Return to Video

幂级数的积分 | 级数 | AP微积分BC | 可汗学院

  • 0:00 - 0:02
    我们已知 f(x)
  • 0:02 - 0:03
    等于无穷级数
  • 0:03 - 0:06
    从 n = 1 到无穷大
  • 0:06 - 0:11
    n + 1 除以 4 的 n + 1 次方，乘以 x 的 n 次方
  • 0:11 - 0:13
    我们要计算的是
  • 0:13 - 0:17
    f(x) 从 0 到 1 的定积分是多少？
  • 0:17 - 0:20
    像往常一样，如果你有思路
  • 0:20 - 0:22
    我鼓励你如果有思路
  • 0:22 - 0:23
    就暂停视频尝试自己解决
  • 0:23 - 0:25
    或者视频的任何时候都可以
  • 0:25 - 0:28
    暂停，然后自己继续做
  • 0:28 - 0:31
    好的，我们来代入一下
  • 0:31 - 0:32
    它就等于
  • 0:32 - 0:34
    从 0 到 1 的积分
  • 0:34 - 0:39
    f(x) 是这个级数，所以我这么写
  • 0:39 - 0:43
    从 n = 1 到无穷大求和
  • 0:43 - 0:47
    n + 1 除以 4 的 n + 1 次方
  • 0:47 - 0:49
    乘以 x 的 n 次方
  • 0:49 - 0:52
    我接下来的做法可能
  • 0:52 - 0:54
    有些人是第一次见
  • 0:54 - 0:56
    但本质上，我们计算
  • 0:56 - 0:58
    一些项的和的定积分
  • 0:58 - 1:01
    等价于计算这些项的
  • 1:01 - 1:03
    定积分的和
  • 1:03 - 1:04
    再说明白一点
  • 1:04 - 1:07
    如果我有，我们说这是一个定积分
  • 1:07 - 1:11
    从 0 到 1，里面有很多项
  • 1:11 - 1:12
    或者说很多函数
  • 1:12 - 1:16
    比如说是 g(x) 加上 h(x)
  • 1:16 - 1:20
    我不停的加，dx
  • 1:20 - 1:22
    那么，它就等于积分的和
  • 1:22 - 1:26
    从 0 到 1 的 g(x) 的积分
  • 1:26 - 1:33
    g(x) dx 加上从 0 到 1 的 h(x) 的积分
  • 1:33 - 1:36
    加上，不停的加下去
  • 1:36 - 1:37
    不论这些项有多少
  • 1:37 - 1:40
    这就是积分的性质
  • 1:40 - 1:42
    我们在这里也是同样
  • 1:42 - 1:44
    尽管用 sigma 符号来表示
  • 1:44 - 1:48
    它就等于从
  • 1:48 - 1:53
    n = 1 到无穷大求和
  • 1:53 - 1:56
    每一项的定积分
  • 1:56 - 1:58
    我这么写
  • 1:58 - 2:02
    从 0 到 1 的积分
  • 2:02 - 2:08
    n + 1 除以 4 的 n + 1 次方
  • 2:08 - 2:13
    乘以 x 的 n 次方，然后 dx
  • 2:13 - 2:17
    再次强调，现在我们是求每一项的和
  • 2:17 - 2:22
    我们来求这一部分的值
  • 2:22 - 2:25
    它等于，我往后写
  • 2:25 - 2:29
    它等于从 n = 1 到
  • 2:29 - 2:32
    无穷大求和，然后
  • 2:32 - 2:34
    是橙色下划线的部分
  • 2:34 - 2:35
    它等于，我们看
  • 2:35 - 2:38
    在这里取反导数
  • 2:38 - 2:43
    我们得到 x 的 n + 1 次方
  • 2:43 - 2:44
    然后除以 n + 1
  • 2:44 - 2:48
    所以有这个原来的 n + 1 除以
  • 2:48 - 2:52
    4 的 n + 1 次方，这是常数
  • 2:52 - 2:54
    与 x 无关，每一项都如此
  • 2:54 - 2:57
    然后我们把指数加 1
  • 2:57 - 3:00
    再除以加过 1 的指数
  • 3:00 - 3:02
    这个方法，我一般叫做
  • 3:02 - 3:07
    反用幂法则，或逆-幂法则
  • 3:07 - 3:12
    所以等于 x 的 n + 1 次方除以 n + 1
  • 3:12 - 3:14
    就是求反导数
  • 3:14 - 3:17
    每一项从 0 到 1 进行求值
  • 3:17 - 3:19
    在此之前，我们先来化简
  • 3:19 - 3:22
    我们有 n + 1，有 n + 1
  • 3:22 - 3:24
    我们重新来写
  • 3:24 - 3:26
    它就等于
  • 3:26 - 3:29
    从 n = 1 到无穷大求和
  • 3:29 - 3:32
    这里面是
  • 3:32 - 3:38
    当 x 等于 1 时，它是 1
  • 3:38 - 3:40
    我们写 1 的 n + 1 次方
  • 3:40 - 3:42
    除以 4 的 n + 1 次方
  • 3:42 - 3:44
    实际上可以这么写呀
  • 3:44 - 3:48
    1 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方
  • 3:48 - 3:52
    减去 0 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方
  • 3:52 - 3:54
    我们都不用写它
  • 3:54 - 3:56
    0 的 n + 1 次方
  • 3:56 - 4:01
    除以 4 的 n + 1 次方，显然是 0
  • 4:01 - 4:03
    然后是这部分
  • 4:03 - 4:05
    已经越来越简单了
  • 4:05 - 4:07
    它就等于
  • 4:07 - 4:12
    从 n = 1 到无穷大的和
  • 4:12 - 4:13
    我们快要听到胜利的号角
  • 4:13 - 4:17
    1/4 的 n + 1 次方
  • 4:17 - 4:19
    可能你立刻就认出它了
  • 4:19 - 4:21
    它是无穷等比数列
  • 4:21 - 4:23
    第一项是什么？
  • 4:23 - 4:29
    好，第一项是
  • 4:29 - 4:35
    当 n 等于 1 时，第一项
  • 4:35 - 4:40
    是 1/4 的二次方
  • 4:40 - 4:41
    对吗？
  • 4:41 - 4:42
    对
  • 4:42 - 4:45
    当 n 等于 1 时，它等于
  • 4:45 - 4:50
    所以它等于 1/4 的二次方
  • 4:50 - 4:54
    也就是 1/16，所以这是我们的第一项
  • 4:54 - 5:01
    然后我们的公比，就是
  • 5:01 - 5:05
    每项都乘以 1/4
  • 5:05 - 5:07
    所以我们的公比是 1/4
  • 5:07 - 5:09
    所以对于一个无穷等比数列
  • 5:09 - 5:14
    它是——因为公比
  • 5:14 - 5:16
    的绝对值小于 1
  • 5:16 - 5:18
    我们知道它是收敛的
  • 5:18 - 5:20
    并且它将收敛到
  • 5:20 - 5:25
    第一项，1/16，除以
  • 5:25 - 5:29
    1 减公比，1 减去 1/4
  • 5:29 - 5:38
    也就是 3/4，所以等于 1/16 乘以 4/3
  • 5:38 - 5:41
    等于 1/12
  • 5:41 - 5:42
    我们完成了
  • 5:42 - 5:44
    这题一开始看起来真的很可怕
  • 5:44 - 5:45
    但我们需要意识到
  • 5:45 - 5:48
    和的积分，无穷项的和也没关系
  • 5:48 - 5:51
    就等于这些无穷多的积分的和
  • 5:51 - 5:53
    我们求这无穷多积分的反导数
  • 5:53 - 5:55
    这个我们很容易处理
  • 5:55 - 5:58
    使用数学符号的威力
  • 5:58 - 6:00
    然后我们意识到
  • 6:00 - 6:01
    这就是无穷几何级数嘛
  • 6:01 - 6:02
    我们知道求和公式
  • 6:02 - 6:04
    然后就做完了
Title:
幂级数的积分 | 级数 | AP微积分BC | 可汗学院
Description:

在收敛的条件下，幂级数的积分等于每一项积分再求和：∫∑f(x)dx=∑∫f(x)dx。看看如何使用这个性质来计算一个幂级数的积分。

马上在 KhanAcademy.org 网站上练习本课内容： https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/e/integration-and-differentiation-of-power-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

在这里观看下一课：https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/v/differentiating-power-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

错过了上一课吗？
https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/v/radius-convergence-ratio-test?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

可汗学院大学先修课程微积分BC：要学AP微积分BC——很简单，它就是AP微积分AB的所有知识，再加上一些额外的小东西，比如泰勒级数。继续学习，来为AP考试做准备。

关于可汗学院：可汗学院提供练习习题, 教学视频和个性化的学习界面, 让学习者能够在课堂内外按照自己的进度学习. 内容涉及数学, 科学, 计算机编程, 历史, 艺术史, 经济学等. 其中数学方面的内容涵盖了从幼儿园的基础知识到大学的微积分, 并采用了最先进的可识别学习强度和学习障碍的自适应技术. 可汗学院还与NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences和MIT等机构合作, 提供特定的专业内容.

我们的使命是为世界各地的所有人提供免费的一流教育资源. #YouCanLearnAnything

订阅可汗学院大学先修课程微积分 BC 频道：https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
订阅可汗学院: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:05

Chinese, Simplified subtitles

Incomplete

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.