-
ผมถูกร้องขอให้หาอนุพันธ์โดยอ้อมของสมการ
แทนเจนต์ของ x ส่วน y เท่ากับ x บวก y
ผมได้ทำวิดีโอเรื่องอนุพันธ์โดยอ้อมไปหลายอันแล้ว
แต่นี่ดูจะเป็นที่มาความเจ็บปวดแหล่งใหญ่ที่สุด
อันนึงสำหรับนักเรียนแคลคูลัสปีแรก
งั้นผมว่าผมจะทำอย่างน้อยอีกตัวอย่างนึง
มันไม่ผิดที่จะเห็นให้มากเท่าที่จะทำได้
งั้นลองทำอันนี้กัน
ในการหาอนุพันธ์โดยอ้อมของอันนี้ เราก็แค่ใช้
โอเปอเรเตอร์อนุพันธ์เทียบกับ x ทั้งสองข้าง
ของสมการ
อนุพันธ์ของนี่เทียบกับ x-- อนุพันธ์
ทางซ้ายมือเทียบกับ x ก็เหมือนกับ
อนุพันธ์ของทางขวามือเทียบกับ x
ทางขวานี่จะตรงไปตรงมา แต่
ทางซ้ายจะมีกลเม็ดหน่อย
งั้นลองทำด้านข้างตรงนี้
ขอผมเขียนทางซ้ายมือต่างออกไปหน่อย
ผมจะทำมันด้วยอีกสีนึง
ขอผมบอกว่า a เท่ากับแทนเจนต์ของ b
และขอผมเรียก b เท่ากับ x ส่วน y
แล้ว a แน่นอนว่าเหมือนกัน
ผมหมายถึง หากผมแทนค่า b กลับลงในนี่ a ก้อน
นี้ทั้งหมดผมสามารถเขียนมันใหม่แค่ a
งั้นหากเราหาอนุพันธ์ของ a เทียบกับ
x นั่นสิ่งที่เราอยากทำตรงนี้
ขอผมหาอนุพันธ์ของทั้งสองข้างของอันนี้
นี่จะเท่ากับอนุพันธ์ของ a เทียบกับ x เท่ากับ
อนุพันธ์ของ x เทียบกับ x
นั่นก็ตรงไปตรงมา มันคือ 1
บวกอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x
งั้นขอผมเขียนมันอย่างนี้นะ
ผมจะเขียนโอเปอเรเตอร์ของอนุพันธ์ อนุพันธ์
ของ y เทียบกับ x
นั่นคือสิ่งที่เราทำทั้งหมด
เราแค่ใช้โอเปอเรเตอร์อนุพันธ์กับ y และเราไม่
รู้ว่านี่มันคืออะไร เรากำลังจะแก้หามัน
แต่แน่นอน ผมไม่อาจปล่อยอันนี้ไว้อย่างนี้ อนุพันธ์
ของ a เทียบกับ x
เราแค่แก้หา a และ a ก็แค่อันนี้
ตรงนี้ จริงไหม?
a คือแทนเจนต์ของ b และ b ก็แค่ y ส่วน x
สาเหตุที่ผมเขียนมันอย่างนี้ เพราะผมอยากแสดง
ให้คุณเห็นว่า ตอนคุณหาอนุพันธ์ของอันนี้ มันก็
แค่มาจากกฏลูกโซ่
มันไม่ใช่มนตร์หมอผีที่คุณไม่
เคยเรียนมาก่อน
ดังนั้นอนุพันธ์ -- ขอผมเขียนกฏลูกโซ่
ลงไปตรงนี้นะ
อนุพันธ์ของ a เทียบกับ x เท่ากับ
อนุพันธ์ของ a เทียบกับ b คูณ อนุพันธ์ของ
b เทียบกับ x
นั่นก็แค่กฏลูกโซ่ และมันจำง่ายมาก
เพราะ db ตัดกัน แล้วก็เหลือแค่
อนุพันธ์ของ a เทียบกับ x หากคุณทำเหมือนว่า
มันเป็นเศษส่วนธรรมดา
แล้วอนุพันธ์ของ a เทียบกับ b คืออะไร?
