WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.000
Досега, когато разглеждахме
скаларното и векторното

00:00:03.000 --> 00:00:05.680
произведение, казах,
че дефиницията е:

00:00:05.680 --> 00:00:08.000
дължината по косинуса или 
по синуса на

00:00:08.000 --> 00:00:09.740
ъгъла между тях.

00:00:09.740 --> 00:00:12.660
Но какво правим, когато 
векторите не са начертани?

00:00:12.660 --> 00:00:14.000
Или ако не знаем
ъгъла между тях?

00:00:14.000 --> 00:00:17.000
Как се изчисляват тогава
двете произведения?

00:00:17.000 --> 00:00:19.000
Ще ти дам

00:00:19.000 --> 00:00:20.000
дефиниция за това.

00:00:20.000 --> 00:00:26.000
Имаме скаларно произведение a.b

00:00:26.000 --> 00:00:31.000
Това е равно на дължината на a, 
умножена по дължината на b,

00:00:31.000 --> 00:00:34.000
по косинуса на ъгъла между тях.

00:00:34.000 --> 00:00:39.000
a x b е равно на дължината на a,
умножена по

00:00:39.000 --> 00:00:44.000
дължината на b, по синуса
на ъгъла между тях,

00:00:44.000 --> 00:00:48.000
т.е. техните перпендикулярни
проекции, умножени по

00:00:48.000 --> 00:00:50.810
перпендикулярния на тях 
нормален вектор.

00:00:50.810 --> 00:00:53.000
Определяш кой е нормалният

00:00:53.000 --> 00:00:55.000
единичен вектор посредством

00:00:55.000 --> 00:00:56.660
правилото на дясната ръка.

00:00:56.660 --> 00:01:00.000
Но ако не знаем ъгъл тита, т.е.

00:01:00.000 --> 00:01:01.600
ъгъла между тях?

00:01:01.600 --> 00:01:05.230
Например, ако ти дам вектор a,
представен като линейна комбинация

00:01:05.230 --> 00:01:10.390
от единичните вектори по 
съответните координатни оси.

00:01:10.390 --> 00:01:13.020
При този начин на записване
представяме вектора

00:01:13.020 --> 00:01:16.000
чрез компонентите му x, y и z.

00:01:16.000 --> 00:01:23.000
Тогава вектор a ще бъде равен на 5i –
i е единичният вектор

00:01:23.000 --> 00:01:33.980
в посоката на x – минус 6j плюс 3k.

00:01:34.000 --> 00:01:37.000
i, j и k са единичните вектори на

00:01:37.000 --> 00:01:38.580
посоките x, y и z.

00:01:38.580 --> 00:01:40.970
5 е големината по посоката на x.

00:01:40.970 --> 00:01:43.330
–6 е големината по посоката на y,

00:01:43.330 --> 00:01:45.760
3 е големината по посоката на z.

00:01:45.760 --> 00:01:47.000
Можеш да го начертаеш.

00:01:47.000 --> 00:01:48.900
Ще опитам да намеря 
научния калкулатор.

00:01:48.900 --> 00:01:51.980
Използвал съм го преди, 
за да ти дам по-точна представа.

00:01:52.000 --> 00:01:53.900
Да кажем, че имаме само тези данни.

00:01:53.900 --> 00:02:00.000
Ще си измисля стойности за b –

00:02:00.000 --> 00:02:04.000
например -2i. Вече работим

00:02:04.000 --> 00:02:14.590
в три измерения. Плюс 7j плюс 4k.

00:02:14.590 --> 00:02:15.880
Можеш да го начертаеш.

00:02:15.880 --> 00:02:19.000
Всъщност, ако имаш задача

00:02:19.000 --> 00:02:22.370
и се опитваш да начертаеш
вектори с компютърна програма,

00:02:22.370 --> 00:02:23.560
се процедира по този начин.

