再來看一個ck12.org網站AP統計書裡
的常態分佈問題
這裡的書很好
而且是開放的資源
在這裡我們做的是第三題
在這裡我們做的是第三題
你們可以自行到其網站上去下載書
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假設美國一歲大的女孩
體重符合常態分佈
平均約為9.5克
這裡應該是公斤
我10個月大的兒子都有20磅
大概是9公斤(千克)
9.5克沒什麼重量
我看小老鼠還差不多
所以應該是公斤
平均是9.5公斤 標準差大約是1.1公斤
平均是9.5公斤 標準差大約是1.1公斤
寫下來 平均應該是9.5公斤
標準差等於1.1公斤
不使用計算機 這就是有趣之處
估計美國1歲大的女孩體重滿足下列條件
估計美國1歲大的女孩體重滿足下列條件
不用計算機也能知道
也就是暗示使用經驗法則
也就是暗示使用經驗法則
經驗法則又稱作68-95-99.7法則
記住這個名字基本上也就記住了法則
記住這個名字基本上也就記住了法則
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚
首先畫一個常態分佈
再看兩個標準差的分布情況
像這樣
這是我畫的正態分佈
大致上畫就行了
它是對稱的
這是平均
這是平均
這是高於平均一個標準差處 這是低於平均一個標準差處
這是平均加一個標準差
這是平均加一個標準差
這是平均減一個標準差
完美的常態分佈中
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處
也就是說這個區域的面積
大概佔整個圖形68%的面積
68%的機率落在平均左右一個標準差範圍內
68%的機率落在平均左右一個標準差範圍內
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處
再看兩個標準差的分布情況
再看兩個標準差的分布情況
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處
也就是落在兩個標準差範圍內的機率 大概是95%
包括中間這部分
你應該知道接下來要做什麼
68%這部分是95%這部分的子集
而平均三個標準差範圍內的分佈機率是 99.7%
這就是68-95-99.7法則
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率
這就是68-95-99.7法則所表達的
下面將68-95-99.7經驗法則用於解題
題目中均值和標準差有給我們了 我畫一下
題目中均值和標準差有給我們了 我畫一下
首先畫好坐標軸 這是坐標軸 再畫鐘形曲線
這是坐標軸 再畫鐘形曲線
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦
平均是9.5 兩側是對稱的
這裡和那裡高度相等 你們應該知道吧!
這裡和那裡高度相等 你們應該知道吧!
畢竟我不是電腦
9.5是平均
單位我就不寫了
全是公斤
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6
這裡我畫的一些虛線 低於平均一個標準差
這裡我畫的一些虛線 低於平均一個標準差
這裡是9.5-1.1 也就是8.4
再看高於平均兩個標準差 又要加一個標準差
再看高於平均兩個標準差 又要加一個標準差
對吧?
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8
另一側進行相同處理 低於平均一個標準差得到8.4
另一側進行相同處理 低於平均一個標準差得到8.4
低於平均兩個標準差 再減1.1 得到7.3
低於平均兩個標準差 再減1.1 得到7.3
然後低於平均三個標準差
再減1.1 得到6.2公斤
這是初始問題
那麼美國1歲女孩重量輕於8.4公斤的機率是多少呢
那麼美國1歲女孩重量輕於8.4公斤的機率是多少呢
或許我該問比8.4公斤輕的機率呢
或許我該問比8.4公斤輕的機率呢
看這裡，1歲女孩的質量比8.4公斤輕的機率
看這裡，1歲女孩的比質量8.4公斤輕的機率
就是這個面積
就是這個面積
我用質量是因為單位是公斤
其實也是重量單位
這個機率也就是這個面積
那麼 用經驗法則如何求常態分佈下這一部分的面積呢
那麼 用經驗法則如何求常態分佈下這一部分的面積呢
我們現在知道
我們現在知道
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%
從平均左側一個標準差處 到平均右側一個標準差處的面積 是68%
從平均左側一個標準差處 到平均右側一個標準差處的面積 是68%
也就是說不在中間這個區域內的面積是32%
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1
機率和面積是一樣的 所有機率和為1
絕對不可能超過100%
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
所以這兩個尾部加起來的值就是100%-68%後剩下的32%
所以這兩個尾部加起來的值就是100%-68%後剩下的32%
32%是左右兩個尾部的面積的和
32%是左右兩個尾部的面積的和
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱
也就是說左側的尾部和右側的尾部是相同面積
也就是說左側的尾部和右側的尾部是相同面積
我用粉紅色標一下 這一個尾部的面積
結果像紫色 是16%
這一側也是16%
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%
低於平均左側一個標準差處的機率也是16%
低於平均左側一個標準差處的機率也是16%
這裡要求1歲女嬰小於8.4公斤的機率
這裡要求1歲女嬰小於8.4公斤的機率
小於8.4公斤也就是這個面積
即16% 這是a部分的答案
即16% 這是a部分的答案
再看b部分 7.3到11.7千克之間的機率
7.3在這裡
低於平均兩個標準差處 而11.7在高於平均兩個標準差處
低於平均兩個標準差處 而11.7在高於平均兩個標準差處
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率
這是平均 這裡少兩個標準差
這是平均 這裡少兩個標準差
這裡多兩個標準差 很簡單求
這裡多兩個標準差 很簡單求
經驗法則告訴我們
平均左右兩個標準差之間的機率是95%
平均左右兩個標準差之間的機率是95%
答案直接從經驗法則中得到
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率
12.8公斤比平均大三個標準差
所以這裡也就是求大於平均右側三個標準差處的機率
所以這裡也就是求大於平均右側三個標準差處的機率
也就是這個面積 我用橙色表示
或許我該換個對比更強烈的顏色
或許我該換個對比更強烈的顏色
也就是尾部這段狹長的面積
這個機率是多少
還是用經驗法則
這個面積我們知道
這個面積我們知道
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%
絕大部分面積都在這個範圍內
絕大部分面積都在這個範圍內
絕大部分面積都在這個範圍內
除了兩個尾部
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
由於兩個尾部對稱
所以兩側的機率都是0.15%
所以兩側的機率都是0.15%
也就是說 美國1歲女嬰體重超過12.8公斤的機率
也就是說 美國1歲女嬰體重超過12.8公斤的機率
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積
該機率等於0.15%
希望這章節對大家幫助