WEBVTT

00:00:00.610 --> 00:00:04.100
再來看一個ck12.org網站AP統計書裡

00:00:04.100 --> 00:00:10.120
的常態分佈問題

00:00:10.120 --> 00:00:11.770
這裡的書很好

00:00:11.770 --> 00:00:13.990
而且是開放的資源

00:00:13.990 --> 00:00:16.475
在這裡我們做的是第三題

00:00:16.475 --> 00:00:19.070
在這裡我們做的是第三題

00:00:19.070 --> 00:00:20.390
你們可以自行到其網站上去下載書

00:00:20.390 --> 00:00:21.690
你們可以自行到其網站上去下載書

00:00:21.690 --> 00:00:26.180
假設美國一歲大的女孩

00:00:26.180 --> 00:00:28.920
體重符合常態分佈

00:00:28.920 --> 00:00:32.330
平均約為9.5克

00:00:32.330 --> 00:00:33.820
這裡應該是公斤

00:00:33.820 --> 00:00:35.930
我10個月大的兒子都有20磅

00:00:35.930 --> 00:00:39.570
大概是9公斤(千克)

00:00:39.570 --> 00:00:41.040
9.5克沒什麼重量

00:00:41.040 --> 00:00:43.900
我看小老鼠還差不多

00:00:43.900 --> 00:00:44.940
所以應該是公斤

00:00:44.940 --> 00:00:47.350
平均是9.5公斤 標準差大約是1.1公斤

00:00:47.350 --> 00:00:51.050
平均是9.5公斤 標準差大約是1.1公斤

00:00:51.050 --> 00:00:56.400
寫下來 平均應該是9.5公斤

00:00:56.400 --> 00:01:01.130
標準差等於1.1公斤

00:01:01.130 --> 00:01:04.840
不使用計算機 這就是有趣之處

00:01:04.840 --> 00:01:08.950
估計美國1歲大的女孩體重滿足下列條件

00:01:08.950 --> 00:01:09.995
估計美國1歲大的女孩體重滿足下列條件

00:01:09.995 --> 00:01:12.910
不用計算機也能知道

00:01:12.910 --> 00:01:15.250
也就是暗示使用經驗法則

00:01:15.250 --> 00:01:16.350
也就是暗示使用經驗法則

00:01:20.040 --> 00:01:27.480
經驗法則又稱作68-95-99.7法則

00:01:27.480 --> 00:01:29.960
記住這個名字基本上也就記住了法則

00:01:29.960 --> 00:01:31.500
記住這個名字基本上也就記住了法則

00:01:31.500 --> 00:01:33.520
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚

00:01:33.520 --> 00:01:35.800
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚

00:01:35.800 --> 00:01:36.750
在開始講解問題之前 我先把這個法則講清楚

00:01:36.750 --> 00:01:38.750
首先畫一個常態分佈

00:01:38.750 --> 00:01:40.480
再看兩個標準差的分布情況

00:01:40.480 --> 00:01:42.900
像這樣

00:01:42.900 --> 00:01:44.240
這是我畫的正態分佈

00:01:44.240 --> 00:01:45.940
大致上畫就行了

00:01:45.940 --> 00:01:47.560
它是對稱的

00:01:47.560 --> 00:01:49.980
這是平均

00:01:49.980 --> 00:01:50.840
這是平均

00:01:50.840 --> 00:01:54.810
這是高於平均一個標準差處 這是低於平均一個標準差處

00:01:54.810 --> 00:02:00.350
這是平均加一個標準差

00:02:00.350 --> 00:02:01.780
這是平均加一個標準差

00:02:01.780 --> 00:02:05.730
這是平均減一個標準差

00:02:05.730 --> 00:02:08.710
完美的常態分佈中

00:02:08.710 --> 00:02:12.080
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處

00:02:12.080 --> 00:02:14.640
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處

00:02:14.640 --> 00:02:19.320
也就是說這個區域的面積

00:02:19.320 --> 00:02:23.040
大概佔整個圖形68%的面積

00:02:23.040 --> 00:02:26.430
68%的機率落在平均左右一個標準差範圍內

00:02:26.430 --> 00:02:27.750
68%的機率落在平均左右一個標準差範圍內

00:02:27.750 --> 00:02:30.140
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處

00:02:30.140 --> 00:02:31.450
低於平均一個標準差處 到高於平均一個標準差處

00:02:31.450 --> 00:02:34.500
再看兩個標準差的分布情況

00:02:34.500 --> 00:02:37.170
再看兩個標準差的分布情況

00:02:37.170 --> 00:02:39.570
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處

