5 е големината по посоката на x.

0:01:40.970,0:01:43.330
–6 е големината по посоката на y,

0:01:43.330,0:01:45.760
3 е големината по посоката на z.

0:01:45.760,0:01:47.000
Можеш да го начертаеш.

0:01:47.000,0:01:48.900
Ще опитам да намеря [br]научния калкулатор.

0:01:48.900,0:01:51.980
Използвал съм го преди, [br]за да ти дам по-точна представа.

0:01:52.000,0:01:53.900
Да кажем, че имаме само тези данни.

0:01:53.900,0:02:00.000
Ще си измисля стойности за b –

0:02:00.000,0:02:04.000
например -2i. Вече работим

0:02:04.000,0:02:14.590
в три измерения. Плюс 7j плюс 4k.

0:02:14.590,0:02:15.880
Можеш да го начертаеш.

0:02:15.880,0:02:19.000
Всъщност, ако имаш задача

0:02:19.000,0:02:22.370
и се опитваш да начертаеш[br]вектори с компютърна програма,

0:02:22.370,0:02:23.560
се процедира по този начин.

0:02:23.560,0:02:25.000
Разбиваш ги на компоненти x, y и z,

0:02:25.000,0:02:26.000
защото събираш вектори –

0:02:26.000,0:02:28.310
събираш съответните компоненти.

0:02:28.310,0:02:31.000
Но как се умножават те [br]в скаларното или

0:02:31.000,0:02:32.000
векторното произведение?

0:02:32.000,0:02:34.000
Всъщност няма да го докажа тук, но

0:02:34.000,0:02:35.000
ще ти покажа как се прави.

0:02:35.000,0:02:38.000
Скаларното произведение[br]е много лесно,

0:02:38.000,0:02:39.000
когато е дадено в тази нотация.

0:02:39.000,0:02:41.980
Тя може да се изпише и[br]със скоби.

0:02:42.000,0:02:46.000
Може да се представи като <5; –6; 3>,

0:02:46.000,0:02:49.860
т.е. само дължините в посоките x, y и z.

0:02:49.860,0:02:53.000
Искам да се уверя, че познаваш добре

0:02:53.000,0:02:54.490
различните начини[br]на представяне.

0:02:54.490,0:02:57.430
Можеш да напишеш b като <–2; 7; 4>.

0:02:57.430,0:02:58.530
Едно и също е.

0:02:58.530,0:03:00.000
Не трябва да се притесняваш,[br]ако видиш някоя от тях.

0:03:00.000,0:03:07.930
Как да изчисля a.b ?

0:03:08.000,0:03:10.780
Смятам, че това ще ти е приятно.

0:03:10.780,0:03:15.000
Трябва само да умножиш компонентите i, [br]да прибавиш резултата към

0:03:15.000,0:03:18.000
умножените компоненти j [br]и да прибавиш този сбор към

0:03:18.000,0:03:20.000
умножените компоненти k.

0:03:20.000,0:03:39.350
Значи (5 по –2) + (–6 по 7) + (3 по 4).

0:03:39.350,0:03:45.000
Това е равно на –10 – 42 + 12.

0:03:45.000,0:03:52.000
Получава се –52 + 12 = –40.

0:03:52.000,0:03:54.000
Това е, просто едно число.

0:03:54.000,0:03:57.000
Интересно ми е да го начертая триизмерно

0:03:57.000,0:04:00.660
с програма, за да видя защо е –40.

0:04:00.660,0:04:03.000
Сигурно имат противоположни посоки,

0:04:03.000,0:04:06.020
както и проекциите им [br]са с обратни посоки.

0:04:06.020,0:04:10.950
Затова получаваме отрицателно число.

0:04:11.000,0:04:13.000
За целта на видеоклипа няма да

0:04:13.000,0:04:15.000
се впускам в детайли – [br]но това е много лесно.

0:04:15.000,0:04:18.000
Трябва само да умножиш[br]компонентите x,

0:04:18.000,0:04:22.000
добавяш резултата към умножените [br]компоненти y и сборът прибавяш към

0:04:22.000,0:04:23.530
умножените компоненти z.

