1
00:00:00,610 --> 00:00:04,100
再來看一個ck12.org網站AP統計書裡

2
00:00:04,100 --> 00:00:10,120
的常態分佈問題

3
00:00:10,120 --> 00:00:11,770
這裡的書很好

4
00:00:11,770 --> 00:00:13,990
而且是開放的資源

5
00:00:13,990 --> 00:00:16,475
在這裡我們做的是第三題

6
00:00:16,475 --> 00:00:19,070
在這裡我們做的是第三題

7
00:00:19,070 --> 00:00:20,390
你們可以自行到其網站上去下載書

8
00:00:20,390 --> 00:00:21,690
你們可以自行到其網站上去下載書

9
00:00:21,690 --> 00:00:26,180
假設美國一歲大的女孩

10
00:00:26,180 --> 00:00:28,920
體重符合常態分佈

11
00:00:28,920 --> 00:00:32,330
平均約為9.5克

12
00:00:32,330 --> 00:00:33,820
這裡應該是公斤

13
00:00:33,820 --> 00:00:35,930
我10個月大的兒子都有20磅

14
00:00:35,930 --> 00:00:39,570
大概是9公斤(千克)

15
00:00:39,570 --> 00:00:41,040
9.5克沒什麼重量

16
00:00:41,040 --> 00:00:43,900
我看小老鼠還差不多

17
00:00:43,900 --> 00:00:44,940
所以應該是公斤

18
00:00:44,940 --> 00:00:47,350
平均是9.5公斤 標準差大約是1.1公斤

19
00:00:47,350 --> 00:00:51,050
平均是9.5公斤 標準差大約是1.1公斤

20
00:00:51,050 --> 00:00:56,400
寫下來 平均應該是9.5公斤

21
00:00:56,400 --> 00:01:01,130
標準差等於1.1公斤

22
00:01:01,130 --> 00:01:04,840
不使用計算機 這就是有趣之處

23
00:01:04,840 --> 00:01:08,950
估計美國1歲大的女孩體重滿足下列條件

24
00:01:08,950 --> 00:01:09,995
估計美國1歲大的女孩體重滿足下列條件

25
00:01:09,995 --> 00:01:12,910
不用計算機也能知道

26
00:01:12,910 --> 00:01:15,250
也就是暗示使用經驗法則

27
00:01:15,250 --> 00:01:16,350
也就是暗示使用經驗法則

28
00:01:20,040 --> 00:01:27,480
經驗法則又稱作68-95-99.7法則

29
00:01:27,480 --> 00:01:29,960
記住這個名字基本上也就記住了法則

30
00:01:29,960 --> 00:01:31,500
記住這個名字基本上也就記住了法則

31
00:01:31,500 --> 00:01:33,520
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚

32
00:01:33,520 --> 00:01:35,800
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚

33
00:01:35,800 --> 00:01:36,750
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚

34
00:01:36,750 --> 00:01:38,750
首先畫一個常態分佈

35
00:01:38,750 --> 00:01:40,480
再看兩個標準差的分布情況

36
00:01:40,480 --> 00:01:42,900
像這樣

37
00:01:42,900 --> 00:01:44,240
這是我畫的正態分佈

38
00:01:44,240 --> 00:01:45,940
大致上畫就行了

39
00:01:45,940 --> 00:01:47,560
它是對稱的

40
00:01:47,560 --> 00:01:49,980
這是平均

41
00:01:49,980 --> 00:01:50,840
這是平均

42
00:01:50,840 --> 00:01:54,810
這是高於平均一個標準差處 這是低於平均一個標準差處

43
00:01:54,810 --> 00:02:00,350
這是平均加一個標準差

44
00:02:00,350 --> 00:02:01,780
這是平均加一個標準差

45
00:02:01,780 --> 00:02:05,730
這是平均減一個標準差

46
00:02:05,730 --> 00:02:08,710
完美的常態分佈中

47
00:02:08,710 --> 00:02:12,080
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處

48
00:02:12,080 --> 00:02:14,640
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處

49
00:02:14,640 --> 00:02:19,320
也就是說這個區域的面積

50
00:02:19,320 --> 00:02:23,040
大概佔整個圖形68%的面積

51
00:02:23,040 --> 00:02:26,430
68%的機率落在平均左右一個標準差範圍內

52
00:02:26,430 --> 00:02:27,750
68%的機率落在平均左右一個標準差範圍內

53
00:02:27,750 --> 00:02:30,140
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處

54
00:02:30,140 --> 00:02:31,450
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處

