0:00:00.610,0:00:04.100
再來看一個ck12.org網站AP統計書裡

0:00:04.100,0:00:10.120
的常態分佈問題

0:00:10.120,0:00:11.770
這裡的書很好

0:00:11.770,0:00:13.990
而且是開放的資源

0:00:13.990,0:00:16.475
在這裡我們做的是第三題

0:00:16.475,0:00:19.070
在這裡我們做的是第三題

0:00:19.070,0:00:20.390
你們可以自行到其網站上去下載書

0:00:20.390,0:00:21.690
你們可以自行到其網站上去下載書

0:00:21.690,0:00:26.180
假設美國一歲大的女孩

0:00:26.180,0:00:28.920
體重符合常態分佈

0:00:28.920,0:00:32.330
平均約為9.5克

0:00:32.330,0:00:33.820
這裡應該是公斤

0:00:33.820,0:00:35.930
我10個月大的兒子都有20磅

0:00:35.930,0:00:39.570
大概是9公斤(千克)

0:00:39.570,0:00:41.040
9.5克沒什麼重量

0:00:41.040,0:00:43.900
我看小老鼠還差不多

0:00:43.900,0:00:44.940
所以應該是公斤

0:00:44.940,0:00:47.350
平均是9.5公斤 標準差大約是1.1公斤

0:00:47.350,0:00:51.050
平均是9.5公斤 標準差大約是1.1公斤

0:00:51.050,0:00:56.400
寫下來 平均應該是9.5公斤

0:00:56.400,0:01:01.130
標準差等於1.1公斤

0:01:01.130,0:01:04.840
不使用計算機 這就是有趣之處

0:01:04.840,0:01:08.950
估計美國1歲大的女孩體重滿足下列條件

0:01:08.950,0:01:09.995
估計美國1歲大的女孩體重滿足下列條件

0:01:09.995,0:01:12.910
不用計算機也能知道

0:01:12.910,0:01:15.250
也就是暗示使用經驗法則

0:01:15.250,0:01:16.350
也就是暗示使用經驗法則

0:01:20.040,0:01:27.480
經驗法則又稱作68-95-99.7法則

0:01:27.480,0:01:29.960
記住這個名字基本上也就記住了法則

0:01:29.960,0:01:31.500
記住這個名字基本上也就記住了法則

0:01:31.500,0:01:33.520
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚

0:01:33.520,0:01:35.800
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚

0:01:35.800,0:01:36.750
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚

0:01:36.750,0:01:38.750
首先畫一個常態分佈

0:01:38.750,0:01:40.480
再看兩個標準差的分布情況

0:01:40.480,0:01:42.900
像這樣

0:01:42.900,0:01:44.240
這是我畫的正態分佈

0:01:44.240,0:01:45.940
大致上畫就行了

0:01:45.940,0:01:47.560
它是對稱的

0:01:47.560,0:01:49.980
這是平均

0:01:49.980,0:01:50.840
這是平均

0:01:50.840,0:01:54.810
這是高於平均一個標準差處 這是低於平均一個標準差處

0:01:54.810,0:02:00.350
這是平均加一個標準差

0:02:00.350,0:02:01.780
這是平均加一個標準差

0:02:01.780,0:02:05.730
這是平均減一個標準差

0:02:05.730,0:02:08.710
完美的常態分佈中

0:02:08.710,0:02:12.080
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處

0:02:12.080,0:02:14.640
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處

0:02:14.640,0:02:19.320
也就是說這個區域的面積

0:02:19.320,0:02:23.040
大概佔整個圖形68%的面積

0:02:23.040,0:02:26.430
68%的機率落在平均左右一個標準差範圍內

0:02:26.430,0:02:27.750
68%的機率落在平均左右一個標準差範圍內

0:02:27.750,0:02:30.140
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處

0:02:30.140,0:02:31.450
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處

0:02:31.450,0:02:34.500
再看兩個標準差的分布情況

0:02:34.500,0:02:37.170
再看兩個標準差的分布情況

0:02:37.170,0:02:39.570
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處

0:02:39.570,0:02:41.780
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處

0:02:41.780,0:02:43.190
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處

0:02:43.190,0:02:47.360
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處

0:02:47.360,0:02:50.740
也就是落在兩個標準差範圍內的機率 大概是95%

0:02:50.740,0:02:53.060
包括中間這部分

0:02:53.060,0:02:56.510
你應該知道接下來要做什麼

0:02:56.510,0:02:58.140
68%這部分是95%這部分的子集

0:02:58.140,0:03:01.360
而平均三個標準差範圍內的分佈機率是 99.7%

0:03:01.360,0:03:06.820
這就是68-95-99.7法則

0:03:06.820,0:03:15.740
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

0:03:15.740,0:03:19.120
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

0:03:19.120,0:03:20.110
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

0:03:20.110,0:03:23.230
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

0:03:23.230,0:03:26.030
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

0:03:26.030,0:03:27.870
這就是68-95-99.7法則所表達的

0:03:27.870,0:03:30.960
下面將68-95-99.7經驗法則用於解題

0:03:30.960,0:03:33.140
題目中均值和標準差有給我們了 我畫一下

0:03:33.140,0:03:34.550
題目中均值和標準差有給我們了 我畫一下

0:03:34.550,0:03:38.550
首先畫好坐標軸 這是坐標軸 再畫鐘形曲線

0:03:38.550,0:03:39.600
這是坐標軸 再畫鐘形曲線

0:03:39.600,0:03:41.410
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦

0:03:45.920,0:03:49.090
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦

0:03:49.090,0:03:50.920
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦

0:03:50.920,0:03:54.140
平均是9.5 兩側是對稱的

0:03:54.140,0:03:55.710
這裡和那裡高度相等 你們應該知道吧!