0:04:23.530,0:04:25.000
Когато трябва да изчисля[br]скаларно произведение на вектор,

0:04:25.000,0:04:28.000
записан като комбинация от[br]елементите по трите оси или в скоби,

0:04:28.000,0:04:33.000
изчисляването е много [br]приятно и лесно.

0:04:33.000,0:04:37.000
Както ще видиш обаче, изчисляването [br]на векторното произведение

0:04:37.000,0:04:40.000
с тези начини на представяне

0:04:40.000,0:04:41.000
не е толкова просто.

0:04:41.000,0:04:44.000
Имай предвид, че има друг начин,[br]по който да се направи това.

0:04:44.010,0:04:49.000
Първо намираш дължините[br]на векторите и изчисляваш

0:04:49.000,0:04:52.000
ъглите чрез "сложна тригонометрия“,[br]и използваш тази дефиниция.

0:04:52.000,0:04:56.970
Смятам, че разбираш колко[br]по-просто е това.

0:04:57.000,0:04:59.000
Скаларното произведение е приятно.

0:04:59.000,0:05:02.000
Да видим дали можем да изчислим [br]векторното произведение.

0:05:02.000,0:05:04.000
Няма да го доказвам.

0:05:04.000,0:05:06.000
Само ще ти покажа как да го направиш.

0:05:06.000,0:05:09.000
Сигурен съм, че ще получа заявка

0:05:09.000,0:05:12.020
да го докажа в някой следващ клип.

0:05:12.020,0:05:15.000
Векторното произведение е по-сложно

0:05:15.000,0:05:18.000
и никога не ми е приятно да го изчислявам

0:05:18.000,0:05:20.000
за два вектора, представени като[br]линейна комбинация на ед. вектори по осите.

0:05:20.000,0:05:22.000
a x b,

0:05:22.000,0:05:23.000
знак за равенство.

0:05:23.000,0:05:27.000
Тук ще използваме матрици.

0:05:27.000,0:05:31.000
Взимаме детерминантата. [br]Ще начертая

0:05:31.000,0:05:34.000
голяма линия.

0:05:34.000,0:05:35.000
Така ще запомниш лесно

0:05:35.000,0:05:37.000
как да го правиш.

0:05:37.000,0:05:39.000
Не ти дава много ясно обяснение, но

0:05:39.000,0:05:41.000
то се подразбира в самата дефиниция.

0:05:41.000,0:05:44.000
Взимаш дължините[br]на перпендикулярните вектори,

0:05:44.000,0:05:45.000
умножаваш ги,

0:05:45.000,0:05:47.970
а правилото на дясната ръка [br]ти дава посоката.

0:05:48.000,0:05:51.740
Ако имаш запис като линейна комбинация[br]от ед. вектори по трите оси,

0:05:51.740,0:05:55.000
трябва да напишеш единичните вектори[br]i, j, k в горния ред.

0:05:55.000,0:06:00.000
i, j, k.

0:06:00.000,0:06:02.000
След това пишеш първия вектор [br]във векторното произведение,

0:06:02.000,0:06:03.880
защото редът има значение.

0:06:03.880,0:06:09.000
5; –6; 3.

0:06:09.000,0:06:12.000
След това, втория вектор –

0:06:12.000,0:06:17.250
–2; 7; 4.

0:06:17.250,0:06:19.000
Как да изчислиш детерминантата

0:06:19.000,0:06:21.000
на матрица с размер 3x3?

0:06:21.000,0:06:26.250
Това е равно на адюнгираното[br]количество за i.

0:06:26.250,0:06:28.000
Ако отстраниш тази колона

0:06:28.000,0:06:31.000
и този ред, детерминантата, [br]която остава, е адюнгираното количество.

0:06:31.000,0:06:40.000
Тя е –6; 3; 7; 4, умножено по i. [br]Можеш да прегледаш

0:06:40.000,0:06:42.800
детерминантите, ако не си спомняш[br]как се изчисляват.

