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Creo que es razonable hacer uno más separable
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problema de ecuaciones diferenciales, así que vamos a hacerlo.
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La derivada de y con respecto a x es igual a y
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coseno de x dividido por 1 + 2y cuadrado, y nos dan
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una condición inicial y 0 es igual a 1.
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O cuando x es igual a 0, y es igual a 1.
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Y sé que hicimos un par ya, pero de otra manera
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es pensar en separables ecuaciones diferenciales
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realmente, todo lo que estás haciendo es implícito
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diferenciación en sentido inverso.
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U otra forma de pensar es siempre que usted tomó una
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derivados implícitos, el producto final fue una separable
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ecuación diferencial.
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Y así, esperemos que esto forma un poco más de una conexión.
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De todos modos, vamos a hacer esto.
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Tenemos que separar el y el x
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Vamos a multiplicar ambos lados veces 1 más 2y cuadrado.
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Obtenemos 1 plus 2y squared veces dy dx es igual
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y el coseno de x.
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Nos aún plenamente no hemos separado la y y la x
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Vamos a dividir ambos lados de este y y luego vamos a ver.
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Obtenemos 1 sobre y plus 2y al cuadrado dividido por y, que
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2y justa, tiempos dy dx es igual al coseno de x.
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Yo sólo puedo multiplicar ambos lados por dx.
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1 veces y además 2y que DY es igual al coseno de x dx.
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Y ahora podemos integrar ambos lados.
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¿Cuál es la integral de 1 sobre y con respecto a y?
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Sé que la reacción de su aparato digestivo es el logaritmo natural de y, que es
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correcto, pero no hay realmente una función ligeramente más amplia
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que eso, cuya derivada es realmente 1 sobre y, y
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el logaritmo natural del valor absoluto de y.
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Y esto es sólo una función ligeramente más amplia, porque es
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dominio incluye positivos y números negativos, sólo
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excluye el 0.
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Mientras que el logaritmo natural de y sólo incluye
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números mayores que 0.
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Registro tan natural de valor absoluto de y es bonito, y es
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realmente cierto que en todos los puntos que no sea 0, su
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derivada es 1 sobre y.
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Es sólo una función ligeramente más amplia.
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Por lo es la primitiva de 1 sobre y, y demostramos
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eso, o al menos demostramos que la derivada de la natural
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registro de y es 1 sobre y.
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Además, ¿qué es la primitiva de 2y con
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¿respeto y?
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Bueno, y su cuadrado, es igual a--voy a hacer la
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Además de c en este lado.
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¿Cuya derivada es coseno de x?
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Bueno, es seno de x.
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Y entonces podríamos añadir la c plus.
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Podríamos añadir que c plus allí.
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¿Y lo que era nuestra condición inicial? y de
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0 es igual a 1.
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Así que cuando x es igual a 0, y es igual a 1.
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Por lo tanto ln del valor absoluto de 1 + 1 al cuadrado es igual a
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seno de 0 plus c.
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El logaritmo natural de uno, e poder ¿qué es 1?
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Bien, 0, + 1 - seno de 0 es 0--es igual a C.
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Así obtenemos c es iguales a 1.
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Así que la solución a esta ecuación diferencial aquí
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es, incluso no tengo que escribirlo, hemos encontrado la c
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es igual a 1, por lo que sólo nos podemos rayar esto, y
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podríamos poner un 1.
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El logaritmo natural del valor absoluto de y más y
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cuadrado es igual al seno de x + 1.
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Y realmente, si fueras de la gráfica esto, verá
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y realmente nunca huecos debajo o incluso golpea el eje x.
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Por lo que realmente puede librarse de ese absoluto
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función de valor allí.
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Pero de todos modos, eso es sólo un poco tecnicismo.
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Pero esta es la forma implícita de la solución a este
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ecuación diferencial.
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Que tiene sentido, porque el diferencial separable
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las ecuaciones son realmente sólo
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derivados implícitos hacia atrás.
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Y en general, una cosa que la clase de diversión sobre
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ecuaciones diferenciales, pero de no conformes
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acerca de las ecuaciones diferenciales, es realmente es sólo un conjunto
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batiburrillo de herramientas para resolver diferentes tipos de ecuaciones.
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No hay una sola herramienta o una teoría que resolverá todos
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ecuaciones diferenciales.
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Hay pocos que va a resolver una cierta clase de
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ecuaciones diferenciales, pero no es sólo uno
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manera coherente para resolver todas ellas.
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Y aún hoy, hay diferencial no resuelto
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ecuaciones, donde la única forma que sabemos cómo llegar
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soluciones está utilizando un equipo numéricamente.
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Y un día voy a hacer videos sobre eso.
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Y realmente, que encontrará en la mayoría de las aplicaciones que
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lo que terminas haciendo de todos modos, porque más diferencial
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ecuaciones que se encuentra en la ciencia o con cualquier tipo de
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Ciencia, economía o física, o
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Ingeniería, que a menudo son unsolveable, porque ellos
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podría tener un segundo o tercer derivado involucrado, y
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van a multiplicar.
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O sea, sólo van a ser realmente complicado, muy
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difícil de resolver analíticamente.
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Y en realidad, vas a resolverlos numéricamente, que
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a menudo es mucho más fácil.
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Pero de todas formas, esperemos que en este momento tienes un bastante bien
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sentido de ecuaciones separables.
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Son simplemente diferenciación implícita hacia atrás, y
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realmente no es nada nuevo.
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Nuestra próxima cosa que aprenderemos es exactas de las ecuaciones diferenciales,
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y, a continuación, vamos a ir en métodos cada vez más.
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Y, a continuación, esperemos que, al final de esta lista de reproducción, tendrás
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un bonito toolkit de todas las diferentes formas de resolver en
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menos las ecuaciones diferenciales pueden ser resueltos.
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Nos vemos en el siguiente vídeo.