-
นั่นก็แค่ 1 ส่วนโคไซน์กำลังสองของ b
และหากคุณจำไม่ได้ มันก็ไม่ได้ยากนัก
ที่จะพิสูจน์ด้วยตัวเอง หากคุณเขียนมันเป็น ไซน์
ของ b ส่วนโคไซน์ของ b แต่นี่เป็นหนึ่งในอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตรีโกณมิติที่คนส่วนใหญ่เลือกจำ
ผมว่าผมได้ทำวิดีโอพิสูจน์มันไปแล้ว
และหนังสือบางเล่ม ยังเขียนนี่เป็นเซกแคนต์กำลังสองของ b แต่เรา
รู้ว่าเซกแคนต์กำลังสอง ก็เหมือนกับ 1 ส่วน
โคไซน์กำลังสองนั่นเอง
ผมชอบเขียนมันในรูปของฟังก์ชันตรีโกณฯ พื้นฐาน
หรืออัตราส่วนตรีโกณฯ แทนที่จะเป็นพวกเซกแกนต์
หรือโคเซกแคนต์
แล้วอนุพันธ์ของ b เทียบกับ x คืออะไร?
-
นี่ก็น่าสนใจทีเดียว
ขอผมเขียน b ใหม่นะ
ขอผมเขียน b เท่ากับ x คูณ y กำลังลบ 1
แล้วอนุพันธ์ของ b เทียบกับ x เราสามารถ
ใช้กฏลูกโซ่ได้หน่อยตรงนี้
เราอาจบอกว่า -- ขอผมเขียนนี่นะ -- อนุพันธ์ของ b
เทียบกับ x เท่ากับ อนุพันธ์ของ x คูณ
y กำลังลบ 1
แล้วอนุพันธ์ของ x คือ 1
คูณ y กำลังลบ 1 บวก อนุพันธ์ของ y -- งั้น
ขอผมเขียนแบบนี้นะ
บวกอนุพันธ์เทียบกับ x ของ y
กำลังลบ 1 คูณเทอมแรก คูณ x
งั้นสิ่งนี้ตรงนี้ และแน่นอนผมยังไม่ได้
จัดรูปมันเลย
ผมยังต้องหาว่าสิ่งนี้คืออะไรตรงนี้
แต่ผมจะจัดรูปการใช้กฏผลคูณตรงนี้
อนุพันธ์ของเทอมแรก อนุพันธ์ของ x คือ 1
คูณ เทอมที่สอง บวก อนุพันธ์ของเทอมที่สอง
คูณเทอมแรก
นั่นคือที่ผมทำไป
งั้นอนุพันธ์ของ b เทียบกับ x ก็แค่
สิ่งนี้ตรงนี้
ดังนั้นมันเท่ากับ -- ขอผมเขียนด้วยสีเหลืองนะ -- งั้นมันก็คูณ --
โอ้ ผมจะใช้สีฟ้าเพราะผมเขียนไปแล้ว
นี่คือสีฟ้า อนุพันธ์ของ b เทียบกับ x คือ y กำลัง
ลบ 1 หรือ 1 ส่วน y บวก อนุพันธ์เทียบกับ
x ของ 1 ส่วน y คูณ x
งั้นขอผมเขียนมันลงตรงนี้นะ
เราเพิ่งหาได้ หรือเราเกือบหาได้
แล้วว่า อนุพันธ์ของ a เทียบกับ x คืออะไร และเรา
สามารถโยนนั่นลงไป
และเรายังไม่เสร็จ
อนุพันธ์ของ 1 ส่วน y เทียบกับ x คืออะไร?
เราต้องใช้กฏลูกโซ่อีกรอบ
-
และผมอยากทำให้กระจ่างตรงนี้
ผมรู้ว่ามันอาจดูอืดอาดที่ผมทำตรงนี้
แต่ผมว่ามันช่วยให้เข้าใจมากขึ้น
ขอผมกำหนด c เท่ากับ 1 ส่วน y
งั้นอนุพันธ์ของ c เทียบกับ x แค่ใช้กฏ
ลูกโซ่ จะเท่ากับอนุพันธ์ของ c เทียบกับ
y คูณอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x
แล้วอนุพันธ์ของ c เทียบกับ y เป็นเท่าไหร่?