0:06:42.800,0:06:47.710
А може би ще си припомниш,[br]докато гледаш обясненията ми.

0:06:47.710,0:06:50.530
Запомни – плюс, минус, плюс.

0:06:50.530,0:06:53.500
След това изваждаме [br]адюнгираното количество за j.

0:06:53.500,0:06:55.000
Колко е тя?

0:06:55.000,0:06:57.000
Зачеркваш редовете и колоните на j.

0:06:57.000,0:07:04.980
Получаваш 5; 3; –2; 4 по j.

0:07:05.000,0:07:07.000
Зачеркнахме колоната и реда на j.

0:07:07.000,0:07:09.000
Останалите числа са

0:07:09.000,0:07:11.000
в поддетерминантата,

0:07:11.000,0:07:13.000
както я наричам аз.

0:07:13.000,0:07:18.000
Искам да ги напиша в един ред, за да

0:07:18.000,0:07:19.000
бъде по-ясно. Плюс

0:07:19.000,0:07:20.000
адюнгираното количество за k.

0:07:20.000,0:07:24.230
Зачеркни реда и колоната за k.

0:07:24.230,0:07:35.000
Остават 5; –6; –2 и 7 по k.

0:07:35.000,0:07:36.950
Сега да изчислим.

0:07:36.950,0:07:39.800
Ще освободя малко място, защото

0:07:39.800,0:07:41.000
съм изписал доста.

0:07:41.000,0:07:43.790
Това вече не ни трябва.

0:07:43.790,0:07:46.000
Какво получаваме?

0:07:46.000,0:07:49.000
Продължаваме тук горе.

0:07:49.000,0:07:51.000
Детерминантите с размер [br]2x2 са лесни.

0:07:51.000,0:07:58.000
Тук е (–6x4) – (7x3).

0:07:58.000,0:08:00.000
Винаги правя грешки от невнимание.

0:08:00.000,0:08:10.000
(–24–21)i – (20 – –6)j + (35 – 12)k

0:08:10.000,0:08:23.000
(–24–21)i – (20 – –6)j + (35 – 12)k

0:08:23.000,0:08:25.000
(–24–21)i – (20 – –6)j + (35 – 12)k

0:08:25.000,0:08:31.110
Тук ще опростя израза.

0:08:31.110,0:08:34.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

0:08:34.000,0:08:40.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

0:08:40.000,0:08:43.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

0:08:43.000,0:08:46.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

0:08:46.000,0:08:47.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

0:08:47.000,0:08:51.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

0:08:51.000,0:08:54.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

0:08:54.000,0:08:57.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

0:08:57.000,0:08:58.880
Това е векторното произведение.

0:08:58.880,0:09:01.000
Интересно е, че ако начертаеш[br]това в три измерения,

0:09:01.000,0:09:03.860
ще видиш, че ако изчисленията ми [br]са правилни,

0:09:03.860,0:09:10.610
този вектор –35i, –26j, 23k

0:09:10.610,0:09:15.950
е перпендикулярен на тези два вектора.

0:09:15.950,0:09:19.000
Ще спра дотук и ще се видим

0:09:19.000,0:09:20.000
в следващия видеоклип.

0:09:20.000,0:09:22.000
Надявам се да намеря програма [br]за чертане на вектори,

0:09:22.000,0:09:25.000
защото смятам че ще бъде [br]интересно да смятаме

0:09:25.000,0:09:29.000
скаларни и векторни произведения [br]чрез методите, които ти показах,

0:09:29.000,0:09:31.000
и след това да ги чертаем.[br]Така ще видиш, че наистина работи –

0:09:31.000,0:09:36.000
че този вектор наистина е [br]перпендикулярен на тези два

0:09:36.000,0:09:40.000
и е насочен в посоката, [br]която определихме чрез

0:09:40.000,0:09:42.000
правилото на дясната ръка.

0:09:42.000,0:09:44.950
Ще се видим в следващия видеоклип.