1
00:00:00,000 --> 00:00:03,000
Досега, когато разглеждахме
скаларното и векторното

2
00:00:03,000 --> 00:00:05,680
произведение, казах,
че дефиницията е:

3
00:00:05,680 --> 00:00:08,000
дължината по косинуса или 
по синуса на

4
00:00:08,000 --> 00:00:09,740
ъгъла между тях.

5
00:00:09,740 --> 00:00:12,660
Но какво правим, когато 
векторите не са начертани?

6
00:00:12,660 --> 00:00:14,000
Или ако не знаем
ъгъла между тях?

7
00:00:14,000 --> 00:00:17,000
Как се изчисляват тогава
двете произведения?

8
00:00:17,000 --> 00:00:19,000
Ще ти дам

9
00:00:19,000 --> 00:00:20,000
дефиниция за това.

10
00:00:20,000 --> 00:00:26,000
Имаме скаларно произведение a.b

11
00:00:26,000 --> 00:00:31,000
Това е равно на дължината на a, 
умножена по дължината на b,

12
00:00:31,000 --> 00:00:34,000
по косинуса на ъгъла между тях.

13
00:00:34,000 --> 00:00:39,000
a x b е равно на дължината на a,
умножена по

14
00:00:39,000 --> 00:00:44,000
дължината на b, по синуса
на ъгъла между тях,

15
00:00:44,000 --> 00:00:48,000
т.е. техните перпендикулярни
проекции, умножени по

16
00:00:48,000 --> 00:00:50,810
перпендикулярния на тях 
нормален вектор.

17
00:00:50,810 --> 00:00:53,000
Определяш кой е нормалният

18
00:00:53,000 --> 00:00:55,000
единичен вектор посредством

19
00:00:55,000 --> 00:00:56,660
правилото на дясната ръка.

20
00:00:56,660 --> 00:01:00,000
Но ако не знаем ъгъл тита, т.е.

21
00:01:00,000 --> 00:01:01,600
ъгъла между тях?

22
00:01:01,600 --> 00:01:05,230
Например, ако ти дам вектор a,
представен като линейна комбинация

23
00:01:05,230 --> 00:01:10,390
от единичните вектори по 
съответните координатни оси.

24
00:01:10,390 --> 00:01:13,020
При този начин на записване
представяме вектора

25
00:01:13,020 --> 00:01:16,000
чрез компонентите му x, y и z.

26
00:01:16,000 --> 00:01:23,000
Тогава вектор a ще бъде равен на 5i –
i е единичният вектор

27
00:01:23,000 --> 00:01:33,980
в посоката на x – минус 6j плюс 3k.

28
00:01:34,000 --> 00:01:37,000
i, j и k са единичните вектори на

29
00:01:37,000 --> 00:01:38,580
посоките x, y и z.

30
00:01:38,580 --> 00:01:40,970
5 е големината по посоката на x.

31
00:01:40,970 --> 00:01:43,330
–6 е големината по посоката на y,

32
00:01:43,330 --> 00:01:45,760
3 е големината по посоката на z.

33
00:01:45,760 --> 00:01:47,000
Можеш да го начертаеш.

34
00:01:47,000 --> 00:01:48,900
Ще опитам да намеря 
научния калкулатор.

35
00:01:48,900 --> 00:01:51,980
Използвал съм го преди, 
за да ти дам по-точна представа.

36
00:01:52,000 --> 00:01:53,900
Да кажем, че имаме само тези данни.

37
00:01:53,900 --> 00:02:00,000
Ще си измисля стойности за b –

38
00:02:00,000 --> 00:02:04,000
например -2i. Вече работим

39
00:02:04,000 --> 00:02:14,590
в три измерения. Плюс 7j плюс 4k.

40
00:02:14,590 --> 00:02:15,880
Можеш да го начертаеш.

41
00:02:15,880 --> 00:02:19,000
Всъщност, ако имаш задача

42
00:02:19,000 --> 00:02:22,370
и се опитваш да начертаеш
вектори с компютърна програма,

43
00:02:22,370 --> 00:02:23,560
се процедира по този начин.

