< Return to Video

ck12.org Normal Distribution Problems: Empirical Rule

  • 0:01 - 0:04
    再來看一個ck12.org網站AP統計書裡
  • 0:04 - 0:10
    的常態分佈問題
  • 0:10 - 0:12
    這裡的書很好
  • 0:12 - 0:14
    而且是開放的資源
  • 0:14 - 0:16
    在這裡我們做的是第三題
  • 0:16 - 0:19
    在這裡我們做的是第三題
  • 0:19 - 0:20
    你們可以自行到其網站上去下載書
  • 0:20 - 0:22
    你們可以自行到其網站上去下載書
  • 0:22 - 0:26
    假設美國一歲大的女孩
  • 0:26 - 0:29
    體重符合常態分佈
  • 0:29 - 0:32
    平均約為9.5克
  • 0:32 - 0:34
    這裡應該是公斤
  • 0:34 - 0:36
    我10個月大的兒子都有20磅
  • 0:36 - 0:40
    大概是9公斤(千克)
  • 0:40 - 0:41
    9.5克沒什麼重量
  • 0:41 - 0:44
    我看小老鼠還差不多
  • 0:44 - 0:45
    所以應該是公斤
  • 0:45 - 0:47
    平均是9.5公斤 標準差大約是1.1公斤
  • 0:47 - 0:51
    平均是9.5公斤 標準差大約是1.1公斤
  • 0:51 - 0:56
    寫下來 平均應該是9.5公斤
  • 0:56 - 1:01
    標準差等於1.1公斤
  • 1:01 - 1:05
    不使用計算機 這就是有趣之處
  • 1:05 - 1:09
    估計美國1歲大的女孩體重滿足下列條件
  • 1:09 - 1:10
    估計美國1歲大的女孩體重滿足下列條件
  • 1:10 - 1:13
    不用計算機也能知道
  • 1:13 - 1:15
    也就是暗示使用經驗法則
  • 1:15 - 1:16
    也就是暗示使用經驗法則
  • 1:20 - 1:27
    經驗法則又稱作68-95-99.7法則
  • 1:27 - 1:30
    記住這個名字基本上也就記住了法則
  • 1:30 - 1:32
    記住這個名字基本上也就記住了法則
  • 1:32 - 1:34
    在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚
  • 1:34 - 1:36
    在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚
  • 1:36 - 1:37
    在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚
  • 1:37 - 1:39
    首先畫一個常態分佈
  • 1:39 - 1:40
    再看兩個標準差的分布情況
  • 1:40 - 1:43
    像這樣
  • 1:43 - 1:44
    這是我畫的正態分佈
  • 1:44 - 1:46
    大致上畫就行了
  • 1:46 - 1:48
    它是對稱的
  • 1:48 - 1:50
    這是平均
  • 1:50 - 1:51
    這是平均
  • 1:51 - 1:55
    這是高於平均一個標準差處 這是低於平均一個標準差處
  • 1:55 - 2:00
    這是平均加一個標準差
  • 2:00 - 2:02
    這是平均加一個標準差
  • 2:02 - 2:06
    這是平均減一個標準差
  • 2:06 - 2:09
    完美的常態分佈中
  • 2:09 - 2:12
    低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處
  • 2:12 - 2:15
    低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處
  • 2:15 - 2:19
    也就是說這個區域的面積
  • 2:19 - 2:23
    大概佔整個圖形68%的面積
  • 2:23 - 2:26
    68%的機率落在平均左右一個標準差範圍內
  • 2:26 - 2:28
    68%的機率落在平均左右一個標準差範圍內
  • 2:28 - 2:30
    低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處
  • 2:30 - 2:31
    低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處
  • 2:31 - 2:34
    再看兩個標準差的分布情況
  • 2:34 - 2:37
    再看兩個標準差的分布情況
  • 2:37 - 2:40
    低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處
  • 2:40 - 2:42
    低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處
  • 2:42 - 2:43
    低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處
  • 2:43 - 2:47
    低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處
  • 2:47 - 2:51
    也就是落在兩個標準差範圍內的機率 大概是95%
  • 2:51 - 2:53
    包括中間這部分
  • 2:53 - 2:57
    你應該知道接下來要做什麼
  • 2:57 - 2:58
    68%這部分是95%這部分的子集
  • 2:58 - 3:01
    而平均三個標準差範圍內的分佈機率是 99.7%
  • 3:01 - 3:07
    這就是68-95-99.7法則
  • 3:07 - 3:16
    99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率
  • 3:16 - 3:19
    99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率
  • 3:19 - 3:20
    99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率
  • 3:20 - 3:23
    99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率
  • 3:23 - 3:26
    99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率
  • 3:26 - 3:28
    這就是68-95-99.7法則所表達的
  • 3:28 - 3:31
    下面將68-95-99.7經驗法則用於解題
  • 3:31 - 3:33
    題目中均值和標準差有給我們了 我畫一下
  • 3:33 - 3:35
    題目中均值和標準差有給我們了 我畫一下
  • 3:35 - 3:39
    首先畫好坐標軸 這是坐標軸 再畫鐘形曲線
  • 3:39 - 3:40
    這是坐標軸 再畫鐘形曲線
  • 3:40 - 3:41
    徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦
  • 3:46 - 3:49
    徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦
  • 3:49 - 3:51
    徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦
  • 3:51 - 3:54
    平均是9.5 兩側是對稱的
  • 3:54 - 3:56
    這裡和那裡高度相等 你們應該知道吧!
