ตัวอย่างการหาอนุพันธ์โดยออมของตรีโกณฯ

ตัวอย่างอนุพันธ์โดยอ้อมที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแทนเจนต์

-

ผมถูกร้องขอให้หาอนุพันธ์โดยอ้อมของสมการ

แทนเจนต์ของ x ส่วน y เท่ากับ x บวก y

ผมได้ทำวิดีโอเรื่องอนุพันธ์โดยอ้อมไปหลายอันแล้ว

แต่นี่ดูจะเป็นที่มาความเจ็บปวดแหล่งใหญ่ที่สุด

อันนึงสำหรับนักเรียนแคลคูลัสปีแรก

งั้นผมว่าผมจะทำอย่างน้อยอีกตัวอย่างนึง

มันไม่ผิดที่จะเห็นให้มากเท่าที่จะทำได้

งั้นลองทำอันนี้กัน

ในการหาอนุพันธ์โดยอ้อมของอันนี้ เราก็แค่ใช้

โอเปอเรเตอร์อนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้าง

ของสมการ

อนุพันธ์ของนี่เทียบกับ x-- อนุพันธ์

ทางซ้ายมือเทียบกับ x ก็เหมือนกับ

อนุพันธ์ของทางขวามือเทียบกับ x

ทางขวานี่จะตรงไปตรงมา แต่

ทางซ้ายจะมีกลเม็ดหน่อย

งั้นลองทำด้านข้างตรงนี้

ขอผมเขียนทางซ้ายมือต่างออกไปหน่อย

ผมจะทำมันด้วยอีกสีนึง

ขอผมบอกว่า a เท่ากับแทนเจนต์ของ b

และขอผมเรียก b เท่ากับ x ส่วน y

แล้ว a แน่นอนว่าเหมือนกัน

ผมหมายถึง หากผมแทนค่า b กลับลงในนี่ a ก้อน

นี้ทั้งหมดผมสามารถเขียนมันใหม่แค่ a

งั้นหากเราหาอนุพันธ์ของ a เทียบกับ

x นั่นสิ่งที่เราอยากทำตรงนี้

ขอผมหาอนุพันธ์ของทั้งสองข้างของอันนี้

นี่จะเท่ากับอนุพันธ์ของ a เทียบกับ x เท่ากับ

อนุพันธ์ของ x เทียบกับ x

นั่นก็ตรงไปตรงมา มันคือ 1

บวกอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x

งั้นขอผมเขียนมันอย่างนี้นะ

ผมจะเขียนโอเปอเรเตอร์ของอนุพันธ์ อนุพันธ์

ของ y เทียบกับ x

นั่นคือสิ่งที่เราทำทั้งหมด

เราแค่ใช้โอเปอเรเตอร์อนุพันธ์กับ y และเราไม่

รู้ว่านี่มันคืออะไร เรากำลังจะแก้หามัน

แต่แน่นอน ผมไม่อาจปล่อยอันนี้ไว้อย่างนี้ อนุพันธ์

ของ a เทียบกับ x

เราแค่แก้หา a และ a ก็แค่อันนี้

ตรงนี้ จริงไหม?

a คือแทนเจนต์ของ b และ b ก็แค่ y ส่วน x

สาเหตุที่ผมเขียนมันอย่างนี้ เพราะผมอยากแสดง

ให้คุณเห็นว่า ตอนคุณหาอนุพันธ์ของอันนี้ มันก็

แค่มาจากกฏลูกโซ่

มันไม่ใช่มนตร์หมอผีที่คุณไม่

เคยเรียนมาก่อน

ดังนั้นอนุพันธ์ -- ขอผมเขียนกฏลูกโซ่

ลงไปตรงนี้นะ

อนุพันธ์ของ a เทียบกับ x เท่ากับ

อนุพันธ์ของ a เทียบกับ b คูณ อนุพันธ์ของ

b เทียบกับ x

นั่นก็แค่กฏลูกโซ่ และมันจำง่ายมาก

เพราะ db ตัดกัน แล้วก็เหลือแค่

อนุพันธ์ของ a เทียบกับ x หากคุณทำเหมือนว่า

มันเป็นเศษส่วนธรรมดา

แล้วอนุพันธ์ของ a เทียบกับ b คืออะไร?