00:02:23.560 --> 00:02:25.000
Разбиваш ги на компоненти x, y и z,

00:02:25.000 --> 00:02:26.000
защото събираш вектори –

00:02:26.000 --> 00:02:28.310
събираш съответните компоненти.

00:02:28.310 --> 00:02:31.000
Но как се умножават те 
в скаларното или

00:02:31.000 --> 00:02:32.000
векторното произведение?

00:02:32.000 --> 00:02:34.000
Всъщност няма да го докажа тук, но

00:02:34.000 --> 00:02:35.000
ще ти покажа как се прави.

00:02:35.000 --> 00:02:38.000
Скаларното произведение
е много лесно,

00:02:38.000 --> 00:02:39.000
когато е дадено в тази нотация.

00:02:39.000 --> 00:02:41.980
Тя може да се изпише и
със скоби.

00:02:42.000 --> 00:02:46.000
Може да се представи като <5; –6; 3>,

00:02:46.000 --> 00:02:49.860
т.е. само дължините в посоките x, y и z.

00:02:49.860 --> 00:02:53.000
Искам да се уверя, че познаваш добре

00:02:53.000 --> 00:02:54.490
различните начини
на представяне.

00:02:54.490 --> 00:02:57.430
Можеш да напишеш b като <–2; 7; 4>.

00:02:57.430 --> 00:02:58.530
Едно и също е.

00:02:58.530 --> 00:03:00.000
Не трябва да се притесняваш,
ако видиш някоя от тях.

00:03:00.000 --> 00:03:07.930
Как да изчисля a.b ?

00:03:08.000 --> 00:03:10.780
Смятам, че това ще ти е приятно.

00:03:10.780 --> 00:03:15.000
Трябва само да умножиш компонентите i, 
да прибавиш резултата към

00:03:15.000 --> 00:03:18.000
умножените компоненти j 
и да прибавиш този сбор към

00:03:18.000 --> 00:03:20.000
умножените компоненти k.

00:03:20.000 --> 00:03:39.350
Значи (5 по –2) + (–6 по 7) + (3 по 4).

00:03:39.350 --> 00:03:45.000
Това е равно на –10 – 42 + 12.

00:03:45.000 --> 00:03:52.000
Получава се –52 + 12 = –40.

00:03:52.000 --> 00:03:54.000
Това е, просто едно число.

00:03:54.000 --> 00:03:57.000
Интересно ми е да го начертая триизмерно

00:03:57.000 --> 00:04:00.660
с програма, за да видя защо е –40.

00:04:00.660 --> 00:04:03.000
Сигурно имат противоположни посоки,

00:04:03.000 --> 00:04:06.020
както и проекциите им 
са с обратни посоки.

00:04:06.020 --> 00:04:10.950
Затова получаваме отрицателно число.

00:04:11.000 --> 00:04:13.000
За целта на видеоклипа няма да

00:04:13.000 --> 00:04:15.000
се впускам в детайли – 
но това е много лесно.

00:04:15.000 --> 00:04:18.000
Трябва само да умножиш
компонентите x,

00:04:18.000 --> 00:04:22.000
добавяш резултата към умножените 
компоненти y и сборът прибавяш към

00:04:22.000 --> 00:04:23.530
умножените компоненти z.

00:04:23.530 --> 00:04:25.000
Когато трябва да изчисля
скаларно произведение на вектор,

00:04:25.000 --> 00:04:28.000
записан като комбинация от
елементите по трите оси или в скоби,

00:04:28.000 --> 00:04:33.000
изчисляването е много 
приятно и лесно.

00:04:33.000 --> 00:04:37.000
Както ще видиш обаче, изчисляването 
на векторното произведение

00:04:37.000 --> 00:04:40.000
с тези начини на представяне

00:04:40.000 --> 00:04:41.000
не е толкова просто.

00:04:41.000 --> 00:04:44.000
Имай предвид, че има друг начин,
по който да се направи това.