0:03:55.710,0:03:57.600
這裡和那裡高度相等 你們應該知道吧!

0:03:57.600,0:03:59.260
畢竟我不是電腦

0:03:59.260,0:04:02.390
9.5是平均

0:04:02.390,0:04:03.370
單位我就不寫了

0:04:03.370,0:04:04.580
全是公斤

0:04:04.580,0:04:11.330
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6

0:04:11.330,0:04:14.220
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6

0:04:14.220,0:04:16.820
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6

0:04:16.820,0:04:19.620
這裡我畫的一些虛線 低於平均一個標準差

0:04:19.620,0:04:25.990
這裡我畫的一些虛線 低於平均一個標準差

0:04:25.990,0:04:34.110
這裡是9.5-1.1 也就是8.4

0:04:34.110,0:04:37.620
再看高於平均兩個標準差 又要加一個標準差

0:04:37.620,0:04:40.400
再看高於平均兩個標準差 又要加一個標準差

0:04:40.400,0:04:40.610
對吧?

0:04:40.610,0:04:41.890
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了

0:04:41.890,0:04:42.700
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了

0:04:42.700,0:04:44.435
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了

0:04:44.435,0:04:47.040
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8

0:04:47.040,0:04:48.910
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8

0:04:48.910,0:04:50.720
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8

0:04:50.720,0:04:53.820
另一側進行相同處理 低於平均一個標準差得到8.4

0:04:53.820,0:04:55.380
另一側進行相同處理 低於平均一個標準差得到8.4

0:04:55.380,0:04:58.480
低於平均兩個標準差 再減1.1 得到7.3

0:04:58.480,0:05:00.910
低於平均兩個標準差 再減1.1 得到7.3

0:05:00.910,0:05:03.380
然後低於平均三個標準差

0:05:03.380,0:05:07.280
再減1.1 得到6.2公斤

0:05:07.280,0:05:08.860
這是初始問題

0:05:08.860,0:05:12.070
那麼美國1歲女孩重量輕於8.4公斤的機率是多少呢

0:05:12.070,0:05:17.730
那麼美國1歲女孩重量輕於8.4公斤的機率是多少呢

0:05:17.730,0:05:19.330
或許我該問比8.4公斤輕的機率呢

0:05:19.330,0:05:21.640
或許我該問比8.4公斤輕的機率呢

0:05:21.640,0:05:25.150
看這裡，1歲女孩的質量比8.4公斤輕的機率

0:05:25.150,0:05:28.070
看這裡，1歲女孩的比質量8.4公斤輕的機率

0:05:28.070,0:05:30.920
就是這個面積

0:05:30.920,0:05:31.610
就是這個面積

0:05:31.610,0:05:35.070
我用質量是因為單位是公斤

0:05:35.070,0:05:36.940
其實也是重量單位

0:05:36.940,0:05:38.470
這個機率也就是這個面積

0:05:38.470,0:05:40.950
那麼 用經驗法則如何求常態分佈下這一部分的面積呢

0:05:40.950,0:05:43.900
那麼 用經驗法則如何求常態分佈下這一部分的面積呢

0:05:43.900,0:05:47.280
我們現在知道

0:05:47.280,0:05:52.370
我們現在知道

0:05:52.370,0:05:54.500
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

0:05:54.500,0:05:55.920
從平均左側一個標準差處 到平均右側一個標準差處的面積 是68%

0:05:58.430,0:06:01.720
從平均左側一個標準差處 到平均右側一個標準差處的面積 是68%

0:06:01.720,0:06:04.360
也就是說不在中間這個區域內的面積是32%

0:06:04.360,0:06:07.200
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1

0:06:07.200,0:06:11.380
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1

0:06:11.380,0:06:14.490
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1

0:06:14.490,0:06:17.880
機率和面積是一樣的 所有機率和為1

0:06:17.880,0:06:21.480
絕對不可能超過100%

0:06:21.480,0:06:27.270
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

0:06:27.270,0:06:29.490
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

0:06:29.490,0:06:32.590
所以這兩個尾部加起來的值就是100%-68%後剩下的32%

0:06:32.590,0:06:33.920
所以這兩個尾部加起來的值就是100%-68%後剩下的32%

0:06:33.920,0:06:37.820
32%是左右兩個尾部的面積的和

0:06:37.820,0:06:39.240
32%是左右兩個尾部的面積的和

0:06:39.240,0:06:41.120
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱

0:06:41.120,0:06:42.535
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱

0:06:42.535,0:06:44.780
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱

0:06:44.780,0:06:48.730
也就是說左側的尾部和右側的尾部是相同面積

0:06:48.730,0:06:51.820
也就是說左側的尾部和右側的尾部是相同面積

0:06:51.820,0:06:56.490
我用粉紅色標一下 這一個尾部的面積

0:06:56.490,0:07:00.020
結果像紫色 是16%

0:07:00.020,0:07:02.700
這一側也是16%

0:07:02.700,0:07:05.900
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%

0:07:05.900,0:07:08.280