-

นั่นก็แค่ 1 ส่วนโคไซน์กำลังสองของ b

และหากคุณจำไม่ได้ มันก็ไม่ได้ยากนัก

ที่จะพิสูจน์ด้วยตัวเอง หากคุณเขียนมันเป็น ไซน์

ของ b ส่วนโคไซน์ของ b แต่นี่เป็นหนึ่งในอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตรีโกณมิติที่คนส่วนใหญ่เลือกจำ

ผมว่าผมได้ทำวิดีโอพิสูจน์มันไปแล้ว

และหนังสือบางเล่ม ยังเขียนนี่เป็นเซกแคนต์กำลังสองของ b แต่เรา

รู้ว่าเซกแคนต์กำลังสอง ก็เหมือนกับ 1 ส่วน

โคไซน์กำลังสองนั่นเอง

ผมชอบเขียนมันในรูปของฟังก์ชันตรีโกณฯ พื้นฐาน

หรืออัตราส่วนตรีโกณฯ แทนที่จะเป็นพวกเซกแกนต์

หรือโคเซกแคนต์

แล้วอนุพันธ์ของ b เทียบกับ x คืออะไร?

-

นี่ก็น่าสนใจทีเดียว

ขอผมเขียน b ใหม่นะ

ขอผมเขียน b เท่ากับ x คูณ y กำลังลบ 1

แล้วอนุพันธ์ของ b เทียบกับ x เราสามารถ

ใช้กฏลูกโซ่ได้หน่อยตรงนี้

เราอาจบอกว่า -- ขอผมเขียนนี่นะ -- อนุพันธ์ของ b

เทียบกับ x เท่ากับ อนุพันธ์ของ x คูณ

y กำลังลบ 1

แล้วอนุพันธ์ของ x คือ 1

คูณ y กำลังลบ 1 บวก อนุพันธ์ของ y -- งั้น

ขอผมเขียนแบบนี้นะ

บวกอนุพันธ์เทียบกับ x ของ y

กำลังลบ 1 คูณเทอมแรก คูณ x

งั้นสิ่งนี้ตรงนี้ และแน่นอนผมยังไม่ได้

จัดรูปมันเลย

ผมยังต้องหาว่าสิ่งนี้คืออะไรตรงนี้

แต่ผมจะจัดรูปการใช้กฏผลคูณตรงนี้

อนุพันธ์ของเทอมแรก อนุพันธ์ของ x คือ 1

คูณ เทอมที่สอง บวก อนุพันธ์ของเทอมที่สอง

คูณเทอมแรก

นั่นคือที่ผมทำไป

งั้นอนุพันธ์ของ b เทียบกับ x ก็แค่

สิ่งนี้ตรงนี้

ดังนั้นมันเท่ากับ -- ขอผมเขียนด้วยสีเหลืองนะ -- งั้นมันก็คูณ --

โอ้ ผมจะใช้สีฟ้าเพราะผมเขียนไปแล้ว

นี่คือสีฟ้า อนุพันธ์ของ b เทียบกับ x คือ y กำลัง

ลบ 1 หรือ 1 ส่วน y บวก อนุพันธ์เทียบกับ

x ของ 1 ส่วน y คูณ x

งั้นขอผมเขียนมันลงตรงนี้นะ

เราเพิ่งหาได้ หรือเราเกือบหาได้

แล้วว่า อนุพันธ์ของ a เทียบกับ x คืออะไร และเรา

สามารถโยนนั่นลงไป

และเรายังไม่เสร็จ

อนุพันธ์ของ 1 ส่วน y เทียบกับ x คืออะไร?

เราต้องใช้กฏลูกโซ่อีกรอบ

-

และผมอยากทำให้กระจ่างตรงนี้

ผมรู้ว่ามันอาจดูอืดอาดที่ผมทำตรงนี้

แต่ผมว่ามันช่วยให้เข้าใจมากขึ้น

ขอผมกำหนด c เท่ากับ 1 ส่วน y

งั้นอนุพันธ์ของ c เทียบกับ x แค่ใช้กฏ

ลูกโซ่ จะเท่ากับอนุพันธ์ของ c เทียบกับ

y คูณอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x

แล้วอนุพันธ์ของ c เทียบกับ y เป็นเท่าไหร่?