00:02:39.570 --> 00:02:41.780
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處

00:02:41.780 --> 00:02:43.190
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處

00:02:43.190 --> 00:02:47.360
低於平均兩個標準差處到高於平均兩個標準差處

00:02:47.360 --> 00:02:50.740
也就是落在兩個標準差範圍內的機率 大概是95%

00:02:50.740 --> 00:02:53.060
包括中間這部分

00:02:53.060 --> 00:02:56.510
你應該知道接下來要做什麼

00:02:56.510 --> 00:02:58.140
68%這部分是95%這部分的子集

00:02:58.140 --> 00:03:01.360
而平均三個標準差範圍內的分佈機率是 99.7%

00:03:01.360 --> 00:03:06.820
這就是68-95-99.7法則

00:03:06.820 --> 00:03:15.740
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

00:03:15.740 --> 00:03:19.120
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

00:03:19.120 --> 00:03:20.110
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

00:03:20.110 --> 00:03:23.230
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

00:03:23.230 --> 00:03:26.030
99.7%也就是三個標準差範圍內的分佈機率

00:03:26.030 --> 00:03:27.870
這就是68-95-99.7法則所表達的

00:03:27.870 --> 00:03:30.960
下面將68-95-99.7經驗法則用於解題

00:03:30.960 --> 00:03:33.140
題目中均值和標準差有給我們了 我畫一下

00:03:33.140 --> 00:03:34.550
題目中均值和標準差有給我們了 我畫一下

00:03:34.550 --> 00:03:38.550
首先畫好坐標軸 這是坐標軸 再畫鐘形曲線

00:03:38.550 --> 00:03:39.600
這是坐標軸 再畫鐘形曲線

00:03:39.600 --> 00:03:41.410
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦

00:03:45.920 --> 00:03:49.090
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦

00:03:49.090 --> 00:03:50.920
徒手能畫出這樣的鐘形曲線也不錯啦

00:03:50.920 --> 00:03:54.140
平均是9.5 兩側是對稱的

00:03:54.140 --> 00:03:55.710
這裡和那裡高度相等 你們應該知道吧!

00:03:55.710 --> 00:03:57.600
這裡和那裡高度相等 你們應該知道吧!

00:03:57.600 --> 00:03:59.260
畢竟我不是電腦

00:03:59.260 --> 00:04:02.390
9.5是平均

00:04:02.390 --> 00:04:03.370
單位我就不寫了

00:04:03.370 --> 00:04:04.580
全是公斤

00:04:04.580 --> 00:04:11.330
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6

00:04:11.330 --> 00:04:14.220
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6

00:04:14.220 --> 00:04:16.820
標準差是1.1 平均加一個標準差是10.6

00:04:16.820 --> 00:04:19.620
這裡我畫的一些虛線 低於平均一個標準差

00:04:19.620 --> 00:04:25.990
這裡我畫的一些虛線 低於平均一個標準差

00:04:25.990 --> 00:04:34.110
這裡是9.5-1.1 也就是8.4

00:04:34.110 --> 00:04:37.620
再看高於平均兩個標準差 又要加一個標準差

00:04:37.620 --> 00:04:40.400
再看高於平均兩個標準差 又要加一個標準差

00:04:40.400 --> 00:04:40.610
對吧?

00:04:40.610 --> 00:04:41.890
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了

00:04:41.890 --> 00:04:42.700
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了

00:04:42.700 --> 00:04:44.435
就是10.6之後再一個標準差就到11.7了

00:04:44.435 --> 00:04:47.040
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8

00:04:47.040 --> 00:04:48.910
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8