55
00:02:31,450 --> 00:02:34,500
再看兩個標準差的分布情況

56
00:02:34,500 --> 00:02:37,170
再看兩個標準差的分布情況

57
00:02:37,170 --> 00:02:39,570
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處

58
00:02:39,570 --> 00:02:41,780
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處

59
00:02:41,780 --> 00:02:43,190
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處

60
00:02:43,190 --> 00:02:47,360
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處

61
00:02:47,360 --> 00:02:50,740
也就是落在兩個標準差範圍內的機率 大概是95%

62
00:02:50,740 --> 00:02:53,060
包括中間這部分

63
00:02:53,060 --> 00:02:56,510
你應該知道接下來要做什麼

64
00:02:56,510 --> 00:02:58,140
68%這部分是95%這部分的子集

65
00:02:58,140 --> 00:03:01,360
而平均三個標準差範圍內的分佈機率是 99.7%

66
00:03:01,360 --> 00:03:06,820
這就是68-95-99.7法則

67
00:03:06,820 --> 00:03:15,740
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

68
00:03:15,740 --> 00:03:19,120
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

69
00:03:19,120 --> 00:03:20,110
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

70
00:03:20,110 --> 00:03:23,230
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

71
00:03:23,230 --> 00:03:26,030
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

72
00:03:26,030 --> 00:03:27,870
這就是68-95-99.7法則所表達的

73
00:03:27,870 --> 00:03:30,960
下面將68-95-99.7經驗法則用於解題

74
00:03:30,960 --> 00:03:33,140
題目中均值和標準差有給我們了 我畫一下

75
00:03:33,140 --> 00:03:34,550
題目中均值和標準差有給我們了 我畫一下

76
00:03:34,550 --> 00:03:38,550
首先畫好坐標軸 這是坐標軸 再畫鐘形曲線

77
00:03:38,550 --> 00:03:39,600
這是坐標軸 再畫鐘形曲線

78
00:03:39,600 --> 00:03:41,410
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦

79
00:03:45,920 --> 00:03:49,090
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦

80
00:03:49,090 --> 00:03:50,920
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦

81
00:03:50,920 --> 00:03:54,140
平均是9.5 兩側是對稱的

82
00:03:54,140 --> 00:03:55,710
這裡和那裡高度相等 你們應該知道吧!

83
00:03:55,710 --> 00:03:57,600
這裡和那裡高度相等 你們應該知道吧!

84
00:03:57,600 --> 00:03:59,260
畢竟我不是電腦

85
00:03:59,260 --> 00:04:02,390
9.5是平均

86
00:04:02,390 --> 00:04:03,370
單位我就不寫了

87
00:04:03,370 --> 00:04:04,580
全是公斤

88
00:04:04,580 --> 00:04:11,330
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6

89
00:04:11,330 --> 00:04:14,220
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6

90
00:04:14,220 --> 00:04:16,820
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6

91
00:04:16,820 --> 00:04:19,620
這裡我畫的一些虛線 低於平均一個標準差

92
00:04:19,620 --> 00:04:25,990
這裡我畫的一些虛線 低於平均一個標準差

93
00:04:25,990 --> 00:04:34,110
這裡是9.5-1.1 也就是8.4

94
00:04:34,110 --> 00:04:37,620
再看高於平均兩個標準差 又要加一個標準差

95
00:04:37,620 --> 00:04:40,400
再看高於平均兩個標準差 又要加一個標準差

96
00:04:40,400 --> 00:04:40,610
對吧?

97
00:04:40,610 --> 00:04:41,890
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了

98
00:04:41,890 --> 00:04:42,700
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了

99
00:04:42,700 --> 00:04:44,435
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了

100
00:04:44,435 --> 00:04:47,040
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8

101
00:04:47,040 --> 00:04:48,910
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8

102
00:04:48,910 --> 00:04:50,720
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8