ทีนี้ นี่ก็เหมือนกับ -- ผมสามารถเขียนนี่ใหม่

ว่า y กำลังลบ 1

ดังนั้นมันคือ ลบ y ยกกำลังลบ 2

นั่นคือสิ่งที่อยู่ตรงนี้

สิ่งนี้คืออันนั้นตรงนั้น

แต่ผมไม่รู้ว่าอนุพันธ์ของ y เทียบ

กับ x คืออะไร

นั่นคือสิ่งที่เราพยายามแก้หา

งั้นนั่นก็คูณด้วยอนุพันธ์ของ y

เทียบกับ x

นั่นก็มาจากกฏลูกโซ่

งั้นสิ่งนี้ตรงนี้ นี่คืออนุพันธ์ของสิ่งนี้

เทียบกับ x ซึ่งเหมือนกับอนุพันธ์

ของ c เทียบกับ x

ดังนั้นเราก็เขียนที่ว่างเล็ก ๆ ตรงนี้ ผมสามารถ

เขียนที่ว่างตรงนี้ใหม่ เป็น ลบ y กำลังลบ 2 dy

dx แล้วก็ แน่นอน มันมี คูณ x ด้วย

แล้วก็เรามี บวก 1 ส่วน y และทั้งหมดนั่นคูณ

1 ส่วนโคไซน์กำลังสอง b

และตอนนี้เราได้จัดรูปมันดีขึ้นหน่อยแล้ว

ผมหวังว่าการอธิบายกฏลูกโซ่ไม่ทำให้คุณงงนะ

เพราะผมอยากให้คุณเข้าใจโจทย์อนุพันธ์

โดยอ้อมพวกนี้ทั้งหมด dy dx พวกนี้

ไม่ต้อง มันไม่ใช่กฏที่คุณต้องจำเลย

มันจากกฏลูกโซ่โดยธรรมชาติอยู่แล้ว

ดังนั้นเราแก้ da dx นั่นเท่ากับพจน์

นี้ตรงนี้

ขอผมเขียนมันหน่อย มันเท่ากับ 1 ส่วนโคไซน์กำลังสองของ b

แล้ว b คืออะไร?