00:04:44.010 --> 00:04:49.000
Първо намираш дължините
на векторите и изчисляваш

00:04:49.000 --> 00:04:52.000
ъглите чрез "сложна тригонометрия“,
и използваш тази дефиниция.

00:04:52.000 --> 00:04:56.970
Смятам, че разбираш колко
по-просто е това.

00:04:57.000 --> 00:04:59.000
Скаларното произведение е приятно.

00:04:59.000 --> 00:05:02.000
Да видим дали можем да изчислим 
векторното произведение.

00:05:02.000 --> 00:05:04.000
Няма да го доказвам.

00:05:04.000 --> 00:05:06.000
Само ще ти покажа как да го направиш.

00:05:06.000 --> 00:05:09.000
Сигурен съм, че ще получа заявка

00:05:09.000 --> 00:05:12.020
да го докажа в някой следващ клип.

00:05:12.020 --> 00:05:15.000
Векторното произведение е по-сложно

00:05:15.000 --> 00:05:18.000
и никога не ми е приятно да го изчислявам

00:05:18.000 --> 00:05:20.000
за два вектора, представени като
линейна комбинация на ед. вектори по осите.

00:05:20.000 --> 00:05:22.000
a x b,

00:05:22.000 --> 00:05:23.000
знак за равенство.

00:05:23.000 --> 00:05:27.000
Тук ще използваме матрици.

00:05:27.000 --> 00:05:31.000
Взимаме детерминантата. 
Ще начертая

00:05:31.000 --> 00:05:34.000
голяма линия.

00:05:34.000 --> 00:05:35.000
Така ще запомниш лесно

00:05:35.000 --> 00:05:37.000
как да го правиш.

00:05:37.000 --> 00:05:39.000
Не ти дава много ясно обяснение, но

00:05:39.000 --> 00:05:41.000
то се подразбира в самата дефиниция.

00:05:41.000 --> 00:05:44.000
Взимаш дължините
на перпендикулярните вектори,

00:05:44.000 --> 00:05:45.000
умножаваш ги,

00:05:45.000 --> 00:05:47.970
а правилото на дясната ръка 
ти дава посоката.

00:05:48.000 --> 00:05:51.740
Ако имаш запис като линейна комбинация
от ед. вектори по трите оси,

00:05:51.740 --> 00:05:55.000
трябва да напишеш единичните вектори
i, j, k в горния ред.

00:05:55.000 --> 00:06:00.000
i, j, k.

00:06:00.000 --> 00:06:02.000
След това пишеш първия вектор 
във векторното произведение,

00:06:02.000 --> 00:06:03.880
защото редът има значение.

00:06:03.880 --> 00:06:09.000
5; –6; 3.

00:06:09.000 --> 00:06:12.000
След това, втория вектор –

00:06:12.000 --> 00:06:17.250
–2; 7; 4.

00:06:17.250 --> 00:06:19.000
Как да изчислиш детерминантата

00:06:19.000 --> 00:06:21.000
на матрица с размер 3x3?

00:06:21.000 --> 00:06:26.250
Това е равно на адюнгираното
количество за i.

00:06:26.250 --> 00:06:28.000
Ако отстраниш тази колона

00:06:28.000 --> 00:06:31.000
и този ред, детерминантата, 
която остава, е адюнгираното количество.

00:06:31.000 --> 00:06:40.000
Тя е –6; 3; 7; 4, умножено по i. 
Можеш да прегледаш

00:06:40.000 --> 00:06:42.800
детерминантите, ако не си спомняш
как се изчисляват.

00:06:42.800 --> 00:06:47.710
А може би ще си припомниш,
докато гледаш обясненията ми.

00:06:47.710 --> 00:06:50.530
Запомни – плюс, минус, плюс.

00:06:50.530 --> 00:06:53.500
След това изваждаме 
адюнгираното количество за j.

00:06:53.500 --> 00:06:55.000
Колко е тя?