103
00:04:50,720 --> 00:04:53,820
另一側進行相同處理 低於平均一個標準差得到8.4

104
00:04:53,820 --> 00:04:55,380
另一側進行相同處理 低於平均一個標準差得到8.4

105
00:04:55,380 --> 00:04:58,480
低於平均兩個標準差 再減1.1 得到7.3

106
00:04:58,480 --> 00:05:00,910
低於平均兩個標準差 再減1.1 得到7.3

107
00:05:00,910 --> 00:05:03,380
然後低於平均三個標準差

108
00:05:03,380 --> 00:05:07,280
再減1.1 得到6.2公斤

109
00:05:07,280 --> 00:05:08,860
這是初始問題

110
00:05:08,860 --> 00:05:12,070
那麼美國1歲女孩重量輕於8.4公斤的機率是多少呢

111
00:05:12,070 --> 00:05:17,730
那麼美國1歲女孩重量輕於8.4公斤的機率是多少呢

112
00:05:17,730 --> 00:05:19,330
或許我該問比8.4公斤輕的機率呢

113
00:05:19,330 --> 00:05:21,640
或許我該問比8.4公斤輕的機率呢

114
00:05:21,640 --> 00:05:25,150
看這裡，1歲女孩的質量比8.4公斤輕的機率

115
00:05:25,150 --> 00:05:28,070
看這裡，1歲女孩的比質量8.4公斤輕的機率

116
00:05:28,070 --> 00:05:30,920
就是這個面積

117
00:05:30,920 --> 00:05:31,610
就是這個面積

118
00:05:31,610 --> 00:05:35,070
我用質量是因為單位是公斤

119
00:05:35,070 --> 00:05:36,940
其實也是重量單位

120
00:05:36,940 --> 00:05:38,470
這個機率也就是這個面積

121
00:05:38,470 --> 00:05:40,950
那麼 用經驗法則如何求常態分佈下這一部分的面積呢

122
00:05:40,950 --> 00:05:43,900
那麼 用經驗法則如何求常態分佈下這一部分的面積呢

123
00:05:43,900 --> 00:05:47,280
我們現在知道

124
00:05:47,280 --> 00:05:52,370
我們現在知道

125
00:05:52,370 --> 00:05:54,500
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

126
00:05:54,500 --> 00:05:55,920
從平均左側一個標準差處 到平均右側一個標準差處的面積 是68%

127
00:05:58,430 --> 00:06:01,720
從平均左側一個標準差處 到平均右側一個標準差處的面積 是68%

128
00:06:01,720 --> 00:06:04,360
也就是說不在中間這個區域內的面積是32%

129
00:06:04,360 --> 00:06:07,200
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1

130
00:06:07,200 --> 00:06:11,380
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1

131
00:06:11,380 --> 00:06:14,490
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1

132
00:06:14,490 --> 00:06:17,880
機率和面積是一樣的 所有機率和為1

133
00:06:17,880 --> 00:06:21,480
絕對不可能超過100%

134
00:06:21,480 --> 00:06:27,270
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

135
00:06:27,270 --> 00:06:29,490
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

136
00:06:29,490 --> 00:06:32,590
所以這兩個尾部加起來的值就是100%-68%後剩下的32%

137
00:06:32,590 --> 00:06:33,920
所以這兩個尾部加起來的值就是100%-68%後剩下的32%

138
00:06:33,920 --> 00:06:37,820
32%是左右兩個尾部的面積的和

139
00:06:37,820 --> 00:06:39,240
32%是左右兩個尾部的面積的和

140
00:06:39,240 --> 00:06:41,120
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱

141
00:06:41,120 --> 00:06:42,535
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱

142
00:06:42,535 --> 00:06:44,780
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱

143
00:06:44,780 --> 00:06:48,730
也就是說左側的尾部和右側的尾部是相同面積

144
00:06:48,730 --> 00:06:51,820
也就是說左側的尾部和右側的尾部是相同面積

145
00:06:51,820 --> 00:06:56,490
我用粉紅色標一下 這一個尾部的面積

146
00:06:56,490 --> 00:07:00,020
結果像紫色 是16%

147
00:07:00,020 --> 00:07:02,700
這一側也是16%

148
00:07:02,700 --> 00:07:05,900
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%

149
00:07:05,900 --> 00:07:08,280
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%

150
00:07:08,280 --> 00:07:09,760
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%

151
00:07:09,760 --> 00:07:13,040
低於平均左側一個標準差處的機率也是16%

152
00:07:13,040 --> 00:07:17,050
低於平均左側一個標準差處的機率也是16%

153
00:07:17,050 --> 00:07:19,060
這裡要求1歲女嬰小於8.4公斤的機率

154
00:07:19,060 --> 00:07:23,140
這裡要求1歲女嬰小於8.4公斤的機率

155
00:07:23,140 --> 00:07:27,970
小於8.4公斤也就是這個面積

156
00:07:27,970 --> 00:07:29,500
即16% 這是a部分的答案

157
00:07:29,500 --> 00:07:33,270
即16% 這是a部分的答案

158
00:07:33,270 --> 00:07:38,280
再看b部分 7.3到11.7千克之間的機率

159
00:07:38,280 --> 00:07:41,130
7.3在這裡

160
00:07:41,130 --> 00:07:47,120
低於平均兩個標準差處 而11.7在高於平均兩個標準差處

161
00:07:47,120 --> 00:07:49,100
低於平均兩個標準差處 而11.7在高於平均兩個標準差處

162
00:07:49,100 --> 00:07:51,260
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率