ผมเขียนมันเป็น cos x ส่วน y

โคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y คูณก้อนทั้งหมดนั่น

ส่วนอันนี้ คูณพวกเลอะเทอะนี่ทั้งหมด

1 ส่วน y บวก หรือบางทีผมควรบอกว่า ลบ ลบ -- หาก

ผมจัดรูปเจ้านี่ นี่ก็คือ x ส่วน y กำลังสอง คูณ dy dx

-

แล้วนั่นเท่ากับทางขวามือนี่

มันเท่ากับ 1 บวก dy dx

และทั้งหมดที่เราต้องทำ คือแก้หา dy dx

ขอผมทวนวิธีที่เราไปนะ

ผมใช้กฏลูกโซ่ในทุกขั้น แต่

เมื่อคุณชินแล้ว คุณก็ทำตรง

ลงมาได้เลย

วิธีที่คุณควรคิดคือว่า -- ทางขวามือ

ผมว่าคุณคงเข้าใจแล้ว

อนุพันธ์ของ x คือ 1 อนุพันธ์ของ y

เทียบกับ x นั่นก็แค่ dy dx

แต่ทางซ้ายมือ คุณหาอนุพันธ์ของ

ทั้งก้อนนั้นเทียบกับ x ส่วน y

ดังนั้น นั่นก็แค่อนุพันธ์ของแทนเจนต์ เท่ากับ 1 ส่วน

โคไซน์กำลังสอง

งั้นมันคือ 1 ส่วน โคไซน์กำลังสอง ของ x ส่วน y แล้วคุณก็คูณ

มันด้วยอนุพันธ์ของ x ส่วน y เทียบกับ x

และอนุพันธ์ของ x ส่วน y เทียบกับ x ก็คือ

อนุพันธ์ของ -- และมันกลายเป็นซับซ้อน นั่นคือสาเหตุที่ดี

ในการทำข้าง ๆ ตรงนี้ -- แต่นั่นก็คืออนุพันธ์

ของ x ซึ่งก็คือ 1 คูณ 1 ส่วน y

ซึ่งก็คือเทอมนั้น บวก อนุพันธ์ของ 1 ส่วน y เทียบ

กับ x ซึ่งก็คือ ลบ 1 ส่วน y กำลังสอง dy dx

มาจากกฏลูกโซ่ คูณ dx

นั่นคือสาเหตุที่ดีที่เราทำข้าง ๆ จะได้

ไม่ทำอะไรพลาด

แต่เมื่อคุณชินแล้ว คุณสามารถทำมันได้ในหัว

และแน่นอน นั่นเท่ากับทางขวามือ

จากนี้ไป มันก็แค่เลขคณิตแท้ ๆ

แค่แก้หา dy dx ของเรา

ดังนั้นที่แรกที่ควรเริ่มคือ การคูณทั้งสองข้างของ

สมการนี้ด้วย โคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y

และแน่นอน นั่นจะกลายเป็น 1 ทางด้านนี้

และด้านซ้ายจะเป็น 1 ส่วน y ลบ x ส่วน y กำลังสอง

dy dx เท่ากับ -- ผมต้องคูณทั้งสองของ

สมการด้วยตัวส่วนนี่ตรงนี้ -- เท่ากับ

โคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y บวก โคไซน์กำลังสองของ

x ส่วน y dy dx

-

ทีนี้เราทำอะไรได้

เราสามารถลบโคไซน์กำลังสอง ของ x ส่วน y จากทั้ง

สองข้างของสมการ และเราได้ 1 ส่วน y ลบ โคไซน์

กำลังสองของ x ส่วน y

ทั้งหมดที่ผมทำคือ ผมหักอันนี้จากทั้งสองข้าง

ของสมการ ที่สุดแล้วผมก็ย้ายมันไป

ทางด้านซ้ายมือ

ที่ผมพยายามทำคือผมพยายามแยก

เทอมที่ไม่มี dy dx จากเทอมที่มี dy dx

ผมอยากย้ายพวกเทอม dy dx มา

ไว้ทางขวามือ

งั้นขอผมเพิ่ม x ส่วน y กำลังสอง dy dx ทั้งสองข้าง

แล้วนั่นเท่ากับ x ส่วน y -- ขอผมเขียนมันด้วย

สีที่ผมเขียนมันแต่แรก

สีต่างกันนิดหน่อย

แล้วนั่นคือ x ส่วน y กำลังสอง -- ผมจะเขียน dy dx ด้วยสีส้ม

dy dx แล้วคุณก็มีเทอมนี้ บวกโคไซน์กำลังสอง

ของ x ส่วน y dy dx

-

ผมว่าเราถึงปลายทางแล้ว

ลองดึง dy dx ออกมาจากทางขวามือ

นี่เท่ากับ dy dx คูณ x ส่วน y กำลังสอง บวก

โคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y

และนั่นเท่ากับสิ่งนี้ตรงนี้ มันเท่ากับ

1 ส่วน y ลบ โคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y

ทีนี้เพื่อแก้หา dy dx เราแค่ต้องหารทั้งสองข้าง

ของสมการนี้ด้วยเทอมนี้ตรงนี้

แล้วเราจะได้อะไร?

เราได้ หากผมหารทั้งสองข้างด้วยนั่น เราได้ 1 ส่วน y

ลบโคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y หารด้วยก้อน

นี้ทั้งหมดตรงนี้

x ส่วน y กำลังสอง บวก โคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y

เท่ากับ dy dx

แล้วเราก็เสร็จแล้ว

เราแค่ใช้กฏลูกโซ่สองสามครั้ง แล้วเราก็สามารถ

หาอนุพันธ์โดยอ้อมของ แทนเจนต์ของ y ส่วน x

เท่ากับ x บวก y

ส่วนที่ยากคือการเริ่มขั้นนี้ตรงนี้

หลังจากขั้นนี้ไป มันก็แค่เลขคณิตล้วน ๆ ในการแก้

หา dy dyx แล้วคุณก็ได้คำตอบตรงนี้

เอาล่ะ หวังว่าคุณคงเห็นประโยชน์มันนะ