00:06:55.000 --> 00:06:57.000
Зачеркваш редовете и колоните на j.

00:06:57.000 --> 00:07:04.980
Получаваш 5; 3; –2; 4 по j.

00:07:05.000 --> 00:07:07.000
Зачеркнахме колоната и реда на j.

00:07:07.000 --> 00:07:09.000
Останалите числа са

00:07:09.000 --> 00:07:11.000
в поддетерминантата,

00:07:11.000 --> 00:07:13.000
както я наричам аз.

00:07:13.000 --> 00:07:18.000
Искам да ги напиша в един ред, за да

00:07:18.000 --> 00:07:19.000
бъде по-ясно. Плюс

00:07:19.000 --> 00:07:20.000
адюнгираното количество за k.

00:07:20.000 --> 00:07:24.230
Зачеркни реда и колоната за k.

00:07:24.230 --> 00:07:35.000
Остават 5; –6; –2 и 7 по k.

00:07:35.000 --> 00:07:36.950
Сега да изчислим.

00:07:36.950 --> 00:07:39.800
Ще освободя малко място, защото

00:07:39.800 --> 00:07:41.000
съм изписал доста.

00:07:41.000 --> 00:07:43.790
Това вече не ни трябва.

00:07:43.790 --> 00:07:46.000
Какво получаваме?

00:07:46.000 --> 00:07:49.000
Продължаваме тук горе.

00:07:49.000 --> 00:07:51.000
Детерминантите с размер 
2x2 са лесни.

00:07:51.000 --> 00:07:58.000
Тук е (–6x4) – (7x3).

00:07:58.000 --> 00:08:00.000
Винаги правя грешки от невнимание.

00:08:00.000 --> 00:08:10.000
(–24–21)i – (20 – –6)j + (35 – 12)k

00:08:10.000 --> 00:08:23.000
(–24–21)i – (20 – –6)j + (35 – 12)k

00:08:23.000 --> 00:08:25.000
(–24–21)i – (20 – –6)j + (35 – 12)k

00:08:25.000 --> 00:08:31.110
Тук ще опростя израза.

00:08:31.110 --> 00:08:34.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

00:08:34.000 --> 00:08:40.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

00:08:40.000 --> 00:08:43.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

00:08:43.000 --> 00:08:46.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

00:08:46.000 --> 00:08:47.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

00:08:47.000 --> 00:08:51.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

00:08:51.000 --> 00:08:54.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

00:08:54.000 --> 00:08:57.000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

00:08:57.000 --> 00:08:58.880
Това е векторното произведение.

00:08:58.880 --> 00:09:01.000
Интересно е, че ако начертаеш
това в три измерения,

00:09:01.000 --> 00:09:03.860
ще видиш, че ако изчисленията ми 
са правилни,

00:09:03.860 --> 00:09:10.610
този вектор –35i, –26j, 23k

00:09:10.610 --> 00:09:15.950
е перпендикулярен на тези два вектора.

00:09:15.950 --> 00:09:19.000
Ще спра дотук и ще се видим

00:09:19.000 --> 00:09:20.000
в следващия видеоклип.

00:09:20.000 --> 00:09:22.000
Надявам се да намеря програма 
за чертане на вектори,

00:09:22.000 --> 00:09:25.000
защото смятам че ще бъде 
интересно да смятаме

00:09:25.000 --> 00:09:29.000
скаларни и векторни произведения 
чрез методите, които ти показах,

00:09:29.000 --> 00:09:31.000
и след това да ги чертаем.
Така ще видиш, че наистина работи –

00:09:31.000 --> 00:09:36.000
че този вектор наистина е 
перпендикулярен на тези два

00:09:36.000 --> 00:09:40.000
и е насочен в посоката, 
която определихме чрез

00:09:40.000 --> 00:09:42.000
правилото на дясната ръка.

00:09:42.000 --> 00:09:44.950
Ще се видим в следващия видеоклип.