我们已知 f(x)
等于无穷级数
从 n = 1 到无穷大
n + 1 除以 4 的 n + 1 次方，乘以 x 的 n 次方
我们要计算的是
f(x) 从 0 到 1 的定积分是多少？
像往常一样，如果你有思路
我鼓励你如果有思路
就暂停视频尝试自己解决
或者视频的任何时候都可以
暂停，然后自己继续做
好的，我们来代入一下
它就等于
从 0 到 1 的积分
f(x) 是这个级数，所以我这么写
从 n = 1 到无穷大求和
n + 1 除以 4 的 n + 1 次方
乘以 x 的 n 次方
我接下来的做法可能
有些人是第一次见
但本质上，我们计算
一些项的和的定积分
等价于计算这些项的
定积分的和
再说明白一点
如果我有，我们说这是一个定积分
从 0 到 1，里面有很多项
或者说很多函数
比如说是 g(x) 加上 h(x)
我不停的加，dx
那么，它就等于积分的和
从 0 到 1 的 g(x) 的积分
g(x) dx 加上从 0 到 1 的 h(x) 的积分
加上，不停的加下去
不论这些项有多少
这就是积分的性质
我们在这里也是同样
尽管用 sigma 符号来表示
它就等于从
n = 1 到无穷大求和
每一项的定积分
我这么写
从 0 到 1 的积分
n + 1 除以 4 的 n + 1 次方
乘以 x 的 n 次方，然后 dx
再次强调，现在我们是求每一项的和
我们来求这一部分的值
它等于，我往后写
它等于从 n = 1 到
无穷大求和，然后
是橙色下划线的部分
它等于，我们看
在这里取反导数
我们得到 x 的 n + 1 次方
然后除以 n + 1
所以有这个原来的 n + 1 除以
4 的 n + 1 次方，这是常数
与 x 无关，每一项都如此
然后我们把指数加 1
再除以加过 1 的指数
这个方法，我一般叫做
反用幂法则，或逆-幂法则
所以等于 x 的 n + 1 次方除以 n + 1
就是求反导数
每一项从 0 到 1 进行求值
在此之前，我们先来化简
我们有 n + 1，有 n + 1
我们重新来写
它就等于
从 n = 1 到无穷大求和
这里面是
当 x 等于 1 时，它是 1
我们写 1 的 n + 1 次方
除以 4 的 n + 1 次方
实际上可以这么写呀
1 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方
减去 0 的 n + 1 次方除以 4 的 n + 1 次方
我们都不用写它
0 的 n + 1 次方
除以 4 的 n + 1 次方，显然是 0
然后是这部分
已经越来越简单了
它就等于
从 n = 1 到无穷大的和
我们快要听到胜利的号角
1/4 的 n + 1 次方
可能你立刻就认出它了
它是无穷等比数列
第一项是什么？
好，第一项是
当 n 等于 1 时，第一项
是 1/4 的二次方
对吗？
对
当 n 等于 1 时，它等于
所以它等于 1/4 的二次方
也就是 1/16，所以这是我们的第一项
然后我们的公比，就是
每项都乘以 1/4
所以我们的公比是 1/4
所以对于一个无穷等比数列
它是——因为公比
的绝对值小于 1
我们知道它是收敛的
并且它将收敛到
第一项，1/16，除以
1 减公比，1 减去 1/4
也就是 3/4，所以等于 1/16 乘以 4/3
等于 1/12
我们完成了
这题一开始看起来真的很可怕
但我们需要意识到
和的积分，无穷项的和也没关系
就等于这些无穷多的积分的和
我们求这无穷多积分的反导数
这个我们很容易处理
使用数学符号的威力
然后我们意识到
这就是无穷几何级数嘛
我们知道求和公式
然后就做完了