44
00:02:23,560 --> 00:02:25,000
Разбиваш ги на компоненти x, y и z,

45
00:02:25,000 --> 00:02:26,000
защото събираш вектори –

46
00:02:26,000 --> 00:02:28,310
събираш съответните компоненти.

47
00:02:28,310 --> 00:02:31,000
Но как се умножават те 
в скаларното или

48
00:02:31,000 --> 00:02:32,000
векторното произведение?

49
00:02:32,000 --> 00:02:34,000
Всъщност няма да го докажа тук, но

50
00:02:34,000 --> 00:02:35,000
ще ти покажа как се прави.

51
00:02:35,000 --> 00:02:38,000
Скаларното произведение
е много лесно,

52
00:02:38,000 --> 00:02:39,000
когато е дадено в тази нотация.

53
00:02:39,000 --> 00:02:41,980
Тя може да се изпише и
със скоби.

54
00:02:42,000 --> 00:02:46,000
Може да се представи като <5; –6; 3>,

55
00:02:46,000 --> 00:02:49,860
т.е. само дължините в посоките x, y и z.

56
00:02:49,860 --> 00:02:53,000
Искам да се уверя, че познаваш добре

57
00:02:53,000 --> 00:02:54,490
различните начини
на представяне.

58
00:02:54,490 --> 00:02:57,430
Можеш да напишеш b като <–2; 7; 4>.

59
00:02:57,430 --> 00:02:58,530
Едно и също е.

60
00:02:58,530 --> 00:03:00,000
Не трябва да се притесняваш,
ако видиш някоя от тях.

61
00:03:00,000 --> 00:03:07,930
Как да изчисля a.b ?

62
00:03:08,000 --> 00:03:10,780
Смятам, че това ще ти е приятно.

63
00:03:10,780 --> 00:03:15,000
Трябва само да умножиш компонентите i, 
да прибавиш резултата към

64
00:03:15,000 --> 00:03:18,000
умножените компоненти j 
и да прибавиш този сбор към

65
00:03:18,000 --> 00:03:20,000
умножените компоненти k.

66
00:03:20,000 --> 00:03:39,350
Значи (5 по –2) + (–6 по 7) + (3 по 4).

67
00:03:39,350 --> 00:03:45,000
Това е равно на –10 – 42 + 12.

68
00:03:45,000 --> 00:03:52,000
Получава се –52 + 12 = –40.

69
00:03:52,000 --> 00:03:54,000
Това е, просто едно число.

70
00:03:54,000 --> 00:03:57,000
Интересно ми е да го начертая триизмерно

71
00:03:57,000 --> 00:04:00,660
с програма, за да видя защо е –40.

72
00:04:00,660 --> 00:04:03,000
Сигурно имат противоположни посоки,

73
00:04:03,000 --> 00:04:06,020
както и проекциите им 
са с обратни посоки.

74
00:04:06,020 --> 00:04:10,950
Затова получаваме отрицателно число.

75
00:04:11,000 --> 00:04:13,000
За целта на видеоклипа няма да

76
00:04:13,000 --> 00:04:15,000
се впускам в детайли – 
но това е много лесно.

77
00:04:15,000 --> 00:04:18,000
Трябва само да умножиш
компонентите x,

78
00:04:18,000 --> 00:04:22,000
добавяш резултата към умножените 
компоненти y и сборът прибавяш към

79
00:04:22,000 --> 00:04:23,530
умножените компоненти z.

80
00:04:23,530 --> 00:04:25,000
Когато трябва да изчисля
скаларно произведение на вектор,

81
00:04:25,000 --> 00:04:28,000
записан като комбинация от
елементите по трите оси или в скоби,

82
00:04:28,000 --> 00:04:33,000
изчисляването е много 
приятно и лесно.

83
00:04:33,000 --> 00:04:37,000
Както ще видиш обаче, изчисляването 
на векторното произведение

84
00:04:37,000 --> 00:04:40,000
с тези начини на представяне

85
00:04:40,000 --> 00:04:41,000
не е толкова просто.

86
00:04:41,000 --> 00:04:44,000
Имай предвид, че има друг начин,
по който да се направи това.