  • 3:56 - 3:58
    這裡和那裡高度相等 你們應該知道吧!
  • 3:58 - 3:59
    畢竟我不是電腦
  • 3:59 - 4:02
    9.5是平均
  • 4:02 - 4:03
    單位我就不寫了
  • 4:03 - 4:05
    全是公斤
  • 4:05 - 4:11
    標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6
  • 4:11 - 4:14
    標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6
  • 4:14 - 4:17
    標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6
  • 4:17 - 4:20
    這裡我畫的一些虛線 低於平均一個標準差
  • 4:20 - 4:26
    這裡我畫的一些虛線 低於平均一個標準差
  • 4:26 - 4:34
    這裡是9.5-1.1 也就是8.4
  • 4:34 - 4:38
    再看高於平均兩個標準差 又要加一個標準差
  • 4:38 - 4:40
    再看高於平均兩個標準差 又要加一個標準差
  • 4:40 - 4:41
    對吧?
  • 4:41 - 4:42
    就是10.6之後再一個標準差就到11.7了
  • 4:42 - 4:43
    就是10.6之後再一個標準差就到11.7了
  • 4:43 - 4:44
    就是10.6之後再一個標準差就到11.7了
  • 4:44 - 4:47
    再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8
  • 4:47 - 4:49
    再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8
  • 4:49 - 4:51
    再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8
  • 4:51 - 4:54
    另一側進行相同處理 低於平均一個標準差得到8.4
  • 4:54 - 4:55
    另一側進行相同處理 低於平均一個標準差得到8.4
  • 4:55 - 4:58
    低於平均兩個標準差 再減1.1 得到7.3
  • 4:58 - 5:01
    低於平均兩個標準差 再減1.1 得到7.3
  • 5:01 - 5:03
    然後低於平均三個標準差
  • 5:03 - 5:07
    再減1.1 得到6.2公斤
  • 5:07 - 5:09
    這是初始問題
  • 5:09 - 5:12
    那麼美國1歲女孩重量輕於8.4公斤的機率是多少呢
  • 5:12 - 5:18
    那麼美國1歲女孩重量輕於8.4公斤的機率是多少呢
  • 5:18 - 5:19
    或許我該問比8.4公斤輕的機率呢
  • 5:19 - 5:22
    或許我該問比8.4公斤輕的機率呢
  • 5:22 - 5:25
    看這裡，1歲女孩的質量比8.4公斤輕的機率
  • 5:25 - 5:28
    看這裡，1歲女孩的比質量8.4公斤輕的機率
  • 5:28 - 5:31
    就是這個面積
  • 5:31 - 5:32
    就是這個面積
  • 5:32 - 5:35
    我用質量是因為單位是公斤
  • 5:35 - 5:37
    其實也是重量單位
  • 5:37 - 5:38
    這個機率也就是這個面積
  • 5:38 - 5:41
    那麼 用經驗法則如何求常態分佈下這一部分的面積呢
  • 5:41 - 5:44
    那麼 用經驗法則如何求常態分佈下這一部分的面積呢
  • 5:44 - 5:47
    我們現在知道
  • 5:47 - 5:52
    我們現在知道
  • 5:52 - 5:54
    -3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%
  • 5:54 - 5:56
    從平均左側一個標準差處 到平均右側一個標準差處的面積 是68%
  • 5:58 - 6:02
    從平均左側一個標準差處 到平均右側一個標準差處的面積 是68%
  • 6:02 - 6:04
    也就是說不在中間這個區域內的面積是32%
  • 6:04 - 6:07
    因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1
  • 6:07 - 6:11
    因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1
  • 6:11 - 6:14
    因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1
  • 6:14 - 6:18
    機率和面積是一樣的 所有機率和為1
  • 6:18 - 6:21
    絕對不可能超過100%
  • 6:21 - 6:27
    這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
  • 6:27 - 6:29
    這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
  • 6:29 - 6:33
    所以這兩個尾部加起來的值就是100%-68%後剩下的32%
  • 6:33 - 6:34
    所以這兩個尾部加起來的值就是100%-68%後剩下的32%
  • 6:34 - 6:38
    32%是左右兩個尾部的面積的和
  • 6:38 - 6:39
    32%是左右兩個尾部的面積的和
  • 6:39 - 6:41
    由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱
  • 6:41 - 6:43
    由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱
  • 6:43 - 6:45
    由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱
  • 6:45 - 6:49
    也就是說左側的尾部和右側的尾部是相同面積
  • 6:49 - 6:52
    也就是說左側的尾部和右側的尾部是相同面積
  • 6:52 - 6:56
    我用粉紅色標一下 這一個尾部的面積
  • 6:56 - 7:00
    結果像紫色 是16%
  • 7:00 - 7:03
    這一側也是16%
  • 7:03 - 7:06
    也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%
  • 7:06 - 7:08
    也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%
  • 7:08 - 7:10
    也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%
  • 7:10 - 7:13
    低於平均左側一個標準差處的機率也是16%
  • 7:13 - 7:17
    低於平均左側一個標準差處的機率也是16%
  • 7:17 - 7:19