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%

0:07:08.280,0:07:09.760
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%

0:07:09.760,0:07:13.040
低於平均左側一個標準差處的機率也是16%

0:07:13.040,0:07:17.050
低於平均左側一個標準差處的機率也是16%

0:07:17.050,0:07:19.060
這裡要求1歲女嬰小於8.4公斤的機率

0:07:19.060,0:07:23.140
這裡要求1歲女嬰小於8.4公斤的機率

0:07:23.140,0:07:27.970
小於8.4公斤也就是這個面積

0:07:27.970,0:07:29.500
即16% 這是a部分的答案

0:07:29.500,0:07:33.270
即16% 這是a部分的答案

0:07:33.270,0:07:38.280
再看b部分 7.3到11.7千克之間的機率

0:07:38.280,0:07:41.130
7.3在這裡

0:07:41.130,0:07:47.120
低於平均兩個標準差處 而11.7在高於平均兩個標準差處

0:07:47.120,0:07:49.100
低於平均兩個標準差處 而11.7在高於平均兩個標準差處

0:07:49.100,0:07:51.260
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率

0:07:51.260,0:07:54.340
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率

0:07:54.340,0:07:55.230
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率

0:07:55.230,0:07:57.040
這是平均 這裡少兩個標準差

0:07:57.040,0:08:00.250
這是平均 這裡少兩個標準差

0:08:00.250,0:08:02.630
這裡多兩個標準差 很簡單求

0:08:02.630,0:08:04.130
這裡多兩個標準差 很簡單求

0:08:04.130,0:08:07.490
經驗法則告訴我們

0:08:07.490,0:08:13.950
平均左右兩個標準差之間的機率是95%

0:08:13.950,0:08:15.140
平均左右兩個標準差之間的機率是95%

0:08:15.140,0:08:17.740
答案直接從經驗法則中得到

0:08:17.740,0:08:21.440
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率

0:08:21.440,0:08:25.510
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率

0:08:25.510,0:08:28.310
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率

0:08:28.310,0:08:29.770
12.8公斤比平均大三個標準差

0:08:29.770,0:08:34.100
所以這裡也就是求大於平均右側三個標準差處的機率

0:08:34.100,0:08:36.250
所以這裡也就是求大於平均右側三個標準差處的機率

0:08:36.250,0:08:42.170
也就是這個面積 我用橙色表示

0:08:42.170,0:08:44.310
或許我該換個對比更強烈的顏色

0:08:44.310,0:08:45.280
或許我該換個對比更強烈的顏色

0:08:45.280,0:08:48.575
也就是尾部這段狹長的面積

0:08:48.575,0:08:51.020
這個機率是多少

0:08:51.020,0:08:53.420
還是用經驗法則

0:08:53.420,0:08:56.230
這個面積我們知道

0:08:56.230,0:08:59.740
這個面積我們知道

0:08:59.740,0:09:01.960
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

0:09:01.960,0:09:04.090
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

0:09:04.090,0:09:08.200
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

0:09:08.200,0:09:14.300
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

0:09:14.300,0:09:16.830
絕大部分面積都在這個範圍內

0:09:16.830,0:09:17.940
絕大部分面積都在這個範圍內

0:09:17.940,0:09:20.320
絕大部分面積都在這個範圍內

0:09:20.320,0:09:21.220
除了兩個尾部

0:09:21.220,0:09:22.330
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉

0:09:22.330,0:09:24.630
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉

0:09:24.630,0:09:25.730
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉

0:09:25.730,0:09:27.480
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉

0:09:27.480,0:09:32.160
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

0:09:32.160,0:09:35.280
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

0:09:35.280,0:09:39.150
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

0:09:39.150,0:09:46.530
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

0:09:46.530,0:09:48.250
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

0:09:48.250,0:09:49.620
由於兩個尾部對稱

0:09:49.620,0:09:54.880
所以兩側的機率都是0.15%

0:09:54.880,0:09:59.160
所以兩側的機率都是0.15%

0:09:59.160,0:10:03.650
也就是說 美國1歲女嬰體重超過12.8公斤的機率

0:10:03.650,0:10:07.250
也就是說 美國1歲女嬰體重超過12.8公斤的機率

0:10:07.250,0:10:10.490
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積

0:10:10.490,0:10:13.040
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積

0:10:13.040,0:10:14.250
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積

0:10:14.250,0:10:21.760
該機率等於0.15%

0:10:21.760,0:10:24.410
希望這章節對大家幫助