00:04:48.910 --> 00:04:50.720
再往外到第三個標準差處 則需要再加1.1 得到12.8

00:04:50.720 --> 00:04:53.820
另一側進行相同處理 低於平均一個標準差得到8.4

00:04:53.820 --> 00:04:55.380
另一側進行相同處理 低於平均一個標準差得到8.4

00:04:55.380 --> 00:04:58.480
低於平均兩個標準差 再減1.1 得到7.3

00:04:58.480 --> 00:05:00.910
低於平均兩個標準差 再減1.1 得到7.3

00:05:00.910 --> 00:05:03.380
然後低於平均三個標準差

00:05:03.380 --> 00:05:07.280
再減1.1 得到6.2公斤

00:05:07.280 --> 00:05:08.860
這是初始問題

00:05:08.860 --> 00:05:12.070
那麼美國1歲女孩重量輕於8.4公斤的機率是多少呢

00:05:12.070 --> 00:05:17.730
那麼美國1歲女孩重量輕於8.4公斤的機率是多少呢

00:05:17.730 --> 00:05:19.330
或許我該問比8.4公斤輕的機率呢

00:05:19.330 --> 00:05:21.640
或許我該問比8.4公斤輕的機率呢

00:05:21.640 --> 00:05:25.150
看這裡，1歲女孩的質量比8.4公斤輕的機率

00:05:25.150 --> 00:05:28.070
看這裡，1歲女孩的比質量8.4公斤輕的機率

00:05:28.070 --> 00:05:30.920
就是這個面積

00:05:30.920 --> 00:05:31.610
就是這個面積

00:05:31.610 --> 00:05:35.070
我用質量是因為單位是公斤

00:05:35.070 --> 00:05:36.940
其實也是重量單位

00:05:36.940 --> 00:05:38.470
這個機率也就是這個面積

00:05:38.470 --> 00:05:40.950
那麼 用經驗法則如何求常態分佈下這一部分的面積呢

00:05:40.950 --> 00:05:43.900
那麼 用經驗法則如何求常態分佈下這一部分的面積呢

00:05:43.900 --> 00:05:47.280
我們現在知道

00:05:47.280 --> 00:05:52.370
我們現在知道

00:05:52.370 --> 00:05:54.500
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

00:05:54.500 --> 00:05:55.920
從平均左側一個標準差處 到平均右側一個標準差處的面積 是68%

00:05:58.430 --> 00:06:01.720
從平均左側一個標準差處 到平均右側一個標準差處的面積 是68%

00:06:01.720 --> 00:06:04.360
也就是說不在中間這個區域內的面積是32%

00:06:04.360 --> 00:06:07.200
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1

00:06:07.200 --> 00:06:11.380
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1

00:06:11.380 --> 00:06:14.490
因為常態分佈曲線下整個面積是100%或者說1

00:06:14.490 --> 00:06:17.880
機率和面積是一樣的 所有機率和為1

00:06:17.880 --> 00:06:21.480
絕對不可能超過100%

00:06:21.480 --> 00:06:27.270
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

00:06:27.270 --> 00:06:29.490
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

00:06:29.490 --> 00:06:32.590
所以這兩個尾部加起來的值就是100%-68%後剩下的32%

00:06:32.590 --> 00:06:33.920
所以這兩個尾部加起來的值就是100%-68%後剩下的32%

00:06:33.920 --> 00:06:37.820
32%是左右兩個尾部的面積的和

00:06:37.820 --> 00:06:39.240
32%是左右兩個尾部的面積的和

00:06:39.240 --> 00:06:41.120
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱

00:06:41.120 --> 00:06:42.535
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱

00:06:42.535 --> 00:06:44.780
由於這是完美的常態分佈 所以兩邊完全對稱

00:06:44.780 --> 00:06:48.730
也就是說左側的尾部和右側的尾部是相同面積

00:06:48.730 --> 00:06:51.820
也就是說左側的尾部和右側的尾部是相同面積

00:06:51.820 --> 00:06:56.490
我用粉紅色標一下 這一個尾部的面積

00:06:56.490 --> 00:07:00.020
結果像紫色 是16%

00:07:00.020 --> 00:07:02.700
這一側也是16%

00:07:02.700 --> 00:07:05.900
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%

00:07:05.900 --> 00:07:08.280
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%

00:07:08.280 --> 00:07:09.760
也就是說 高於平均右側一個標準差處的機率是16%

00:07:09.760 --> 00:07:13.040
低於平均左側一個標準差處的機率也是16%

00:07:13.040 --> 00:07:17.050
低於平均左側一個標準差處的機率也是16%

00:07:17.050 --> 00:07:19.060
這裡要求1歲女嬰小於8.4公斤的機率

00:07:19.060 --> 00:07:23.140
這裡要求1歲女嬰小於8.4公斤的機率

00:07:23.140 --> 00:07:27.970
小於8.4公斤也就是這個面積

00:07:27.970 --> 00:07:29.500
即16% 這是a部分的答案

00:07:29.500 --> 00:07:33.270
即16% 這是a部分的答案

00:07:33.270 --> 00:07:38.280
再看b部分 7.3到11.7千克之間的機率

00:07:38.280 --> 00:07:41.130
7.3在這裡

00:07:41.130 --> 00:07:47.120
低於平均兩個標準差處 而11.7在高於平均兩個標準差處

00:07:47.120 --> 00:07:49.100
低於平均兩個標準差處 而11.7在高於平均兩個標準差處

00:07:49.100 --> 00:07:51.260
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率