87
00:04:44,010 --> 00:04:49,000
Първо намираш дължините
на векторите и изчисляваш

88
00:04:49,000 --> 00:04:52,000
ъглите чрез "сложна тригонометрия“,
и използваш тази дефиниция.

89
00:04:52,000 --> 00:04:56,970
Смятам, че разбираш колко
по-просто е това.

90
00:04:57,000 --> 00:04:59,000
Скаларното произведение е приятно.

91
00:04:59,000 --> 00:05:02,000
Да видим дали можем да изчислим 
векторното произведение.

92
00:05:02,000 --> 00:05:04,000
Няма да го доказвам.

93
00:05:04,000 --> 00:05:06,000
Само ще ти покажа как да го направиш.

94
00:05:06,000 --> 00:05:09,000
Сигурен съм, че ще получа заявка

95
00:05:09,000 --> 00:05:12,020
да го докажа в някой следващ клип.

96
00:05:12,020 --> 00:05:15,000
Векторното произведение е по-сложно

97
00:05:15,000 --> 00:05:18,000
и никога не ми е приятно да го изчислявам

98
00:05:18,000 --> 00:05:20,000
за два вектора, представени като
линейна комбинация на ед. вектори по осите.

99
00:05:20,000 --> 00:05:22,000
a x b,

100
00:05:22,000 --> 00:05:23,000
знак за равенство.

101
00:05:23,000 --> 00:05:27,000
Тук ще използваме матрици.

102
00:05:27,000 --> 00:05:31,000
Взимаме детерминантата. 
Ще начертая

103
00:05:31,000 --> 00:05:34,000
голяма линия.

104
00:05:34,000 --> 00:05:35,000
Така ще запомниш лесно

105
00:05:35,000 --> 00:05:37,000
как да го правиш.

106
00:05:37,000 --> 00:05:39,000
Не ти дава много ясно обяснение, но

107
00:05:39,000 --> 00:05:41,000
то се подразбира в самата дефиниция.

108
00:05:41,000 --> 00:05:44,000
Взимаш дължините
на перпендикулярните вектори,

109
00:05:44,000 --> 00:05:45,000
умножаваш ги,

110
00:05:45,000 --> 00:05:47,970
а правилото на дясната ръка 
ти дава посоката.

111
00:05:48,000 --> 00:05:51,740
Ако имаш запис като линейна комбинация
от ед. вектори по трите оси,

112
00:05:51,740 --> 00:05:55,000
трябва да напишеш единичните вектори
i, j, k в горния ред.

113
00:05:55,000 --> 00:06:00,000
i, j, k.

114
00:06:00,000 --> 00:06:02,000
След това пишеш първия вектор 
във векторното произведение,

115
00:06:02,000 --> 00:06:03,880
защото редът има значение.

116
00:06:03,880 --> 00:06:09,000
5; –6; 3.

117
00:06:09,000 --> 00:06:12,000
След това, втория вектор –

118
00:06:12,000 --> 00:06:17,250
–2; 7; 4.

119
00:06:17,250 --> 00:06:19,000
Как да изчислиш детерминантата

120
00:06:19,000 --> 00:06:21,000
на матрица с размер 3x3?

121
00:06:21,000 --> 00:06:26,250
Това е равно на адюнгираното
количество за i.

122
00:06:26,250 --> 00:06:28,000
Ако отстраниш тази колона

123
00:06:28,000 --> 00:06:31,000
и този ред, детерминантата, 
която остава, е адюнгираното количество.

124
00:06:31,000 --> 00:06:40,000
Тя е –6; 3; 7; 4, умножено по i. 
Можеш да прегледаш

125
00:06:40,000 --> 00:06:42,800
детерминантите, ако не си спомняш
как се изчисляват.

126
00:06:42,800 --> 00:06:47,710
А може би ще си припомниш,
докато гледаш обясненията ми.

127
00:06:47,710 --> 00:06:50,530
Запомни – плюс, минус, плюс.

128
00:06:50,530 --> 00:06:53,500
След това изваждаме 
адюнгираното количество за j.

129
00:06:53,500 --> 00:06:55,000
Колко е тя?

130
00:06:55,000 --> 00:06:57,000
Зачеркваш редовете и колоните на j.

