-
Predstavte si, že žijeme v praveku.
-
A uvedomme si toto:
-
Ako sa zaznamenával čas bez hodín?
-
Všetky hodiny sú založené na opakujúcom sa jave,
-
ktorý delí čas na rovnaké časti.
-
Aby sme tieto javy našli,
-
pozeráme sa na nebo.
-
Východ a západ Slnka si všimneme hneď.
-
Aby sme však dokázali pracovať s väčšími obdobiami,
-
potrebujeme väčšie cykly.
-
Preto sa pozeráme na Mesiac,
-
ktorý počas niekoľkých dní postupne rastie a scvrkáva sa.
-
Keď spočítame dni medzi splnmi,
-
skončíme s číslom 29.
-
Toto je pôvod mesiaca.
-
Ak ale chceme rozdeliť 29 na rovnaké časti,
-
narazíme na problém. Je to nemožné.
-
29 sa dá rozdeliť iba jedným spôsobom,
-
na 29 rovnakých častí.
-
29 je prvočíslo.
-
Akoby sa nedalo rozbiť.
-
Ak sa dá číslo rozdeliť na rovnaké časti väčšie než 1,
-
hovoríme, že je zložené.
-
Ak sme zvedaví, možno nás napadne otázka:
-
Koľko prvočísel existuje?
-
A aké veľké môžu byť?
-
Najskôr rozdeľme čísla na 2 skupiny.
-
Prvočísla dajme naľavo
-
a zložené čísla napravo.
-
Na začiatku akoby tancujú sem a tam.
-
Nie je tam žiaden obrazec.
-
Tak použime modernú tachniku
-
a pozrime sa na to vo veľkom.
-
Pomôže nám Ulamova špirála.
-
Najskôr zoradíme všetky čísla
-
do rastúcej špirály.
-
Potom označíme prvočísla modrou.
-
Nakoniec sa pozrieme na milióny čísel.
-
Tu vidíme obrazec prvočísel,
-
ktoré pokračuje donekonečna.
-
Je neuveriteľné, že celková štruktúra tohto obrazca
-
je dodnes nevyriešená.
-
Na niečo sme narazili.
-
Teraz sa presuňme
-
zhruba do roku 300 p. n. l.
-
Grécky filozof Euklides z Alexandrie
-
pochopil, že všetky čísla
-
sa dajú rozdeliť do týchto 2 kategórií.
-
Najskôr si uvedomil, že každé číslo
-
sa dá rozdeliť znova a znova,
-
kým sa nedostaneme ku skupine najmenších rovnakých čísel.
-
A tieto najmenšie čísla sú podľa definície
-
vždy prvočísla.
-
Takže vedel, že všetky čísla
-
sú akosi poskladané z menších prvočísel.
-
Predstavte si vesmír všetkých čísel
-
a ignorujte prvočísla.
-
Teraz si vyberte zložené číslo a rozložte ho.
-
Vždy vám ostanú prvočísla.
-
Euklides teda vedel, že každé číslo
-
sa dá vyjadriť pomocou menších prvočísel.
-
Prvočísla sú ako stavebné kocky.
-
Je jedno, aké číslo si vyberiete,
-
vždy sa dá poskladať z menších prvočísel.
-
Toto je základ objavu
-
základnej vety aritmetiky.
-
Postup je takýto. Vezmeme číslo, napríklad 30,
-
a nájdeme všetky prvočísla,
-
na ktoré sa dá rozdeliť bez zvyšku.
-
Tomuto sa hovorí rozklad.
-
Toto nám dá prvočíselné delitele.
-
V tomto prípade sú to 2, 3 a 5.
-
Euklides si uvedomil, že tieto prvočísla
-
istým počtom násobení
-
zostavia pôvodné číslo.
-
V tomto prípade stačí
-
vynásobiť každý deliteľ, aby na vzniklo 30.
-
2 x 3 x 5 je prvočíselný rozklad tridsiatich.
-
Predstavte si to ako špeciálnu kombináciu.
-
Neexistuje iný spôsob ako poskladať 30
-
násobením inej
-
skupiny prvočísel.
-
Takže každé možné číslo má jeden
-
a jediný prvočíselný rozklad.
-
Každé číslo si môžeme predsaviť ako
-
iný zámok.
-
Jedinečný kľúč pre zámok
-
by bol jeho prvočíselný rozklad.
-
Žiadne 2 zámky nemajú rovnaký kľúč.
-
Žiadne 2 čísla nemajú rovnaký prvočíselný rozklad.
