再來看一個ck12.org網站AP統計書裡
的常態分佈問題
這裡的書很好
而且是開放的資源
在這裡我們做的是第三題
你們可以自行到其網站上去下載書
假設美國一歲大的女孩
體重符合常態分佈
平均約為9.5克
這裡應該是公斤
我10個月大的兒子都有20磅
大概是9公斤(千克)
9.5克沒什麼重量
我看小老鼠還差不多
所以應該是公斤
平均是9.5公斤 標準差大約是1.1公斤
寫下來 平均應該是9.5公斤
標準差等於1.1公斤
不使用計算機 這就是有趣之處
估計美國1歲大的女孩體重滿足下列條件
不用計算機也能知道
也就是暗示使用經驗法則
經驗法則又稱作68-95-99.7法則
記住這個名字基本上也就記住了法則
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚
首先畫一個常態分佈
再看兩個標準差的分布情況
像這樣
這是我畫的正態分佈
大致上畫就行了
它是對稱的
這是平均
這是高於平均一個標準差處 這是低於平均一個標準差處
這是平均加一個標準差
這是平均減一個標準差
完美的常態分佈中
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處
也就是說這個區域的面積
大概佔整個圖形68%的面積
68%的機率落在平均左右一個標準差範圍內
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處
再看兩個標準差的分布情況
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處
也就是落在兩個標準差範圍內的機率 大概是95%
包括中間這部分
你應該知道接下來要做什麼
68%這部分是95%這部分的子集
而平均三個標準差範圍內的分佈機率是 99.7%
這就是68-95-99.7法則
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率
這就是68-95-99.7法則所表達的
下面將68-95-99.7經驗法則用於解題
題目中均值和標準差有給我們了 我畫一下
首先畫好坐標軸 這是坐標軸 再畫鐘形曲線
這是坐標軸 再畫鐘形曲線
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦
平均是9.5 兩側是對稱的
這裡和那裡高度相等 你們應該知道吧!
畢竟我不是電腦
9.5是平均
單位我就不寫了
全是公斤
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6
這裡我畫的一些虛線 低於平均一個標準差
這裡是9.5-1.1 也就是8.4
再看高於平均兩個標準差 又要加一個標準差
對吧?
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8
另一側進行相同處理 低於平均一個標準差得到8.4
低於平均兩個標準差 再減1.1 得到7.3
然後低於平均三個標準差
再減1.1 得到6.2公斤
這是初始問題
那麼美國1歲女孩重量輕於8.4公斤的機率是多少呢
或許我該問比8.4公斤輕的機率呢
看這裡，1歲女孩的質量比8.4公斤輕的機率
看這裡，1歲女孩的比質量8.4公斤輕的機率
就是這個面積
我用質量是因為單位是公斤
其實也是重量單位
這個機率也就是這個面積
那麼 用經驗法則如何求常態分佈下這一部分的面積呢
我們現在知道
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%
從平均左側一個標準差處 到平均右側一個標準差處的面積 是68%
也就是說不在中間這個區域內的面積是32%
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1
機率和面積是一樣的 所有機率和為1
絕對不可能超過100%
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
所以這兩個尾部加起來的值就是100%-68%後剩下的32%
32%是左右兩個尾部的面積的和
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱
也就是說左側的尾部和右側的尾部是相同面積
我用粉紅色標一下 這一個尾部的面積
結果像紫色 是16%
這一側也是16%
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%
低於平均左側一個標準差處的機率也是16%
這裡要求1歲女嬰小於8.4公斤的機率
小於8.4公斤也就是這個面積
即16% 這是a部分的答案
再看b部分 7.3到11.7千克之間的機率
7.3在這裡
低於平均兩個標準差處 而11.7在高於平均兩個標準差處
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率
這是平均 這裡少兩個標準差
這裡多兩個標準差 很簡單求
經驗法則告訴我們
平均左右兩個標準差之間的機率是95%
答案直接從經驗法則中得到
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率
12.8公斤比平均大三個標準差
所以這裡也就是求大於平均右側三個標準差處的機率
也就是這個面積 我用橙色表示
或許我該換個對比更強烈的顏色
也就是尾部這段狹長的面積
這個機率是多少
還是用經驗法則
這個面積我們知道
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%
絕大部分面積都在這個範圍內
除了兩個尾部
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%
由於兩個尾部對稱
所以兩側的機率都是0.15%
也就是說 美國1歲女嬰體重超過12.8公斤的機率
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積
該機率等於0.15%
希望這章節對大家幫助