131
00:06:57,000 --> 00:07:04,980
Получаваш 5; 3; –2; 4 по j.

132
00:07:05,000 --> 00:07:07,000
Зачеркнахме колоната и реда на j.

133
00:07:07,000 --> 00:07:09,000
Останалите числа са

134
00:07:09,000 --> 00:07:11,000
в поддетерминантата,

135
00:07:11,000 --> 00:07:13,000
както я наричам аз.

136
00:07:13,000 --> 00:07:18,000
Искам да ги напиша в един ред, за да

137
00:07:18,000 --> 00:07:19,000
бъде по-ясно. Плюс

138
00:07:19,000 --> 00:07:20,000
адюнгираното количество за k.

139
00:07:20,000 --> 00:07:24,230
Зачеркни реда и колоната за k.

140
00:07:24,230 --> 00:07:35,000
Остават 5; –6; –2 и 7 по k.

141
00:07:35,000 --> 00:07:36,950
Сега да изчислим.

142
00:07:36,950 --> 00:07:39,800
Ще освободя малко място, защото

143
00:07:39,800 --> 00:07:41,000
съм изписал доста.

144
00:07:41,000 --> 00:07:43,790
Това вече не ни трябва.

145
00:07:43,790 --> 00:07:46,000
Какво получаваме?

146
00:07:46,000 --> 00:07:49,000
Продължаваме тук горе.

147
00:07:49,000 --> 00:07:51,000
Детерминантите с размер 
2x2 са лесни.

148
00:07:51,000 --> 00:07:58,000
Тук е (–6x4) – (7x3).

149
00:07:58,000 --> 00:08:00,000
Винаги правя грешки от невнимание.

150
00:08:00,000 --> 00:08:10,000
(–24–21)i – (20 – –6)j + (35 – 12)k

151
00:08:10,000 --> 00:08:23,000
(–24–21)i – (20 – –6)j + (35 – 12)k

152
00:08:23,000 --> 00:08:25,000
(–24–21)i – (20 – –6)j + (35 – 12)k

153
00:08:25,000 --> 00:08:31,110
Тук ще опростя израза.

154
00:08:31,110 --> 00:08:34,000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

155
00:08:34,000 --> 00:08:40,000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

156
00:08:40,000 --> 00:08:43,000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

157
00:08:43,000 --> 00:08:46,000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

158
00:08:46,000 --> 00:08:47,000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

159
00:08:47,000 --> 00:08:51,000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

160
00:08:51,000 --> 00:08:54,000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

161
00:08:54,000 --> 00:08:57,000
е равно на (–35)i – 26j + 23k.

162
00:08:57,000 --> 00:08:58,880
Това е векторното произведение.

163
00:08:58,880 --> 00:09:01,000
Интересно е, че ако начертаеш
това в три измерения,

164
00:09:01,000 --> 00:09:03,860
ще видиш, че ако изчисленията ми 
са правилни,

165
00:09:03,860 --> 00:09:10,610
този вектор –35i, –26j, 23k

166
00:09:10,610 --> 00:09:15,950
е перпендикулярен на тези два вектора.

167
00:09:15,950 --> 00:09:19,000
Ще спра дотук и ще се видим

168
00:09:19,000 --> 00:09:20,000
в следващия видеоклип.

169
00:09:20,000 --> 00:09:22,000
Надявам се да намеря програма 
за чертане на вектори,

170
00:09:22,000 --> 00:09:25,000
защото смятам че ще бъде 
интересно да смятаме

171
00:09:25,000 --> 00:09:29,000
скаларни и векторни произведения 
чрез методите, които ти показах,

172
00:09:29,000 --> 00:09:31,000
и след това да ги чертаем.
Така ще видиш, че наистина работи –

173
00:09:31,000 --> 00:09:36,000
че този вектор наистина е 
перпендикулярен на тези два

174
00:09:36,000 --> 00:09:40,000
и е насочен в посоката, 
която определихме чрез

175
00:09:40,000 --> 00:09:42,000
правилото на дясната ръка.

176
00:09:42,000 --> 00:09:44,950
Ще се видим в следващия видеоклип.