ทีนี้ นี่ก็เหมือนกับ -- ผมสามารถเขียนนี่ใหม่
ว่า y กำลังลบ 1
ดังนั้นมันคือ ลบ y ยกกำลังลบ 2
นั่นคือสิ่งที่อยู่ตรงนี้
สิ่งนี้คืออันนั้นตรงนั้น
แต่ผมไม่รู้ว่าอนุพันธ์ของ y เทียบ
กับ x คืออะไร
นั่นคือสิ่งที่เราพยายามแก้หา
งั้นนั่นก็คูณด้วยอนุพันธ์ของ y
เทียบกับ x
นั่นก็มาจากกฏลูกโซ่
งั้นสิ่งนี้ตรงนี้ นี่คืออนุพันธ์ของสิ่งนี้
เทียบกับ x ซึ่งเหมือนกับอนุพันธ์
ของ c เทียบกับ x
ดังนั้นเราก็เขียนที่ว่างเล็ก ๆ ตรงนี้ ผมสามารถ
เขียนที่ว่างตรงนี้ใหม่ เป็น ลบ y กำลังลบ 2 dy
dx แล้วก็ แน่นอน มันมี คูณ x ด้วย
แล้วก็เรามี บวก 1 ส่วน y และทั้งหมดนั่นคูณ
1 ส่วนโคไซน์กำลังสอง b
และตอนนี้เราได้จัดรูปมันดีขึ้นหน่อยแล้ว
ผมหวังว่าการอธิบายกฏลูกโซ่ไม่ทำให้คุณงงนะ
เพราะผมอยากให้คุณเข้าใจโจทย์อนุพันธ์
โดยอ้อมพวกนี้ทั้งหมด dy dx พวกนี้
ไม่ต้อง มันไม่ใช่กฏที่คุณต้องจำเลย
มันจากกฏลูกโซ่โดยธรรมชาติอยู่แล้ว
ดังนั้นเราแก้ da dx นั่นเท่ากับพจน์
นี้ตรงนี้
ขอผมเขียนมันหน่อย มันเท่ากับ 1 ส่วนโคไซน์กำลังสองของ b
แล้ว b คืออะไร?
ผมเขียนมันเป็น cos x ส่วน y
โคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y คูณก้อนทั้งหมดนั่น
ส่วนอันนี้ คูณพวกเลอะเทอะนี่ทั้งหมด
1 ส่วน y บวก หรือบางทีผมควรบอกว่า ลบ ลบ -- หาก
ผมจัดรูปเจ้านี่ นี่ก็คือ x ส่วน y กำลังสอง คูณ dy dx
-
แล้วนั่นเท่ากับทางขวามือนี่
มันเท่ากับ 1 บวก dy dx
และทั้งหมดที่เราต้องทำ คือแก้หา dy dx
ขอผมทวนวิธีที่เราไปนะ
ผมใช้กฏลูกโซ่ในทุกขั้น แต่
เมื่อคุณชินแล้ว คุณก็ทำตรง
ลงมาได้เลย
วิธีที่คุณควรคิดคือว่า -- ทางขวามือ
ผมว่าคุณคงเข้าใจแล้ว
อนุพันธ์ของ x คือ 1 อนุพันธ์ของ y
เทียบกับ x นั่นก็แค่ dy dx
แต่ทางซ้ายมือ คุณหาอนุพันธ์ของ
ทั้งก้อนนั้นเทียบกับ x ส่วน y
ดังนั้น นั่นก็แค่อนุพันธ์ของแทนเจนต์ เท่ากับ 1 ส่วน
โคไซน์กำลังสอง
งั้นมันคือ 1 ส่วน โคไซน์กำลังสอง ของ x ส่วน y แล้วคุณก็คูณ
มันด้วยอนุพันธ์ของ x ส่วน y เทียบกับ x
และอนุพันธ์ของ x ส่วน y เทียบกับ x ก็คือ
อนุพันธ์ของ -- และมันกลายเป็นซับซ้อน นั่นคือสาเหตุที่ดี
ในการทำข้าง ๆ ตรงนี้ -- แต่นั่นก็คืออนุพันธ์
ของ x ซึ่งก็คือ 1 คูณ 1 ส่วน y
ซึ่งก็คือเทอมนั้น บวก อนุพันธ์ของ 1 ส่วน y เทียบ
กับ x ซึ่งก็คือ ลบ 1 ส่วน y กำลังสอง dy dx
มาจากกฏลูกโซ่ คูณ dx
