Predstavte si, že žijeme v praveku.
A uvedomme si toto:
Ako sa zaznamenával čas bez hodín?
Všetky hodiny sú založené na opakujúcom sa jave,
ktorý delí čas na rovnaké časti.
Aby sme tieto javy našli,
pozeráme sa na nebo.
Východ a západ Slnka si všimneme hneď.
Aby sme však dokázali pracovať s väčšími obdobiami,
potrebujeme väčšie cykly.
Preto sa pozeráme na Mesiac,
ktorý počas niekoľkých dní postupne rastie a scvrkáva sa.
Keď spočítame dni medzi splnmi,
skončíme s číslom 29.
Toto je pôvod mesiaca.
Ak ale chceme rozdeliť 29 na rovnaké časti,
narazíme na problém. Je to nemožné.
29 sa dá rozdeliť iba jedným spôsobom,
na 29 rovnakých častí.
29 je prvočíslo.
Akoby sa nedalo rozbiť.
Ak sa dá číslo rozdeliť na rovnaké časti väčšie než 1,
hovoríme, že je zložené.
Ak sme zvedaví, možno nás napadne otázka:
Koľko prvočísel existuje?
A aké veľké môžu byť?
Najskôr rozdeľme čísla na 2 skupiny.
Prvočísla dajme naľavo
a zložené čísla napravo.
Na začiatku akoby tancujú sem a tam.
Nie je tam žiaden obrazec.
Tak použime modernú tachniku
a pozrime sa na to vo veľkom.
Pomôže nám Ulamova špirála.
Najskôr zoradíme všetky čísla
do rastúcej špirály.
Potom označíme prvočísla modrou.
Nakoniec sa pozrieme na milióny čísel.
Tu vidíme obrazec prvočísel,
ktoré pokračuje donekonečna.
Je neuveriteľné, že celková štruktúra tohto obrazca
je dodnes nevyriešená.
Na niečo sme narazili.
Teraz sa presuňme
zhruba do roku 300 p. n. l.
Grécky filozof Euklides z Alexandrie
pochopil, že všetky čísla
sa dajú rozdeliť do týchto 2 kategórií.
Najskôr si uvedomil, že každé číslo
sa dá rozdeliť znova a znova,
kým sa nedostaneme ku skupine najmenších rovnakých čísel.
A tieto najmenšie čísla sú podľa definície
vždy prvočísla.
Takže vedel, že všetky čísla
sú akosi poskladané z menších prvočísel.
Predstavte si vesmír všetkých čísel
a ignorujte prvočísla.
Teraz si vyberte zložené číslo a rozložte ho.
Vždy vám ostanú prvočísla.
Euklides teda vedel, že každé číslo
sa dá vyjadriť pomocou menších prvočísel.
Prvočísla sú ako stavebné kocky.
Je jedno, aké číslo si vyberiete,
vždy sa dá poskladať z menších prvočísel.
Toto je základ objavu
základnej vety aritmetiky.
Postup je takýto. Vezmeme číslo, napríklad 30,
a nájdeme všetky prvočísla,
na ktoré sa dá rozdeliť bez zvyšku.
Tomuto sa hovorí rozklad.
Toto nám dá prvočíselné delitele.
V tomto prípade sú to 2, 3 a 5.
Euklides si uvedomil, že tieto prvočísla
istým počtom násobení
zostavia pôvodné číslo.
V tomto prípade stačí
vynásobiť každý deliteľ, aby na vzniklo 30.
2 x 3 x 5 je prvočíselný rozklad tridsiatich.
Predstavte si to ako špeciálnu kombináciu.
Neexistuje iný spôsob ako poskladať 30
násobením inej
skupiny prvočísel.
Takže každé možné číslo má jeden
a jediný prvočíselný rozklad.
Každé číslo si môžeme predsaviť ako
iný zámok.
Jedinečný kľúč pre zámok
by bol jeho prvočíselný rozklad.
Žiadne 2 zámky nemajú rovnaký kľúč.
Žiadne 2 čísla nemajú rovnaký prvočíselný rozklad.