00:07:51.260 --> 00:07:54.340
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率

00:07:54.340 --> 00:07:55.230
這也就是問在平均兩個標準差範圍內的機率

00:07:55.230 --> 00:07:57.040
這是平均 這裡少兩個標準差

00:07:57.040 --> 00:08:00.250
這是平均 這裡少兩個標準差

00:08:00.250 --> 00:08:02.630
這裡多兩個標準差 很簡單求

00:08:02.630 --> 00:08:04.130
這裡多兩個標準差 很簡單求

00:08:04.130 --> 00:08:07.490
經驗法則告訴我們

00:08:07.490 --> 00:08:13.950
平均左右兩個標準差之間的機率是95%

00:08:13.950 --> 00:08:15.140
平均左右兩個標準差之間的機率是95%

00:08:15.140 --> 00:08:17.740
答案直接從經驗法則中得到

00:08:17.740 --> 00:08:21.440
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率

00:08:21.440 --> 00:08:25.510
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率

00:08:25.510 --> 00:08:28.310
最後c部分 美國1歲女嬰體重大於12.8公斤的機率

00:08:28.310 --> 00:08:29.770
12.8公斤比平均大三個標準差

00:08:29.770 --> 00:08:34.100
所以這裡也就是求大於平均右側三個標準差處的機率

00:08:34.100 --> 00:08:36.250
所以這裡也就是求大於平均右側三個標準差處的機率

00:08:36.250 --> 00:08:42.170
也就是這個面積 我用橙色表示

00:08:42.170 --> 00:08:44.310
或許我該換個對比更強烈的顏色

00:08:44.310 --> 00:08:45.280
或許我該換個對比更強烈的顏色

00:08:45.280 --> 00:08:48.575
也就是尾部這段狹長的面積

00:08:48.575 --> 00:08:51.020
這個機率是多少

00:08:51.020 --> 00:08:53.420
還是用經驗法則

00:08:53.420 --> 00:08:56.230
這個面積我們知道

00:08:56.230 --> 00:08:59.740
這個面積我們知道

00:08:59.740 --> 00:09:01.960
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

00:09:01.960 --> 00:09:04.090
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

00:09:04.090 --> 00:09:08.200
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

00:09:08.200 --> 00:09:14.300
-3標準差處到+3標準差處之間的機率是99.7%

00:09:14.300 --> 00:09:16.830
絕大部分面積都在這個範圍內

00:09:16.830 --> 00:09:17.940
絕大部分面積都在這個範圍內

00:09:17.940 --> 00:09:20.320
絕大部分面積都在這個範圍內

00:09:20.320 --> 00:09:21.220
除了兩個尾部

00:09:21.220 --> 00:09:22.330
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉

00:09:22.330 --> 00:09:24.630
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉

00:09:24.630 --> 00:09:25.730
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉

00:09:25.730 --> 00:09:27.480
我們要求一個尾部的機率 小於三個標準差處的尾部要去掉

00:09:27.480 --> 00:09:32.160
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

00:09:32.160 --> 00:09:35.280
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

00:09:35.280 --> 00:09:39.150
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

00:09:39.150 --> 00:09:46.530
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

00:09:46.530 --> 00:09:48.250
這個尾部機率同另一側尾部的概率共同構成剩下的0.3%

00:09:48.250 --> 00:09:49.620
由於兩個尾部對稱

00:09:49.620 --> 00:09:54.880
所以兩側的機率都是0.15%

00:09:54.880 --> 00:09:59.160
所以兩側的機率都是0.15%

00:09:59.160 --> 00:10:03.650
也就是說 美國1歲女嬰體重超過12.8公斤的機率

00:10:03.650 --> 00:10:07.250
也就是說 美國1歲女嬰體重超過12.8公斤的機率

00:10:07.250 --> 00:10:10.490
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積

00:10:10.490 --> 00:10:13.040
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積

00:10:13.040 --> 00:10:14.250
也就是常態分佈曲線下方大於平均右側三個標準差處的面積

00:10:14.250 --> 00:10:21.760
該機率等於0.15%

00:10:21.760 --> 00:10:24.410
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