WEBVTT

00:00:00.247 --> 00:00:01.755
我们已知 f(x)

00:00:01.755 --> 00:00:03.409
等于无穷级数

00:00:03.409 --> 00:00:05.678
从 n = 1 到无穷大

00:00:05.678 --> 00:00:11.055
n + 1 除以 4 的 n + 1 次方，乘以 x 的 n 次方

00:00:11.055 --> 00:00:13.080
我们要计算的是

00:00:13.080 --> 00:00:17.226
f(x) 从 0 到 1 的定积分是多少？

00:00:17.226 --> 00:00:19.593
像往常一样，如果你有思路

00:00:19.593 --> 00:00:21.509
我鼓励你如果有思路

00:00:21.509 --> 00:00:23.399
就暂停视频尝试自己解决

00:00:23.399 --> 00:00:25.292
或者视频的任何时候都可以

00:00:25.292 --> 00:00:28.193
暂停，然后自己继续做

00:00:28.193 --> 00:00:30.627
好的，我们来代入一下

00:00:30.627 --> 00:00:32.176
它就等于

00:00:32.176 --> 00:00:34.192
从 0 到 1 的积分

00:00:34.192 --> 00:00:38.659
f(x) 是这个级数，所以我这么写

00:00:38.659 --> 00:00:43.142
从 n = 1 到无穷大求和

00:00:43.142 --> 00:00:47.342
n + 1 除以 4 的 n + 1 次方

00:00:47.342 --> 00:00:49.308
乘以 x 的 n 次方

00:00:49.308 --> 00:00:51.788
我接下来的做法可能

00:00:51.788 --> 00:00:53.991
有些人是第一次见

00:00:53.991 --> 00:00:55.500
但本质上，我们计算

00:00:55.500 --> 00:00:57.942
一些项的和的定积分

00:00:57.942 --> 00:01:00.791
等价于计算这些项的

00:01:00.791 --> 00:01:02.657
定积分的和

00:01:02.657 --> 00:01:04.041
再说明白一点

00:01:04.041 --> 00:01:06.521
如果我有，我们说这是一个定积分

00:01:06.521 --> 00:01:10.941
从 0 到 1，里面有很多项

00:01:10.941 --> 00:01:12.391
或者说很多函数

00:01:12.391 --> 00:01:16.227
比如说是 g(x) 加上 h(x)

