Creo que es razonable hacer uno más separable
problema de ecuaciones diferenciales, así que vamos a hacerlo.
La derivada de y con respecto a x es igual a y
coseno de x dividido por 1 + 2y cuadrado, y nos dan
una condición inicial y 0 es igual a 1.
O cuando x es igual a 0, y es igual a 1.
Y sé que hicimos un par ya, pero de otra manera
es pensar en separables ecuaciones diferenciales
realmente, todo lo que estás haciendo es implícito
diferenciación en sentido inverso.
U otra forma de pensar es siempre que usted tomó una
derivados implícitos, el producto final fue una separable
ecuación diferencial.
Y así, esperemos que esto forma un poco más de una conexión.
De todos modos, vamos a hacer esto.
Tenemos que separar el y el x
Vamos a multiplicar ambos lados veces 1 más 2y cuadrado.
Obtenemos 1 plus 2y squared veces dy dx es igual
y el coseno de x.
Nos aún plenamente no hemos separado la y y la x
Vamos a dividir ambos lados de este y y luego vamos a ver.
Obtenemos 1 sobre y plus 2y al cuadrado dividido por y, que
2y justa, tiempos dy dx es igual al coseno de x.
Yo sólo puedo multiplicar ambos lados por dx.
1 veces y además 2y que DY es igual al coseno de x dx.
Y ahora podemos integrar ambos lados.
¿Cuál es la integral de 1 sobre y con respecto a y?
Sé que la reacción de su aparato digestivo es el logaritmo natural de y, que es
correcto, pero no hay realmente una función ligeramente más amplia
que eso, cuya derivada es realmente 1 sobre y, y
el logaritmo natural del valor absoluto de y.
Y esto es sólo una función ligeramente más amplia, porque es
dominio incluye positivos y números negativos, sólo
excluye el 0.
Mientras que el logaritmo natural de y sólo incluye
números mayores que 0.
Registro tan natural de valor absoluto de y es bonito, y es
realmente cierto que en todos los puntos que no sea 0, su
derivada es 1 sobre y.
Es sólo una función ligeramente más amplia.
Por lo es la primitiva de 1 sobre y, y demostramos
eso, o al menos demostramos que la derivada de la natural
registro de y es 1 sobre y.
Además, ¿qué es la primitiva de 2y con
¿respeto y?
Bueno, y su cuadrado, es igual a--voy a hacer la
Además de c en este lado.
¿Cuya derivada es coseno de x?
Bueno, es seno de x.
Y entonces podríamos añadir la c plus.
Podríamos añadir que c plus allí.
¿Y lo que era nuestra condición inicial? y de
0 es igual a 1.
Así que cuando x es igual a 0, y es igual a 1.
Por lo tanto ln del valor absoluto de 1 + 1 al cuadrado es igual a
seno de 0 plus c.
El logaritmo natural de uno, e poder ¿qué es 1?
Bien, 0, + 1 - seno de 0 es 0--es igual a C.
Así obtenemos c es iguales a 1.
Así que la solución a esta ecuación diferencial aquí
es, incluso no tengo que escribirlo, hemos encontrado la c
es igual a 1, por lo que sólo nos podemos rayar esto, y
podríamos poner un 1.
El logaritmo natural del valor absoluto de y más y
cuadrado es igual al seno de x + 1.
Y realmente, si fueras de la gráfica esto, verá
y realmente nunca huecos debajo o incluso golpea el eje x.
Por lo que realmente puede librarse de ese absoluto
función de valor allí.
Pero de todos modos, eso es sólo un poco tecnicismo.
Pero esta es la forma implícita de la solución a este
ecuación diferencial.
Que tiene sentido, porque el diferencial separable
las ecuaciones son realmente sólo
derivados implícitos hacia atrás.
Y en general, una cosa que la clase de diversión sobre
ecuaciones diferenciales, pero de no conformes
acerca de las ecuaciones diferenciales, es realmente es sólo un conjunto
batiburrillo de herramientas para resolver diferentes tipos de ecuaciones.
No hay una sola herramienta o una teoría que resolverá todos
ecuaciones diferenciales.
Hay pocos que va a resolver una cierta clase de
ecuaciones diferenciales, pero no es sólo uno
manera coherente para resolver todas ellas.
Y aún hoy, hay diferencial no resuelto
ecuaciones, donde la única forma que sabemos cómo llegar
soluciones está utilizando un equipo numéricamente.
Y un día voy a hacer videos sobre eso.
Y realmente, que encontrará en la mayoría de las aplicaciones que
lo que terminas haciendo de todos modos, porque más diferencial
ecuaciones que se encuentra en la ciencia o con cualquier tipo de
Ciencia, economía o física, o
Ingeniería, que a menudo son unsolveable, porque ellos
podría tener un segundo o tercer derivado involucrado, y
van a multiplicar.
O sea, sólo van a ser realmente complicado, muy
difícil de resolver analíticamente.
Y en realidad, vas a resolverlos numéricamente, que
a menudo es mucho más fácil.
Pero de todas formas, esperemos que en este momento tienes un bastante bien
sentido de ecuaciones separables.
Son simplemente diferenciación implícita hacia atrás, y
realmente no es nada nuevo.
Nuestra próxima cosa que aprenderemos es exactas de las ecuaciones diferenciales,
y, a continuación, vamos a ir en métodos cada vez más.
Y, a continuación, esperemos que, al final de esta lista de reproducción, tendrás
un bonito toolkit de todas las diferentes formas de resolver en
menos las ecuaciones diferenciales pueden ser resueltos.
Nos vemos en el siguiente vídeo.