นั่นคือสาเหตุที่ดีที่เราทำข้าง ๆ จะได้
ไม่ทำอะไรพลาด
แต่เมื่อคุณชินแล้ว คุณสามารถทำมันได้ในหัว
และแน่นอน นั่นเท่ากับทางขวามือ
จากนี้ไป มันก็แค่เลขคณิตแท้ ๆ
แค่แก้หา dy dx ของเรา
ดังนั้นที่แรกที่ควรเริ่มคือ การคูณทั้งสองข้างของ
สมการนี้ด้วย โคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y
และแน่นอน นั่นจะกลายเป็น 1 ทางด้านนี้
และด้านซ้ายจะเป็น 1 ส่วน y ลบ x ส่วน y กำลังสอง
dy dx เท่ากับ -- ผมต้องคูณทั้งสองของ
สมการด้วยตัวส่วนนี่ตรงนี้ -- เท่ากับ
โคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y บวก โคไซน์กำลังสองของ
x ส่วน y dy dx
-
ทีนี้เราทำอะไรได้
เราสามารถลบโคไซน์กำลังสอง ของ x ส่วน y จากทั้ง
สองข้างของสมการ และเราได้ 1 ส่วน y ลบ โคไซน์
กำลังสองของ x ส่วน y
ทั้งหมดที่ผมทำคือ ผมหักอันนี้จากทั้งสองข้าง
ของสมการ ที่สุดแล้วผมก็ย้ายมันไป
ทางด้านซ้ายมือ
ที่ผมพยายามทำคือผมพยายามแยก
เทอมที่ไม่มี dy dx จากเทอมที่มี dy dx
ผมอยากย้ายพวกเทอม dy dx มา
ไว้ทางขวามือ
งั้นขอผมเพิ่ม x ส่วน y กำลังสอง dy dx ทั้งสองข้าง
แล้วนั่นเท่ากับ x ส่วน y -- ขอผมเขียนมันด้วย
สีที่ผมเขียนมันแต่แรก
สีต่างกันนิดหน่อย
แล้วนั่นคือ x ส่วน y กำลังสอง -- ผมจะเขียน dy dx ด้วยสีส้ม
dy dx แล้วคุณก็มีเทอมนี้ บวกโคไซน์กำลังสอง
ของ x ส่วน y dy dx
-
ผมว่าเราถึงปลายทางแล้ว
ลองดึง dy dx ออกมาจากทางขวามือ
นี่เท่ากับ dy dx คูณ x ส่วน y กำลังสอง บวก
โคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y
และนั่นเท่ากับสิ่งนี้ตรงนี้ มันเท่ากับ
1 ส่วน y ลบ โคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y
ทีนี้เพื่อแก้หา dy dx เราแค่ต้องหารทั้งสองข้าง
ของสมการนี้ด้วยเทอมนี้ตรงนี้
แล้วเราจะได้อะไร?
เราได้ หากผมหารทั้งสองข้างด้วยนั่น เราได้ 1 ส่วน y
ลบโคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y หารด้วยก้อน
นี้ทั้งหมดตรงนี้
x ส่วน y กำลังสอง บวก โคไซน์กำลังสองของ x ส่วน y
เท่ากับ dy dx
แล้วเราก็เสร็จแล้ว
เราแค่ใช้กฏลูกโซ่สองสามครั้ง แล้วเราก็สามารถ
หาอนุพันธ์โดยอ้อมของ แทนเจนต์ของ y ส่วน x
เท่ากับ x บวก y
ส่วนที่ยากคือการเริ่มขั้นนี้ตรงนี้
หลังจากขั้นนี้ไป มันก็แค่เลขคณิตล้วน ๆ ในการแก้
หา dy dyx แล้วคุณก็ได้คำตอบตรงนี้
เอาล่ะ หวังว่าคุณคงเห็นประโยชน์มันนะ