00:01:16.227 --> 00:01:19.948
我不停的加，dx

00:01:19.948 --> 00:01:21.897
那么，它就等于积分的和

00:01:21.897 --> 00:01:26.448
从 0 到 1 的 g(x) 的积分

00:01:26.448 --> 00:01:32.963
g(x) dx 加上从 0 到 1 的 h(x) 的积分

00:01:32.963 --> 00:01:35.696
加上，不停的加下去

00:01:35.696 --> 00:01:37.446
不论这些项有多少

00:01:37.446 --> 00:01:40.121
这就是积分的性质

00:01:40.121 --> 00:01:41.679
我们在这里也是同样

00:01:41.679 --> 00:01:44.103
尽管用 sigma 符号来表示

00:01:44.103 --> 00:01:47.935
它就等于从

00:01:47.935 --> 00:01:52.562
n = 1 到无穷大求和

00:01:52.562 --> 00:01:56.446
每一项的定积分

00:01:56.446 --> 00:01:58.228
我这么写

00:01:58.228 --> 00:02:01.962
从 0 到 1 的积分

00:02:01.962 --> 00:02:08.094
n + 1 除以 4 的 n + 1 次方

00:02:08.094 --> 00:02:12.562
乘以 x 的 n 次方，然后 dx

00:02:12.562 --> 00:02:16.946
再次强调，现在我们是求每一项的和

00:02:16.946 --> 00:02:22.394
我们来求这一部分的值

00:02:22.394 --> 00:02:25.211
它等于，我往后写

00:02:25.211 --> 00:02:28.564
它等于从 n = 1 到

00:02:28.564 --> 00:02:31.821
无穷大求和，然后

00:02:31.821 --> 00:02:33.832
是橙色下划线的部分

00:02:33.832 --> 00:02:34.965
它等于，我们看

00:02:34.965 --> 00:02:37.530
在这里取反导数

00:02:37.530 --> 00:02:42.513
我们得到 x 的 n + 1 次方

00:02:42.513 --> 00:02:44.263
然后除以 n + 1

00:02:44.263 --> 00:02:48.480
所以有这个原来的 n + 1 除以

00:02:48.480 --> 00:02:52.280
4 的 n + 1 次方，这是常数

00:02:52.280 --> 00:02:54.464
与 x 无关，每一项都如此

00:02:54.464 --> 00:02:57.053
然后我们把指数加 1

00:02:57.053 --> 00:02:59.997
再除以加过 1 的指数

00:02:59.997 --> 00:03:02.446
这个方法，我一般叫做

00:03:02.446 --> 00:03:06.945
反用幂法则，或逆-幂法则

00:03:06.945 --> 00:03:12.294
所以等于 x 的 n + 1 次方除以 n + 1

00:03:12.294 --> 00:03:13.829
就是求反导数

00:03:13.829 --> 00:03:17.145
每一项从 0 到 1 进行求值

00:03:17.145 --> 00:03:18.884
在此之前，我们先来化简

00:03:18.884 --> 00:03:21.511
我们有 n + 1，有 n + 1

00:03:21.511 --> 00:03:23.927
我们重新来写

00:03:23.927 --> 00:03:25.743
它就等于

00:03:25.743 --> 00:03:29.177
从 n = 1 到无穷大求和

00:03:29.177 --> 00:03:32.293
这里面是

00:03:32.293 --> 00:03:37.577
当 x 等于 1 时，它是 1

00:03:37.577 --> 00:03:40.123
我们写 1 的 n + 1 次方

00:03:40.123 --> 00:03:42.494
除以 4 的 n + 1 次方

00:03:42.494 --> 00:03:44.330
实际上可以这么写呀

00:03:44.330 --> 00:03:48.443
1 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方

00:03:48.443 --> 00:03:51.693
减去 0 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方

00:03:51.693 --> 00:03:53.576
我们都不用写它

00:03:53.576 --> 00:03:55.626
0 的 n + 1 次方

00:03:55.626 --> 00:04:00.566
除以 4 的 n + 1 次方，显然是 0

00:04:00.566 --> 00:04:02.509
然后是这部分

00:04:02.509 --> 00:04:05.161
已经越来越简单了

00:04:05.161 --> 00:04:06.958
它就等于

00:04:06.958 --> 00:04:11.609
从 n = 1 到无穷大的和

00:04:11.609 --> 00:04:13.492
我们快要听到胜利的号角

00:04:13.492 --> 00:04:16.758
1/4 的 n + 1 次方

00:04:16.758 --> 00:04:18.545
可能你立刻就认出它了

00:04:18.545 --> 00:04:20.980
它是无穷等比数列

00:04:20.980 --> 00:04:22.758
第一项是什么？

00:04:22.758 --> 00:04:29.258
好，第一项是

00:04:29.258 --> 00:04:35.341
当 n 等于 1 时，第一项

00:04:35.341 --> 00:04:39.607
是 1/4 的二次方

00:04:39.607 --> 00:04:40.674
对吗？

00:04:40.674 --> 00:04:41.507
对

00:04:41.507 --> 00:04:45.241
当 n 等于 1 时，它等于

00:04:45.241 --> 00:04:49.505
所以它等于 1/4 的二次方

00:04:49.505 --> 00:04:54.425
也就是 1/16，所以这是我们的第一项

00:04:54.425 --> 00:05:00.629
然后我们的公比，就是

00:05:00.629 --> 00:05:04.539
每项都乘以 1/4

00:05:04.539 --> 00:05:06.888
所以我们的公比是 1/4

00:05:06.888 --> 00:05:09.121
所以对于一个无穷等比数列

00:05:09.121 --> 00:05:14.273
它是——因为公比

00:05:14.273 --> 00:05:16.107
的绝对值小于 1

00:05:16.107 --> 00:05:17.890
我们知道它是收敛的

00:05:17.890 --> 00:05:19.719
并且它将收敛到

00:05:19.719 --> 00:05:24.718
第一项，1/16，除以

00:05:24.718 --> 00:05:28.589
1 减公比，1 减去 1/4

00:05:28.589 --> 00:05:37.545
也就是 3/4，所以等于 1/16 乘以 4/3

00:05:37.545 --> 00:05:40.858
等于 1/12

00:05:40.858 --> 00:05:41.946
我们完成了

00:05:41.946 --> 00:05:43.725
这题一开始看起来真的很可怕

00:05:43.725 --> 00:05:45.099
但我们需要意识到

00:05:45.099 --> 00:05:48.258
和的积分，无穷项的和也没关系

00:05:48.258 --> 00:05:50.975
就等于这些无穷多的积分的和

00:05:50.975 --> 00:05:53.474
我们求这无穷多积分的反导数

00:05:53.474 --> 00:05:55.104
这个我们很容易处理

00:05:55.104 --> 00:05:58.091
使用数学符号的威力

00:05:58.091 --> 00:05:59.658
然后我们意识到

00:05:59.658 --> 00:06:01.221
这就是无穷几何级数嘛

00:06:01.221 --> 00:06:02.467
我们知道求和公式

00:06:02.467 --> 00:06:03.717
然后就做完了