163
00:07:51,260 --> 00:07:54,340
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率

164
00:07:54,340 --> 00:07:55,230
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率

165
00:07:55,230 --> 00:07:57,040
這是平均 這裡少兩個標準差

166
00:07:57,040 --> 00:08:00,250
這是平均 這裡少兩個標準差

167
00:08:00,250 --> 00:08:02,630
這裡多兩個標準差 很簡單求

168
00:08:02,630 --> 00:08:04,130
這裡多兩個標準差 很簡單求

169
00:08:04,130 --> 00:08:07,490
經驗法則告訴我們

170
00:08:07,490 --> 00:08:13,950
平均左右兩個標準差之間的機率是95%

171
00:08:13,950 --> 00:08:15,140
平均左右兩個標準差之間的機率是95%

172
00:08:15,140 --> 00:08:17,740
答案直接從經驗法則中得到

173
00:08:17,740 --> 00:08:21,440
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率

174
00:08:21,440 --> 00:08:25,510
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率

175
00:08:25,510 --> 00:08:28,310
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率

176
00:08:28,310 --> 00:08:29,770
12.8公斤比平均大三個標準差

177
00:08:29,770 --> 00:08:34,100
所以這裡也就是求大於平均右側三個標準差處的機率

178
00:08:34,100 --> 00:08:36,250
所以這裡也就是求大於平均右側三個標準差處的機率

179
00:08:36,250 --> 00:08:42,170
也就是這個面積 我用橙色表示

180
00:08:42,170 --> 00:08:44,310
或許我該換個對比更強烈的顏色

181
00:08:44,310 --> 00:08:45,280
或許我該換個對比更強烈的顏色

182
00:08:45,280 --> 00:08:48,575
也就是尾部這段狹長的面積

183
00:08:48,575 --> 00:08:51,020
這個機率是多少

184
00:08:51,020 --> 00:08:53,420
還是用經驗法則

185
00:08:53,420 --> 00:08:56,230
這個面積我們知道

186
00:08:56,230 --> 00:08:59,740
這個面積我們知道

187
00:08:59,740 --> 00:09:01,960
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

188
00:09:01,960 --> 00:09:04,090
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

189
00:09:04,090 --> 00:09:08,200
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

190
00:09:08,200 --> 00:09:14,300
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

191
00:09:14,300 --> 00:09:16,830
絕大部分面積都在這個範圍內

192
00:09:16,830 --> 00:09:17,940
絕大部分面積都在這個範圍內

193
00:09:17,940 --> 00:09:20,320
絕大部分面積都在這個範圍內

194
00:09:20,320 --> 00:09:21,220
除了兩個尾部

195
00:09:21,220 --> 00:09:22,330
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉

196
00:09:22,330 --> 00:09:24,630
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉

197
00:09:24,630 --> 00:09:25,730
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉

198
00:09:25,730 --> 00:09:27,480
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉

199
00:09:27,480 --> 00:09:32,160
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

200
00:09:32,160 --> 00:09:35,280
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

201
00:09:35,280 --> 00:09:39,150
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

202
00:09:39,150 --> 00:09:46,530
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

203
00:09:46,530 --> 00:09:48,250
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

204
00:09:48,250 --> 00:09:49,620
由於兩個尾部對稱

205
00:09:49,620 --> 00:09:54,880
所以兩側的機率都是0.15%

206
00:09:54,880 --> 00:09:59,160
所以兩側的機率都是0.15%

207
00:09:59,160 --> 00:10:03,650
也就是說 美國1歲女嬰體重超過12.8公斤的機率

208
00:10:03,650 --> 00:10:07,250
也就是說 美國1歲女嬰體重超過12.8公斤的機率

209
00:10:07,250 --> 00:10:10,490
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積

210
00:10:10,490 --> 00:10:13,040
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積

211
00:10:13,040 --> 00:10:14,250
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積

212
00:10:14,250 --> 00:10:21,760
該機率等於0.15%

213
00:10:21,760 --> 00:10:24,410
希望這章節對大家幫助