    這裡要求1歲女嬰小於8.4公斤的機率
  • 7:19 - 7:23
    這裡要求1歲女嬰小於8.4公斤的機率
  • 7:23 - 7:28
    小於8.4公斤也就是這個面積
  • 7:28 - 7:30
    即16% 這是a部分的答案
  • 7:30 - 7:33
    即16% 這是a部分的答案
  • 7:33 - 7:38
    再看b部分 7.3到11.7千克之間的機率
  • 7:38 - 7:41
    7.3在這裡
  • 7:41 - 7:47
    低於平均兩個標準差處 而11.7在高於平均兩個標準差處
  • 7:47 - 7:49
    低於平均兩個標準差處 而11.7在高於平均兩個標準差處
  • 7:49 - 7:51
    這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率
  • 7:51 - 7:54
    這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率
  • 7:54 - 7:55
    這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率
  • 7:55 - 7:57
    這是平均 這裡少兩個標準差
  • 7:57 - 8:00
    這是平均 這裡少兩個標準差
  • 8:00 - 8:03
    這裡多兩個標準差 很簡單求
  • 8:03 - 8:04
    這裡多兩個標準差 很簡單求
  • 8:04 - 8:07
    經驗法則告訴我們
  • 8:07 - 8:14
    平均左右兩個標準差之間的機率是95%
  • 8:14 - 8:15
    平均左右兩個標準差之間的機率是95%
  • 8:15 - 8:18
    答案直接從經驗法則中得到
  • 8:18 - 8:21
    最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率
  • 8:21 - 8:26
    最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率
  • 8:26 - 8:28
    最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率
  • 8:28 - 8:30
    12.8公斤比平均大三個標準差
  • 8:30 - 8:34
    所以這裡也就是求大於平均右側三個標準差處的機率
  • 8:34 - 8:36
    所以這裡也就是求大於平均右側三個標準差處的機率
  • 8:36 - 8:42
    也就是這個面積 我用橙色表示
  • 8:42 - 8:44
    或許我該換個對比更強烈的顏色
  • 8:44 - 8:45
    或許我該換個對比更強烈的顏色
  • 8:45 - 8:49
    也就是尾部這段狹長的面積
  • 8:49 - 8:51
    這個機率是多少
  • 8:51 - 8:53
    還是用經驗法則
  • 8:53 - 8:56
    這個面積我們知道
  • 8:56 - 9:00
    這個面積我們知道
  • 9:00 - 9:02
    -3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%
  • 9:02 - 9:04
    -3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%
  • 9:04 - 9:08
    -3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%
  • 9:08 - 9:14
    -3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%
  • 9:14 - 9:17
    絕大部分面積都在這個範圍內
  • 9:17 - 9:18
    絕大部分面積都在這個範圍內
  • 9:18 - 9:20
    絕大部分面積都在這個範圍內
  • 9:20 - 9:21
    除了兩個尾部
  • 9:21 - 9:22
    我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉
  • 9:22 - 9:25
    我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉
  • 9:25 - 9:26
    我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉
  • 9:26 - 9:27
    我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉
  • 9:27 - 9:32
    這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
  • 9:32 - 9:35
    這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
  • 9:35 - 9:39
    這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
  • 9:39 - 9:47
    這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
  • 9:47 - 9:48
    這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
  • 9:48 - 9:50
    由於兩個尾部對稱
  • 9:50 - 9:55
    所以兩側的機率都是0.15%
  • 9:55 - 9:59
    所以兩側的機率都是0.15%
  • 9:59 - 10:04
    也就是說 美國1歲女嬰體重超過12.8公斤的機率
  • 10:04 - 10:07
    也就是說 美國1歲女嬰體重超過12.8公斤的機率
  • 10:07 - 10:10
    也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積
  • 10:10 - 10:13
    也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積
  • 10:13 - 10:14
    也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積
  • 10:14 - 10:22
    該機率等於0.15%
  • 10:22 - 10:24
    希望這章節對大家幫助
Title:
ck12.org Normal Distribution Problems: Empirical Rule
Description:

Using the empirical rule (or 68-95-99.7 rule) to estimate probabilities for normal distributions
more » « less
Video Language:
English
Duration:
10:25

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.